A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Azonos átalakításokkal , , tehát | | Innen látható, hogy és a legkisebb értéket, a -et akkor veszi fel, ha , azaz ha vagy .
2. Az háromszög területe (pl. Heron-képlettel) területegység. Legyen merőleges vetülete az oldalon . A trapéz területe (miért?). Mivel , azért egység, és innen egység, tehát | |
3. Ha az és az egyenleteknek van közös gyöke, akkor az a egyenletnek is gyöke. Mivel , azért a közös gyök. Ha az első egyenlet gyökei , , a másodiké , , akkor egyrészt , , másrészt (), azaz valóban . Egy olyan másodfokú egyenlet, amelynek gyökei és (, ), .
4. Mivel és , ezért pontosan akkor, ha , amiből , , , .
5. Az egyenlet alakban írható. Mivel , azért
A megoldások a táblázatból leolvashatók.
6. Mivel a=2rsinα, b=2rsinβ és c=2rsinγ, azért | 4r2sin2α-4r2sin2β=4r2sinγ,ahonnan(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=sinγ,2sinα+β2⋅cosα-β2⋅2cosα+β2sinα-β2=sin(α+β).sin(α+β)⋅sin(α-β)=sin(α+β). | Mivel most sin(α+β)>0, azért sin(α-β)=1, α-β=90∘. A feltételből α+β=144∘, tehát α=117∘ és β=27∘.
7. Az adott (x-6)2+(y+1)2=4 kör C(6;-1) középpontjának az x-2y=-2 egyenletű egyenesre eső merőleges vetülete T(4;3). A szóban forgó két kör közös külső érintői merőlegesek az x-2y=-2 egyenletű egyenesre, így egyenletüket 2x+y+k=0 alakban kereshetjük. A C(6;-1) pont távolsága az érintőktől r=2 egység, így ahonnan k=-11+25 vagy k=-11-25, azaz a külső érintők egyenlete | 2x+y-11+25=0és2x+y-11-25=0. | A belső érintők átmennek a T(4;3) ponton, és a C(6;-1) ponttól r=2 egység távolságra vannak. A belső érintők egyenletét alakban kereshetjük. Így 2A2+B2=2|A-2B|, A2+B2=A2-4AB+4B2, B(3B-4A)=0. Ha B=0, akkor A tetszőleges (nem nulla) szám lehet, így az egyik belső érintő egyenlete x=4, ha A=3, akkor B=4, így a másik belső érintő egyenlete 3x+4y-24=0.
8. Az egyenletnek x=2 és x=-2 nem lehet megoldása. Szorozzuk meg (x2-4)-gyel az egyenlet mindkét oldalát. Az egyenlet diszkriminánsa D=(12-a)2-8(12-a)=(a-4)(a-12). Ha D<0, azaz ha 4<a<12, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Ha a=4, akkor az eredeti egyenlet egyetlen megoldása x1=-4. Ha a=12, akkor az eredeti egyenlet megoldása x2=0. Ha a<4 vagy a>12 és a≠13, akkor az eredeti egyenletnek két megoldása van: | x3=a-12+(a-4)(a-12)2ésx4=a-12-(a-4)(a-12)2. |
Ha a=13, akkor az egyetlen megoldás x5=-1.
|