A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Célszerű (a számolás egyszerűsítésére) a sorozat első hat elemét a következő módon jelölni: , , , , , (a differencia, ). A feltételek szerint , így , és , amiből , vagy . Ha és , akkor és , ha és , akkor és .
2. Legyen . Jelölje az szakasz felezőpontját , az szakasz felezőpontját , a szakasz felezőpontját . A három félkört érintő kör középpontja legyen . Tekintsük az és az háromszögeket. A és pont helyzetéből következik, hogy , és , illetve , . A feladat többféle módszerrel megoldható, most a koszinusztétel alkalmazásával oldjuk meg. Legyen , ekkor , és tudjuk, hogy . | | Innen , így egység.
3. , . A , egyenletek különbsége , ami alakba írható. Innen és ekkor , , és , az egyenletrendszer megoldásai. Más megoldás nincs, hiszen ha , akkor , amely egyenletnek nincs megoldása a valós számok körében.
4. A háromszög területe . A koszinusztételből így a feltétel alkalmazásával , .
5. a) A kifejezés az , számok kivételével minden más valós számra értelmezhető. b) A megengedett -ekre és . Ezek alkalmazásaval legnagyobb értéke 8, amit akkor vesz fel, ha , , .
legkisebb értéke 4, amit akkor vesz fel, ha , , .
(Azonos átalakításokkal: .)
6. Ft 24 %-os kamatos kamatozással Ft-ra növekszik, így a harmadik év végén Ft-ot fizettek vissza. A kamatlábak változása miatt | | ahonnan | | A feladat szerint , tehát .
7. A keresett kör középpontja rajta van az egyenletű egyenesen, s ha középpontjának az abszcisszája , akkor a sugara , tehát az egyenlete Mivel ez a kör érinti az egyenletű kört, azért a két kör egyenlete által alkotott egyenletrendszer megoldása során kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa nulla. A két egyenlet különbsége: | | Innen vagy . A feltételeknek két kör felel meg, ezek egyenlete: | |
8. Az egyenletnek és nem lehet megoldása. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát -tel, majd rendezzük az egyenletet: Ha , akkor az egyenletnek nincs megoldása.
Ha , akkor lehet a megoldás, de , és , azaz , , , azaz ha , , , , akkor az egyenletnek egyetlen megoldása az Ha , , vagy , akkor az egyenletnek nincs megoldása. pontosan akkor teljesül, ha vagy .
|
|