,,A labda gömbölyű'' hallhatjuk esélytelen csapatok szurkolóitól a futballmeccsek előtt. Mint tudjuk, a focilabda szabályos ötszögletű és szabályos hatszögletű bőrdarabokból van összevarrva. Ha a bőrdarabokat nyújthatatlannak képzeljük, akkor azokból nem állítható elő egy gömbfelület. A jelenleg elfogadott labdákat ugyanis egy síklapokkal határolt testből konstruálták. Egy ilyen testnek minden csúcsánál egy szabályos ötszög és két szabályos hatszög találkozik egymással, ezt jelöljük a címben is látott (5, 6, 6) szimbólummal. Ez a cikk megadja ennek a testnek az előállítását, amelyből a test merőleges vetülete is megszerkeszthető.
Vegyünk egy $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}F\text{'}G\text{'}H\text{'}$ kockát. A kocka tetszőleges síkra való merőleges vetületének megszerkesztése megtalálható a legtöbb ábrázoló geometria könyvben^{${}^{*}$}ld. pl. Kárteszi Ferenc: Ábrázoló geometria (Tankönyvkiadó, Budapest, 1957), ezért erre itt nem térünk ki. A kocka egy csúcsából kiinduló három élét tekintsük tengelykeresztnek, ennek alapján lehet megszerkeszteni a kocka $ABCDEFGH$ merőleges vetületét (1. ábra).
Amennyiben a kocka $A\text{'}C\text{'}F\text{'}H\text{'}$ csúcsai által meghatározott szabályos háromszöglapú testet tekintjük, akkor egy szabályos tetraédert kapunk. Ennek négy csúcsa, négy lapja és hat éle van. Merőleges vetületének szerkesztése a kocka merőleges vetületéből egyértelmű. A szabályos tetraéder hat élének felezéspontja egy szabályos oktaédert ad. Ezek a pontok azonosak a kocka lapközéppontjaival. Ez fordítva is igaz. Az oktaéder lapközéppontjai egy kockát határoznak meg. Ilyenkor mondjuk, hogy a két test duálisa egymásnak. Az oktaéder nyolc szabályos háromszöglapból áll és tizenkettő éle van. Merőleges vetületének szerkesztése a tetraéder merőleges vetületéből úgy történik, hogy annak éleit felezzük (a merőleges vetítés aránytartása miatt).
Az oktaéderből származtatunk egy tizenkét csúcsú szabályos háromszöglapokból álló testet, amelyet ikozaédernek hívnak. Milyen arányban osszuk fel az oktaéder éleit, hogy ikozaédert kapjunk? Ha felezzük az éleket, akkor a lapokon szabályos háromszögek, ellenben a csúcsoknál négyzetek keletkeznek. Így a felezéspontok nem adják a keresett testet. Ha az oktaéder háromszöglapjainak éleit körbejárjuk, és az éleket valamilyen $\lambda \ne \frac{1}{2}$ arányban felosztjuk, figyelembe véve, hogy a körbejárás szerint előbb a nagyobb darabot vesszük, akkor a keletkezett pontok háromszöglapú testet szolgáltatnak. Ezek a háromszögek azonban nem mind szabályosak, csak azok, amelyek az eredeti oktaéder lapjain vannak. Az oktaéder csúcsainál keletkező két háromszög ugyan egybevágó és egyenlő szárú, de csak egy bizonyos $\lambda$-nál szabályos. Mielőtt $\lambda$-t meghatároznánk, megmutatjuk, hogy az oktaéder élei körbejárhatók a kívánalmaink szerint. Egy ilyen Euler-vonalat, bejárást mutatnak a 2. ábra nyilai. Válasszuk egységnek az oktaéder élhosszát, ekkor a hosszabb éldarab hossza $\lambda$, a rövidebbé $1-\lambda$. Az oktaéder egyik csúcsánál a két $1-\lambda$ hosszúságú szakasz darab egymásra merőleges. Ezek tehát egy derékszögű háromszöget alkotnak. Ennek a derékszögű háromszögnek az átfogója azonos a korábban említett egyenlő szárú háromszög alapjával. Ugyanennek az egyenlő szárú háromszögnek a szára egy $\lambda$, $1-\lambda$ oldalú ${60}^{\circ }$-os szöget bezáró háromszögnek a harmadik oldala. Azt akarjuk, hogy az egyenlő szárú háromszögünk szabályos legyen. A koszinusztételből: