Cím: 1996. Az V. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny feladatai
Füzet: 1996/október, 395 - 397. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

*A versenyről szeptemberi számunk 337. oldalán olvashattak.

 
 
I. évfolyam
 
 


 
1. a) Igazoljuk, hogy ha n egész szám, akkor 7n-14 és 5n+34 nem lehetnek egyszerre egész számok.
b) Hány olyan 1996-nál kisebb n természetes szám van, amelyre a 4n+313n+2 tört egyszerűsíthető?
 
2. A valós számok halmazán oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
{x2-4y+3=0,y2-4z+3=0,z2-4x+3=0.

 
3. Melyek azok az f, g:R→R függvények, amelyekre f(x)+f(g(x))=x+y, bármely
x, y∈R esetén?
 
4. Adott egy szabályos 17-oldalú sokszög. Bármely két csúcsát összekötjük egy piros, kék vagy zöld szakasszal. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan háromszög, amelynek azonos színű oldalai vannak.
 
5. Az ABC háromszögben a B és C szögek belső szögfelezőinek talppontját B', C'-vel, a külső szögfelezők metszéspontját Ia-val, míg a háromszög köré írható kör középpontját O-val jelöljük. Igazoljuk, hogy IaO⊥B'C'.
 
6. Adott egy ABC hegyesszögű háromszög, M∈Int(ABC), valamint N és P az M vetületei az AB és AC odalakra, és D a BC oldal felezőpontja. Igazoljuk, hogy MN⋅AC=MP⋅AB⇔BAM∢=DAC∢.

 
 
II. évfolyam
 
 


 
1. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n természetes szám esetén
1996∣25572n+1+15592n+1-40542n+1-622n+1

 
2. Bizonyítsuk be, hogy ha x∈[π4,arctgπ2), akkor
tg(ctgx)ctg(tgx)≤1≤tg(tgx)⋅ctg(ctgx).

 
3. Minden n≥1 egész számra határozzuk meg azt a legnagyobb értéket, amelyet az a szorzat vehet fel, amely szorzat tényezői egészek és a tényezők összege n.
 
4. Helyezzünk el n pozitív számot egy kör kerületén úgy, hogy egy kivételével mindegyik a vele szomszédos két szám mértani és számtani középarányosa által meghatározott zárt intervallumban legyen. Határozzuk meg a számokat, ha ismerünk egyet közülük!
 
5. Az ABC háromszögben az A szög belső szögfelezője a háromszög köré írt kört A1-ben metszi. Hasonlóan kapjuk a B1, C1 pontokat. Igazoljuk, hogy
Ter[BA1C]+Ter[CB1A]+Ter[AC1B]=p(R-r),(1)a2-a+b+c+b2a-b+c+c2a+b-c=2pr(R-r).(2)
(Itt Ter[XYZ] az XYZ háromszög területét jelöli.)
 
6. Legyen M egy olyan pont a térben, amelynek az ABCD tetraéder AB, BC, CD és DA éleire eső M1, M2, M3 és M4 vetületei az illető szakaszok belső pontjai. Számítsuk ki az aM1A+bM2B+cM3C+dM4D összeget (ahol a, b, c és d-vel az AB, BC, CD és DA élek hosszát jelöltük).

 
 
III. évfolyam
 
 


 
1. Igazoljuk, hogy (3+2)1996+(3-2)1996 pozitív egész szám, és adjuk meg a szám utolsó számjegyét.
 
2. Oldjuk meg a természetes számok halmazán az xy-x=yx-y egyenletet.
 
3. Legyen az ABC háromszög AC oldalának A-hoz közelebbi harmadolópontja D, BC oldalának felezőpontja E. Az ABED négyszögről tudjuk, hogy húrnégyszög és egyben érintőnégyszög is. Jelölje R az ABC háromszög körülírt körének sugarát, és r az ABED négyszög beírt körének sugarát. Határozzuk meg az Rr hányados pontos értékét.
 
4. Igazoljuk, hogy ha az ABC hegyesszögű háromszögben a=B és b=A, akkor c≤A⋅C (a, b, c a háromszög oldalainak hossza, A, B, C a háromszög szögeinek mértékei radiánban).
 
5. Egy 6n×6n (36n2 négyzetet tartalmazó) négyzetes táblára két játékos felváltva 2×2-es négyzeteket rak, amelyek nem fedik egymást (egy ilyen négyzet négy mezőt takar). Az veszít, aki már nem tud rakni.
a) Legalább hány lépés után fejeződhet be a játék?
b) Van-e valamelyik játékosnak nyerő stratégiája?
 
6. Az A1A2A3A4 tetraéderben Gi-vel jelöljük az Ai-vel szemben fekvő lap súlypontját. Ha egy térbeli M pont esetén 3MGi=MAi bármely i∈{1,2,3,4}-re, igazoljuk, hogy akkor M a tetraéder súlypontja.

 
 
IV. évfolyam
 
 


 
1. Az ABC egyenlő szárú háromszögben (AB=AC) az AB és AC szárakon felvesszük a D∈(AB), illetve E∈(AC) pontot úgy, hogy
(Ker(ADE)Ker(ABC))2=Ter(ADE)Ter(ABC).
(Ker(XYZ) az XYZ háromszög kerületét jelöli.) Igazoljuk, hogy DE párhuzamos BC-vel.
 
2. Határozzuk meg a következő halmaz elemeinek számát:
An={(x,y)|x≠y∈N,x,y∈[Fn,Fn+2]   és  ∃k∈N:x+y=Fk}
bármely rögzített n természetes szám esetén (Fn a Fibonacci sorozat n-edik tagja, F0=1, F1=1, Fn+1=Fn+Fn-1, ha n>1.)
 
3. Mennyi maradékot kapunk, ha az nn+1+(n+1)n természetes számot elosztjuk n(n+1)-gyel?
 
4. Legyen P(x) egy valós együtthatójú, n-edfokú polinom. Igazoljuk, hogy a P(P(P(x)))=0 egyenletnek nem lehet egy pontosan (n3-n2+1)-szeres gyöke.
 
5. Egy körvonalat 30 ponttal 30 ívdarabra osztottunk fel úgy, hogy az ívdarabok közül 10-nek a hossza 1,  10-nek a hossza 2, és 10-nek a hossza 3. Bizonyítsuk be, hogy a felvett osztópontok között van legalább kettő, amelyek átmérősen ellentettek (egy átmérő két végpontja).
 
6. Adott az f:(0,+∞)→R folytonos függvény úgy, hogy
(f∘f)(x)=(x+1)n+1n(n≥2).
Igazoljuk, hogy limx→∞f(x+1)f(x)=1.
**