Cím: Megoldásvázlatok és erdmények a III. mérőlap feladataihoz
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1996/március, 145 - 146. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Az első egyenlet x+y-ra másodfokú, s mivel x+y0, azért x+y=2, x+y=4. Az
x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)
azonosság alkalmazásával 40=64-12xy, tehát az xy=2, x+y=4 egyenletrendszert kell megoldani. Ennek x1=2+2, y1=2-2 és x2=2-2, y2=2+2 megoldásai az egyenletrendszer megoldásai.
 
2. Elegendő igazolni, hogy 122(x2+y2+1-x-y-xy)0. Ez viszont teljesül, mert azonos átalakításokkal
12(x2-2x+1+y2-2y+1+x2+y2-2xy)=12((x-1)2+(y-1)2+(x-y)2)0
valóban minden valós (x,y) számpárra teljesül. Az egyenlőség x=1, y=1 esetén áll fenn.
 
3. Azonos átalakításokkal
f(x)=1+1(x+1)2+1.(1)
Mivel (x+1)2+11, azért f(x) valóban minden valós számra értelmezhető, és értéke mindig pozitív, és 0<1(x+1)2+11, ezért 1<f(x)2, a lehetséges értékek halmaza.
Ha g(x)=1x2+1, akkor g(x+1)=1(x+1)2+1, és f(x)=1+g(x+1), tehát ha a g(x) grafikonját a v(-1;1) vektorral eltoljuk, akkor kapjuk f(x) grafikonját.
 
4. Ha sin(α-β)=0, akkor α-β=kπ, kZ, ahonnan β=α-kπ, 2β=2α-2kπ, 2β-α=α-2kπ, tehát valóban sin(2β-α)=sin(α-2kπ)=sinα. Az állítás nem fordítható meg, amit egyetlen ellenpélda igazol, pl. ha α=0, β=π2. (Felhasználhatjuk, hogy sin(2β-α)-sinα=-2cosβsin(α-β).)
 
5. Legyen a BC oldal felezőpontja A1, CA1A=φ, ekkor BA1A=180-φ és a koszinusztétel alkalmazásával
b2=(a2)2+sa2-asacosφésc2=(a2)2+sa2+asacosφ,
azaz
b2+c2=2sa2+12a2ésa2=b2+c2-2bccosα.
Innen
4sa2=2(b2+c2)-(b2+c2-2bccosα)=b2+c2+2bccosα=(b+c)2-2bc(1-cosα).
Mivel 1-cosα=2sin2α2, azért valóban sa2=(b+c2)2-bcsin2α2.
 
6. Mivel an+1=2an-1, így an+1-1=2an-2=2(an-1), vagyis a1-1, a2-1, ..., ak-1, ... egy 2 hányadosú mértani sorozat. Ezért a1-1=3 figyelembevételével an=32n-1, tehát an=32n-1+1. Így
Sn=3(1+2+...+2n-1)+n=3(2n-1)+n=32n+n-3.

 
7. Mindkét kör sugara 10 egység, a C1(-8;12) és C2(4;-4) középpontok távolsága C1C2=20 egység, ezért a két kör a C1C2 távolság E(-2;4) felezőpontjában érinti egymást. A keresett kör érinti az x tengelyt, ezért ha a középpontja C(u;v), akkor r2=v2, tehát egyenletét (x-u)2+(y-v)2=v2 alakban kereshetjük.
Az E(-2;4) pont rajta van ezen a körön, tehát egyrészt
(-2-u)2+(4-v)2=v2,(1)
másrészt a C(u;v) pont rajta van a C1C2 egyenesen, amelynek egyenlete 4x+3y=4, tehát
4u+3v=4.(2)
A (2) egyenletből u=1-34v, ezt az (1) egyenletbe helyettesítve
(-3+34v)2+(4-v)2=v2,
ahonnan 9v2-200v+400=0, v1=20, v2=209, így r1=20, u1=-14 és r2=209, u2=-23. A feltételeknek két kör felel meg, ezek egyenlete:
(x+14)2+(y-20)2=400,illetve(x+23)2+(y-209)2=40081.

 
8. Ha p=0, akkor f(x)=-x+5 a ]2;4[ nyílt intervallumban csak pozitív értéket vesz fel.
Az f(x)=p(x-1p)(x-5) alakból leolvasható, hogy ha p<0 vagy 0<p14, akkor f(x) csak pozitív értéket vesz fel: ha 14<p<12, akkor felvesz pozitív és negatív értéket is; ha pedig p12, akkor csak negatív értéket vesz fel.
Rábai Imre