Cím: 1996. Beszámoló a 7. magyar-izraeli matematikaversenyről
Szerző(k):  Pelikán József 
Füzet: 1996/május, 271 - 272. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az idei magyar‐izraeli matematikaversenyt március 24. és 31. között az izraeli
Haifában rendezték, közelebbről Izrael legrégibb egyetemén, a Technionban. Hagyományos módon az első nap egyéni verseny volt, 4 feladattal, 4 óra munkaidővel, a második nap pedig csapatverseny ‐ egy csapat tagjai közösen dolgoztak előre megadott témából. Idén ez a téma gráfelmélet volt. Itt 6 feladatot kellett a csapatoknak 4 óra alatt megoldani. Az egyéni versenyen minden feladat helyes megoldása 7 pontot ért. A magyar versenyzők közül Burcsi Péter és Gyarmati Katalin a maximálisan megszerezhető 28 pontot érte el, Bárász Mihály eredménye 23 pont, Gröller Ákos pontszáma pedig 16 volt. Burcsi a pápai Türr István Gimnázium IV. osztályos tanulója, a többiek a budapesti Fazekas Mihály Gimnázium IV. osztályába járnak. Az izraeli versenyzők pontszámai rendre 28, 15, 8, 8 voltak. Összesítésben tehát a magyar csapat 95:59 arányban győzött. A magyar csapat vezetője Pelikán József, az izraelié Shay Gueron volt.
A csapatversenyben hagyományosan nem hirdetünk formális eredményt, csak bejelentjük, hogy melyik csapat milyen teljesítményt nyújtott. A magyar csapat a 6-ból 5 feladatot oldott meg, az izraeli 2-t. (A 3. feladatot nem oldotta meg egyik csapat sem.) A feladatok szövegét alább közöljük.
A magyar csapatnak a csapatversenyen elért jó eredménye nem kis mértékben annak köszönhető, hogy 3 héten keresztül igen alapos felkészítésen vettek részt. Naponta felváltva tartott nekik foglalkozást Fleiner Tamás, Győri Ervin, Lukács András és Montágh Balázs. Segítségüket ezúton is szeretném megköszönni. A felkészítés alapja egyébként Lovász László klasszikus, ''Combinatorial Problems and Exercises'' című könyvének 6‐10. fejezete volt. Külön köszönet illeti Reiman Istvánt és Benczúr Pétert, akik az egész tanév során rendszeresen tartottak foglalkozásokat egy bővebb keretnek, amiből azután a 4 utazó versenyző kikerült.
Az izraeli rendezők gazdag programról gondoskodtak. A haifai városnézés és múzeumlátogatások mellett kirándulást tettünk többek között Akkóba (a keresztes lovagok utolsó erősségébe), valamint a római kori Judea provincia székhelyére, Caesereába, ahol a régészek az utóbbi években grandiózus romokat tártak fel. Baráti légkörű záróbankett egészítette ki a programot.
A jövő évi versenyt ismét Magyarország rendezi.

Pelikán József

 
1996. évi magyar‐izraeli matematikaverseny feladatai

 
 
Egyéni verseny
 
 

 
1. Határozzuk meg az összes olyan, egész számokból álló x1,x2,...,x1997 sorozatot, amelyre teljesül
∑k=119972k-1xk1997=1996∏k=11997xk

 
2. Legyen n pozitív egész szám és tegyük fel, hogy n2 előáll, mint két szomszédos pozitív egész köbének a különbsége. Bizonyítsuk be, hogy n előáll két négyzet összegeként. Bizonyítsuk be, hogy ilyen n valóban létezik.
 
3. Tegyük fel, hogy egy konvex poliéder semelyik csúcsára sem igaz, hogy pontosan 3 él indul ki belőle. Bizonyítsuk be, hogy a poliédernek legalább 8 háromszög-lapja van.
 
4. Legyenek a1, a2, ..., an tetszőleges valós számok és b1, b2, ..., bn olyan valós számok, amelyekre teljesül az 1≥b1≥b2≥...≥bn≥0 feltétel. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan k≤n pozitív egész, amire teljesül
|a1b1+a2b2+...+anbn|≤|a1+a2+...+ak|.

 
 
Csapatverseny
 
 

 
1. Egy G gráfnak 20 pontja van, nem tartalmaz háromszöget és minden pont foka osztható 4-gyel. Mennyi G éleinek maximális száma?
 
2. Legyen G egy n csúcsú gráf (n>1). Tegyük fel, hogy minden pont foka ≥(n-1)/2. Bizonyítsuk be, hogy létezik egy, kevesebb, mint 1+log2n csúcsból álló S halmaz, úgy, hogy minden S-en kívüli csúcshoz legalább egy S-beli csúcsból vezet él.
 
3. k milyen értékeire teljesül az, hogy minden összefüggő, k-reguláris páros gráf tartalmaz Hamilton-kört?
 
4. Adott egy irányított gráf és annak két különböző s és t csúcsa. Tegyük fel, hogy minden pont be-foka egyenlő a pont ki-fokával, továbbá, hogy minden t-t tartalmazó, de s-et nem tartalmazó csúcshalmazra igaz az, hogy az ebbe a halmazba belépő élek száma legalább k. Bizonyítsuk be, hogy s és t között van 2k darab élidegen irányított út úgy, hogy közülük k darab s-ből t-be, , a másik k darab pedig t-ből s-be vezet.
 
5. Az 1000 csúcsú és 100 élű utat nem tartalmazó gráfok közül melyiknek van a legtöbb éle?
 
6. Jelöljük f(k)-val a k csúcsú és 100 élű utat nem tartalmazó összefüggő gráfok élszámának a maximumát. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan c1 és c2 konstansok, hogy
49⋅k-c1≤f(k)≤49⋅k+c2.

Keressünk minél jobb értékeket c1-re és c2-re, ami érvényes
(a) k minden értékére;
(b) kellően nagy k értékekre.