Kezdőlap


Cím:	Egyenlőtlenségek egy háromszög oldalaival
Szerző(k):	Kós Géza
Füzet:	1996/május, 266 - 268. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Versenyeken ‐ a KöMaL-ban is ‐ gyakran kell olyan egyenlőtlenséget igazolni, amelyben egy háromszög oldalhosszai szerepelnek. Ezeknek a feladatoknak a megoldásakor általában nemcsak azt kell felhasználni, hogy az oldalak hossza pozitív, hanem azt is, hogy teljesül a háromszög-egyenlőtlenség; ez összesen hat feltétel. Ha a bizonyítandó egyenlőtlenség bonyolult, a lehetőségek száma olyan nagy lesz, hogy a néhány soros megoldás megtalálása, ha egyszerűen csak próbálgatással dolgozunk, nagyon hosszú időbe telik.
Például egyszer a Nemzetközi Matematikai Diákolimpián szerepelt az az egyenlőtlenség, hogy ha $a$ , $b$ és $c$ egy háromszög oldalai, akkor

\begin{matrix} a^{2} b (a - b) + b^{2} c (b - c) + c^{2} a (c - a) \geq 0. \end{matrix}

(1)

A versenyen az akkori magyar csapatból ezt senki sem tudta bebizonyítani, pedig a feladatra létezik rövid megoldás: könnyen ellenőrizhető, hogy a bal oldalon álló mennyiség nem más, mint

\begin{matrix} \frac{(b + c - a) (c + a - b) {(b - c)}^{2} + (c + a - b) (a + b - c) {(c - a)}^{2} + (a + b - c) (b + c - a) {(a - b)}^{2}}{2} . \end{matrix}

A kérdés csak az: hogyan lehet egy ilyen megoldást megtalálni?
Most egy olyan módszert szeretnék vázolni, amivel a kiindulási feltételek számát hatról háromra csökkentjük. Ez nem oldja meg automatikusan a feladatot, de sok esetben könnyebben felismerhetővé teszi a megoldást.
Legyenek a háromszög oldalai

a

b

c

, félkerülete

s

. Legyen

x = s - a = \frac{1}{2} (b + c - a)

y = s - b = \frac{1}{2} (c + a - b)

és

z = s - c = \frac{1}{2} (a + b - c)

. Ismeretes, hogy ezek a mennyiségek azoknak a szakaszoknak a hosszai, amelyekre a beírt kör érintési pontjai az oldalakat felosztják, azaz

a = y + z

b = z + x

és

c = x + y

(ez egyszerű behelyettesítéssel is igazolható). Az

x

y

z

mennyiségek pozitívak. Ez a feltétel, ami valójában három egyenlőtlenséget jelent, ekvivalens azzal, hogy

a

b

c

pozitív, valamint

a > b + c

b > c + a

és

c > a + b

. Ha

a

b

c

helyére behelyettesítjük

(y + z)

-t,

(z + x)

-et és

(x + y)

-t, akkor a feladatot egy olyan egyenlőtlenség bizonyításává alakíthatjuk át, amely már nem egy háromszög oldalairól, hanem három közönséges pozitív számról szól.
Ezzel a módszerrel (1) így alakul:

\begin{matrix} \begin{matrix} {(y + z)}^{2} (z + x) (y - x) + {(z + x)}^{2} (x + y) (z - y) + {(x + y)}^{2} (y + z) (x - z) \geq 0; \\ x y^{3} + y z^{3} + z x^{3} - x^{2} y z - y^{2} z x - z^{2} x y \geq 0; \\ x y {(y - z)}^{2} + y z {(z - x)}^{2} + z x {(x - y)}^{2} \geq 0. \end{matrix} \end{matrix}

Az utolsó lépésig minden számolás mechanikus, csupán a négyzetösszeggé alakítás megtalálásához kell egy kicsit gondolkodni.
A háromszögnek sok más adata is kifejezhető

x

y

z

segítségével. Például a félkerület

s = x + y + z

, a terület a Héron-képletből

t = \sqrt[]{x y z (x + y + z)}

, a beírt kör sugara

r = \frac{t}{s} = \sqrt[]{\frac{x y z}{x + y + z}}

, a körülírt kör sugara

R = \frac{a b c}{4 t} = \frac{(x + y) (y + z) (z + x)}{4 \sqrt[]{x y z (x + y + z)}}

Gyakorlás céljára néhány feladat:

1. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} \frac{27}{8} \leq \frac{{(a + b + c)}^{3}}{(a + b) (b + c) (c + a)} < 4. \end{matrix}

2. Igazoljuk, hogy

R \geq 2 r

3. Bizonyítsuk be, hogy

3 (a + b) (b + c) (c + a) \leq 2 (a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 18 a b c

4. Legyenek a háromszög súlyvonalai

s_{a}

s_{b}

s_{c}

. Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} (s_{a} - \frac{| b - c |}{2}) \cdot (s_{b} - \frac{| c - a |}{2}) \cdot (s_{c} - \frac{| a - b |}{2}) \leq s t . \end{matrix}

Kós Géza