A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Mivel , azért | | , vagyis . | |
Megjegyzés. Az értékét a következők felhasználásával közvetlenül is meghatározhatjuk: | |
2. Legyen a kocka éle , a szabályos tetraéderé pedig , ekkor , . Tudjuk, hogy , vagyis , amiből . A térfogatok aránya: | |
3. I. megoldás. Az háromszögben legyen -nél a tompaszög. A legrövidebb magasság ekkor . Legyen a legrövidebb oldal , akkor a feladat szövege alapján . Vagyis egyenlő szárú derékszögű háromszög, a köré írt körben találtunk egy -os kerületi szöget: . A középponti szög ennek a kétszerese, így . A szokásos jelölésekkel: , , . , adódik a Pitagorasz-tétel segítségével. és derékszögű háromszögeknek közös az átfogójuk, ezért a rájuk felírt Pitagorasz-tételek összevetéséből adódik, vagyis . II. megoldás. Az előző megoldásban szereplő jelöléseket alkalmazzuk, továbbá felezőpontját nevezzük -nek. Belátható, hogy egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért . Felírjuk a Pitagorasz-tételt az háromszögre: , amiből , vagyis .
Megjegyzés. A két megoldásban kapott érték formailag különböző. Megmutatható, hogy ezek egyenlőek egymással. Az háromszögre írjuk fel a Pitagorasz-tételt: , amiből .
4. A feladat szövege alapján az egyenlet pozitív egész gyökeit kell meghatározni: . Elvégezzük a kijelölt műveleteket, majd a bal oldalra rendezzük a kapott tagokat: . Ha van egész megoldás, akkor az csakis a konstans osztói között lehet. Vegyük figyelembe, hogy pozitív egész gyököket keresünk, így csak három érték jöhet szóba: 1, 3, 9. Behelyettesítéssel kapjuk az egyedüli megoldást: .
5. Alkalmazhatjuk a számtani és a négyzetes közép közötti összefüggést két tagra, többször egymás után | | Néggyel szorozva kapjuk a bizonyítandó állítást. Egyenlőség az esetén van. Megjegyzés. Alkalmazhatjuk a számtani és a négyzetes közép közötti összefüggést négy tagra is, akkor valamivel kevesebb átalakítással érünk a bizonyítandó állításhoz.
6. A oldal felező merőlegesének felírása: a normálvektora: , felezőpontja: , egyenlete: . A oldal felező merőlegesének felírása: a normálvektora: , felezőpontja: , egyenlete: . A két egyenes metszéspontja a kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása, , . A metszéspont a keresett kör középpontja: , (a pont második koordinátája , így szinte ránézésre adódik az ). A keresett egyenlet: . Megjegyzés. Észrevehető, hogy az háromszögre teljesülnek a 3. feladat feltételei, ezért . Ennek a birtokában a középpont koordinátái már könnyen megkaphatók.
7. Legyen a hat valós szám: ; ; ; ; ; . A szöveg alapján , mivel ; ; egy mértani sorozat három egymást követő eleme. Végezzük el a kijelölt műveleteket: . Az összevonás után adódik. Oszthatunk -nel (): . A keresett arány: . Ez azt jelenti, hogy , vagyis a mértani sorozat így kezdődik: ; ; ; , amiből . A mértani sorozat tizedik eleme: , vagyis a számtani sorozat -edik tagja lesz az a szám, ami a mértani sorozatban a tizedik helyen áll. Vegyük a mértani sorozat -edik tagját. Ez . Mivel , azért az akkor lehet tagja a számtani sorozatnak, ha osztható -mal. Az azonos, páros kitevőjű hatványok különbsége osztható az alapok összegével, ezzel az állításunkat beláttuk.
8. ; ; , amiből ; ; , , , . Az első és a második tagból kiemelhető a , a negyedik és az ötödik tagból pedig a : | | Tudjuk (a Függvénytáblázatban is megtalálható): , ezért helyett írható. Ezután kiemelhető: | |
Két eset van: I. , amiből vagy , , , vagy , , II. . Belátható, hogy ebben az esetben nincs megoldás (pl. a és a alkalmazásával).
|
|