Cím:	Megoldások és eredmények a II. mérőlap feladataihoz
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1996/február, 76 - 78. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Azonos átalakításokkal $\left(x-1\right)\left(x-4\right)=x^2-5x+4$,  $\left(x-2\right)\left(x-3\right)=x^2-5x+6$, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)={\left(x^2-5x\right)}^2+10\left(x^2-5x\right)+\mathrm{34,}f\left(x\right)={\left(x^2-5x+5\right)}^2+9.}\end{array}$ Innen látható, hogy $f\left(x\right)\ge 9$ és a legkisebb értéket, a $9$-et akkor veszi fel, ha $x^2-5x+5=0$, azaz ha $x=\frac{1}{2}\left(5+\sqrt[]{5}\right)$ vagy $x=\frac{1}{2}\left(5-\sqrt[]{5}\right)$.   2. Az $ABC$ háromszög területe (pl. Heron-képlettel) $t=\mathrm{3,3}$ területegység. Legyen $C$ merőleges vetülete az $AB$ oldalon $C_1$. A trapéz területe $T=A{C}_1\cdot C{C}_1$ (miért?). Mivel $AB\cdot C{C}_1=2\cdot \mathrm{3,3}$, azért $C{C}_1=\mathrm{1,5}$ egység, és innen $A{C}_1=\mathrm{3,6}$ egység, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{1,5}=\mathrm{5,4}\text{területegység}\mathrm{.}}\end{array}$   3. Ha az $x^2+px-q=0$ és az $x^2+qx-p=0$ egyenleteknek van közös gyöke, akkor az a $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(p-q\right)x-q+p=0}\end{array}$ egyenletnek is gyöke. Mivel $p\ne q$, azért $x_0=-1$ a közös gyök. Ha az első egyenlet gyökei $x_0$, $x_1$, a másodiké $x_0$, $x_2$, akkor egyrészt $x_1=q$, $x_2=p$, másrészt $-1+q=-p$  ($-1+p=-q$), azaz valóban $x_1+x_2=p+q=1$. Egy olyan másodfokú egyenlet, amelynek gyökei $x_2$ és $x_3$ ($x_2=p$, $x_3=1-p$), $x^2-x+p\left(1-p\right)=0$.   4. Mivel $1+\text{sin}2x={\left(\text{sin}x+\text{cos}x\right)}^2$ és $\sqrt[]{a^2}=|a|$, ezért $\frac{|\text{sin}x+\text{cos}x|}{\text{sin}x+\text{cos}x}=-1$ pontosan akkor, ha $\text{sin}x+\text{cos}x<0$, amiből $\text{sin}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)<0$, $\pi +2k\pi <x+\frac{\pi }{4}<2\pi +2k\pi$, $\frac{3\pi }{4}+2k\pi <x<\frac{7\pi }{4}+2k\pi$, $k\in \text{Z}$.   5. Az egyenlet $\left(y-x\right)\left(x-2y\right)=6$ alakban írható. Mivel $6=1\cdot 6=6\cdot 1=\left(-1\right)\cdot \left(-6\right)=\left(-6\right)\cdot \left(-1\right)=2\cdot 3=3\cdot 2=\left(-2\right)\cdot \left(-3\right)=\left(-3\right)\cdot \left(-2\right)$, azért   $\begin{array}{|ccccccccc|}\hline \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo stretchy="false">-</mo><mi>x</mi></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>6</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>6</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>2</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>3</mn></math> }\hfill \\ \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">-</mo><mn>2</mn><mi>y</mi></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>6</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>6</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>3</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>2</mn></math> }\hfill \\ \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>0</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>0</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>7</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>7</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>0</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>0</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>5</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>5</mn></math> }\hfill \\ \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>8</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>13</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>7</mn></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>8</mn></math> }\hfill \\ \hline\end{array}$   A megoldások a táblázatból leolvashatók.   6. Mivel $a=2r\text{sin}\alpha$, $b=2r\text{sin}\beta$ és $c=2r\text{sin}\gamma$, azért $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 4r^2\text{sin}{}^2\alpha -4r^2\text{sin}{}^2\beta =4r^2\text{sin}\gamma \mathrm{,}\text{ahonnan}}\\ \hfill {\displaystyle \left(\text{sin}\alpha +\text{sin}\beta \right)\left(\text{sin}\alpha -\text{sin}\beta \right)=\text{sin}\gamma \mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle 2\text{sin}\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \text{cos}\frac{\alpha -\beta }{2}\cdot 2\text{cos}\frac{\alpha +\beta }{2}\text{sin}\frac{\alpha -\beta }{2}=\text{sin}\left(\alpha +\beta \right)\mathrm{.}}\\ \hfill {\displaystyle \text{sin}\left(\alpha +\beta \right)\cdot \text{sin}\left(\alpha -\beta \right)=\text{sin}\left(\alpha +\beta \right)\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Mivel most $\text{sin}\left(\alpha +\beta \right)>0$, azért $\text{sin}\left(\alpha -\beta \right)=1$, $\alpha -\beta ={90}^{\circ }$. A feltételből $\alpha +\beta ={144}^{\circ }$, tehát $\alpha ={117}^{\circ }$ és $\beta ={27}^{\circ }$.   7. Az adott ${\left(x-6\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=4$ kör $C\left(6;-1\right)$ középpontjának az $x-2y=-2$ egyenletű egyenesre eső merőleges vetülete $T\left(4;3\right)$. A szóban forgó két kör közös külső érintői merőlegesek az $x-2y=-2$ egyenletű egyenesre, így egyenletüket $2x+y+k=0$ alakban kereshetjük. A $C\left(6;-1\right)$ pont távolsága az érintőktől $r=2$ egység, így $\begin{array}{c}{\displaystyle 2=\frac{|12-1+k|}{\sqrt[]{5}}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $k=-11+2\sqrt[]{5}$ vagy $k=-11-2\sqrt[]{5}$, azaz a külső érintők egyenlete $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x+y-11+2\sqrt[]{5}=0\text{és}2x+y-11-2\sqrt[]{5}=0.}\end{array}$ A belső érintők átmennek a $T\left(4;3\right)$ ponton, és a $C\left(6;-1\right)$ ponttól $r=2$ egység távolságra vannak. A belső érintők egyenletét $\begin{array}{c}{\displaystyle Ax+By-4A-3B=0\left(A^2+B^2>0\right)}\end{array}$ alakban kereshetjük. Így $\begin{array}{c}{\displaystyle 2=\frac{|6A-B-4A-3B|}{\sqrt[]{A^2+B^2}}\mathrm{,}}\end{array}$ $2\sqrt[]{A^2+B^2}=2|A-2B|$,  $A^2+B^2=A^2-4AB+4B^2$,  $B\left(3B-4A\right)=0$. Ha $B=0$, akkor $A$ tetszőleges (nem nulla) szám lehet, így az egyik belső érintő egyenlete $x=4$, ha $A=3$, akkor $B=4$, így a másik belső érintő egyenlete $3x+4y-24=0$.   8. Az egyenletnek $x=2$ és $x=-2$ nem lehet megoldása. Szorozzuk meg $\left(x^2-4\right)$-gyel az egyenlet mindkét oldalát. Az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+\left(12-a\right)x+2\left(12-a\right)=0}\end{array}$ egyenlet diszkriminánsa $D={\left(12-a\right)}^2-8\left(12-a\right)=\left(a-4\right)\left(a-12\right)$. Ha $D<0$, azaz ha $4<a<12$, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Ha $a=4$, akkor az eredeti egyenlet egyetlen megoldása $x_1=-4$. Ha $a=12$, akkor az eredeti egyenlet megoldása $x_2=0$. Ha $a<4$ vagy $a>12$ és $a\ne 13$, akkor az eredeti egyenletnek két megoldása van: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_3=\frac{a-12+\sqrt[]{\left(a-4\right)\left(a-12\right)}}{2}\text{és}{x}_4=\frac{a-12-\sqrt[]{\left(a-4\right)\left(a-12\right)}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha $a=13$, akkor az egyetlen megoldás $x_5=-1$. Rábai Imre