Kezdőlap


Cím:	Megjegyzés az F. 2946. feladathoz
Szerző(k):	Bakos Tibor
Füzet:	1996/április, 196. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1993. februári számban jelent meg a következő feladat: Van-e olyan 2-hatvány, amelynek 10-es számrendszerbeli alakja az $1$ , $9$ , $9$ , $3$ jegyekkel kezdődik?

I. Idézzük föl mindenekelőtt a feladat megoldását. Olyan

n

és

k

pozitív egészeket keresünk, amelyekre

\begin{matrix} 1993 \cdot 10^{k} \leq 2^{n} < 1994 \cdot 10^{k} \end{matrix}

(1)

teljesül. Mindkét egyenlőtlenség mindkét oldalának a 10-es alapú logaritmusát véve és rendezve, (1) a következő alakba írható:

\begin{matrix} log 1993 \leq n \cdot log 2 - k < log 1994, \end{matrix}

ill. figyelembe véve, hogy

[log 1993] = [log 1994] = 3

\begin{matrix} {log 1993} \leq n \cdot log 2 - (k + 3) < {log 1994} \end{matrix}

(itt

{α}

α

szám tört részét jelöli); azaz

\begin{matrix} 0,2995072987 \approx {log 1993} \leq {n \cdot log 2} < {log 1994} \approx 0,2997251539. \end{matrix}

(2)

Válasszunk először egy olyan

m

természetes számot, amelyre

\frac{1}{m} < {log 1994} - {log 1993}

; pl.

m = 10000

megfelelő. Az

[\frac{i}{m}, \frac{i + 1}{m})

intervallumok (

i = 0

1

...

m - 1

) száma

m

, és ezek együttesen lefedik a

[0,1)

intervallumot. Így a

{log 2}

{2 \cdot log 2}

...

{(m + 1) \cdot log 2}

számok között (amelyek páronként különbözőek

log 2

irracionalitása miatt) lennie kell két olyannak, amelyek ugyanabba az

[\frac{i}{m}, \frac{i + 1}{m})

intervallumba esnek. Tehát léteznek olyan

1 \leq a < b \leq m + 1

egészek, hogy

| {a \cdot log 2} - {b \cdot log 2} | < \frac{1}{m}

. Ebből már könnyen belátható olyan

c

pozitív egésznek a létezése, amelyre

{c \cdot log 2} < \frac{1}{m}

. Egy ilyen

c

számnak pedig nyilván létezik olyan

n

többese, ami eleget tesz (2)-nek.

II. A felidézett bizonyítás csupán annyit használt fel a feladat szereplőiről, hogy

log 2

irracionális; így a megfelelő állítás igaz marad 1993 helyett tetszőleges számjegysorozatra^{$^{*}$}Egy példa a

π

első három jegyére:

2^{41745} = 10^{12566} \cdot 3.14173 ...

. Azt sem nehéz megmutatni, hogy végtelen sok, az (1) követelményt kielégítő

n

szám létezik. A létezés igazolása után nézzünk most néhány konkrét kitevőt is a megfelelők közül. Némi próbálgatás után számológéppel könnyen megtalálhatjuk az alábbi értékeket:

\begin{matrix} \begin{matrix} 2^{12621} & = 10^{3799} \cdot 1,993311971 ..., & (A) \\ 2^{14757} & = 10^{4442} \cdot 1,993636670 ..., & (B) \\ 2^{16893} & = 10^{5085} \cdot 1,993961422 ...; & (C) \end{matrix} \end{matrix}

Az ötödik számjegyet figyelve látható, hogy a 2 kitevőjét 2136-osával növelgetve viszonylag hamar elérhetjük, hogy a hatvány 1, 9, 9, 6-tal kezdődjön:

2^{16893 + k \cdot 2136}

értéke

k = 7

mellett

\begin{matrix} 2^{31845} = 10^{9586} \cdot 1,996236116 ..., \end{matrix}

és még a

k = 8

és

9

is jó.
Az eredeti kérdésre visszatérve, az ott bemutatott 12621-es kitevőnél kisebb is található:

\begin{matrix} 2^{1456} = 10^{438} \cdot 1,993763709 ..., \end{matrix}

(D)

bár ez az előzőekhez képest egy ,,magányos'' megoldás. Ha azonban megengedünk negatív hatványkitevőt is, akkor a kitevőnek a bevált 2136-tal való csökkentése itt is eredményre vezet:

\begin{matrix} \begin{matrix} 2^{- 680} & = 10^{- 205} \cdot 1,99343899 ..., \\ 2^{- 2816} & = 10^{- 848} \cdot 1,993114323 ... . \end{matrix} \end{matrix}

III. Ábrázolhatjuk a feladatbeli problémát (a természetesen adódó számegyenes helyett) a síkon is, a következőképpen. Vegyünk fel a síkon egy szokásos derékszögű koordinátarendszert, jelöljük ennek alapvektorait

i

-vel és

j

-vel. Tekintsük ezután azt a pontrácsot, amelyet az

u = (log 2) i

és a

v = - i + j

alapvektorok feszítenek ki. Ebben egy

n u + k v

helyvektorú rácspont

(n, k)

koordinátái pontosan akkor elégítik ki (2)-t, ha a pont benne van abban az

y

tengellyel párhuzamos keskeny sávban, amelyet az

\begin{matrix} x = log 1993 = 3,2995072 ... \end{matrix}

és az

\begin{matrix} x = log 1994 = 3,2997251 ... \end{matrix}

egyenletű egyenesek határolnak. Az I.-ben leírt megoldás eredménye itt úgy fogalmazható meg, hogy a sávban létezik (méghozzá a megoldást követő megjegyzés szerint végtelen sok) rácspont. Az (A), (B), (C)-beli példáknak megfelelő rácspontok egyetlen rácsegyenesen vannak rajta, amelynek a meredeksége alig

0,022

szögmásodperccel tér el a 90 foktól. Az érdeklődő Olvasó kiszámolhatja, vajon az (A), (B), (D) valamint a (B), (C), (D) rácsháromszögekben van-e további rácspont.

Bakos Tibor

^{$^{*}$}

^{1}