A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az idei magyar‐izraeli matematikaversenyt március 24. és 31. között az izraeli Haifában rendezték, közelebbről Izrael legrégibb egyetemén, a Technionban. Hagyományos módon az első nap egyéni verseny volt, 4 feladattal, 4 óra munkaidővel, a második nap pedig csapatverseny ‐ egy csapat tagjai közösen dolgoztak előre megadott témából. Idén ez a téma gráfelmélet volt. Itt 6 feladatot kellett a csapatoknak 4 óra alatt megoldani. Az egyéni versenyen minden feladat helyes megoldása 7 pontot ért. A magyar versenyzők közül Burcsi Péter és Gyarmati Katalin a maximálisan megszerezhető 28 pontot érte el, Bárász Mihály eredménye 23 pont, Gröller Ákos pontszáma pedig 16 volt. Burcsi a pápai Türr István Gimnázium IV. osztályos tanulója, a többiek a budapesti Fazekas Mihály Gimnázium IV. osztályába járnak. Az izraeli versenyzők pontszámai rendre 28, 15, 8, 8 voltak. Összesítésben tehát a magyar csapat 95:59 arányban győzött. A magyar csapat vezetője Pelikán József, az izraelié Shay Gueron volt. A csapatversenyben hagyományosan nem hirdetünk formális eredményt, csak bejelentjük, hogy melyik csapat milyen teljesítményt nyújtott. A magyar csapat a 6-ból 5 feladatot oldott meg, az izraeli 2-t. (A 3. feladatot nem oldotta meg egyik csapat sem.) A feladatok szövegét alább közöljük. A magyar csapatnak a csapatversenyen elért jó eredménye nem kis mértékben annak köszönhető, hogy 3 héten keresztül igen alapos felkészítésen vettek részt. Naponta felváltva tartott nekik foglalkozást Fleiner Tamás, Győri Ervin, Lukács András és Montágh Balázs. Segítségüket ezúton is szeretném megköszönni. A felkészítés alapja egyébként Lovász László klasszikus, ''Combinatorial Problems and Exercises'' című könyvének 6‐10. fejezete volt. Külön köszönet illeti Reiman Istvánt és Benczúr Pétert, akik az egész tanév során rendszeresen tartottak foglalkozásokat egy bővebb keretnek, amiből azután a 4 utazó versenyző kikerült. Az izraeli rendezők gazdag programról gondoskodtak. A haifai városnézés és múzeumlátogatások mellett kirándulást tettünk többek között Akkóba (a keresztes lovagok utolsó erősségébe), valamint a római kori Judea provincia székhelyére, Caesereába, ahol a régészek az utóbbi években grandiózus romokat tártak fel. Baráti légkörű záróbankett egészítette ki a programot. A jövő évi versenyt ismét Magyarország rendezi.
1996. évi magyar‐izraeli matematikaverseny feladatai
1. Határozzuk meg az összes olyan, egész számokból álló sorozatot, amelyre teljesül | |
2. Legyen pozitív egész szám és tegyük fel, hogy előáll, mint két szomszédos pozitív egész köbének a különbsége. Bizonyítsuk be, hogy előáll két négyzet összegeként. Bizonyítsuk be, hogy ilyen valóban létezik.
3. Tegyük fel, hogy egy konvex poliéder semelyik csúcsára sem igaz, hogy pontosan 3 él indul ki belőle. Bizonyítsuk be, hogy a poliédernek legalább 8 háromszög-lapja van.
4. Legyenek , , , tetszőleges valós számok és , , , olyan valós számok, amelyekre teljesül az feltétel. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan pozitív egész, amire teljesül | |
1. Egy gráfnak 20 pontja van, nem tartalmaz háromszöget és minden pont foka osztható 4-gyel. Mennyi éleinek maximális száma?
2. Legyen egy csúcsú gráf (). Tegyük fel, hogy minden pont foka . Bizonyítsuk be, hogy létezik egy, kevesebb, mint csúcsból álló halmaz, úgy, hogy minden -en kívüli csúcshoz legalább egy -beli csúcsból vezet él.
3. milyen értékeire teljesül az, hogy minden összefüggő, -reguláris páros gráf tartalmaz Hamilton-kört?
4. Adott egy irányított gráf és annak két különböző és csúcsa. Tegyük fel, hogy minden pont be-foka egyenlő a pont ki-fokával, továbbá, hogy minden -t tartalmazó, de -et nem tartalmazó csúcshalmazra igaz az, hogy az ebbe a halmazba belépő élek száma legalább Bizonyítsuk be, hogy és között van darab élidegen irányított út úgy, hogy közülük darab -ből -be, , a másik darab pedig -ből -be vezet.
5. Az 1000 csúcsú és 100 élű utat nem tartalmazó gráfok közül melyiknek van a legtöbb éle?
6. Jelöljük -val a csúcsú és 100 élű utat nem tartalmazó összefüggő gráfok élszámának a maximumát. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan és konstansok, hogy Keressünk minél jobb értékeket -re és -re, ami érvényes (a) minden értékére; (b) kellően nagy értékekre. |