Kezdőlap


Cím:	A pitagoraszi számhármasokról
Szerző(k):	Fried Ervin
Füzet:	1996/február, 72 - 75. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Pitagoraszi számhármasoknak azokat a pozitív $a$ , $b$ , $c$ egész számokból álló számhármasokat nevezik, amelyekre $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ teljesül. Az elnevezés arra utal, hogy ezek a számhármasok léphetnek fel egy derékszögű háromszög oldalainak a mérőszámaként.
A pitagoraszi számhármasok szokásos meghatározása elég elemien történhet; lényegében csak az egyértelmű prímtényezős felbontást kell felhasználni. A bizonyításban van ugyan néhány ``trükkös'' gondolat is, de ezek is egész elemiek. Az okoz némi nehézséget, hogy eleve olyan megoldásokra kell korlátozódni, amelyekben a fellépő számhármasok relatív prímek. Ebből természetesen kapható az összes megoldás; mégpedig $a t$ , $b t$ , $c t$ alakban, ahol $t$ tetszőleges pozitív egész szám. Ez azt mutatja, hogy a megoldásban csupán a szereplő számok aránya lényeges. A megoldásokat három pozitív egész paraméter segítségével adják meg; amelyek egyike éppen a fenti $t$ . A másik két paraméter pedig ``majdnem'' független egymástól.
Itt most egy olyan módszert fogunk tárgyalni, ahol csupán egyetlen paraméter szerepel; igaz, ez egy racionális szám. Ez a racionális szám egyszerre szolgáltatja az összes $a t$ , $b t$ , $c t$ alakú megoldást; lényegében annak megfelelően, hogy melyik két egész szám hányadosaként írjuk fel. A másik két paraméter (tulajdonképpen ezek a lényegesek) ``egybevonódik''.
Osszuk el a kiindulási egyenlőséget $a^{2}$ -tel. Ezt megtehetjük, mert csupán pozitív számok léphetnek fel. Így az

\begin{matrix} 1 + u^{2} = v^{2} (u = \frac{b}{a}, v = \frac{c}{a}) \end{matrix}

(1)

egyenlőséghez jutunk. Az

u

és

v

racionális számokra tehát

v^{2} - u^{2} = 1

teljesül, amit

\begin{matrix} (v + u) (v - u) = 1 \end{matrix}

(2)

alakba írhatunk. Mivel

u, v

racionális számok, ezért

r = v + u

és

\frac{1}{r} = v - u

is azok.

v > u

miatt

v + u > v - u

és így

r > 1

r

-rel kifejezve

u

-t és

v

-t, a

\begin{matrix} v = \frac{r + \frac{1}{r}}{2} és u = \frac{r - \frac{1}{r}}{2} \end{matrix}

(3)

összefüggéshez jutunk. Ezáltal az összes megoldást leírtuk. Be kell azonban látni, hogy bármely racionális

r

esetén a (3) alatti képlet megoldást szolgáltat. Ez viszont azonnal következik, ha a (3) alatti kifejezéseket (2) bal oldalába beírjuk. Láthatjuk, hogy a kapott

r

paraméter csak a pitagoraszi számhármas elemeinek az arányát határozza meg. Ez tulajdonképpen ,,jó'' is. A derékszögű háromszögre gondolva ez azt jelenti, hogy csak a különböző alakú háromszögeket tekintjük különbözőknek.
Még mindig célszerű valamit megvizsgálni. Nevezetesen az előállítás egyértelműségét; vagyis azt, hogy a (3) alatti formula más megoldást ad-e, ha

r

helyébe egy tőle különböző

r'

racionális számot írunk. Ez is azonnal belátható, mert ha ugyanahhoz a számhármashoz jutunk, akkor a

v' = v

és

u' = u

egyenlőségekből

r = v + u = v' + u' = r'

adódik.
Ne higgyük azt, hogy most már teljesen készen vagyunk. Egy dologról megfeledkeztünk. Nevezetesen arról, ha az eredeti egyenlőséget

b^{2}

-tel osztjuk, akkor ugyanolyan formájú egyenlőséghez jutunk, mint az előbb. Ennek a megoldása viszont láthatóan más

r

racionális szám lesz. Például a

3

4

5

pitagoraszi számhármas esetén

3

-mal osztva

u = \frac{4}{3}

v = \frac{5}{3}

és

r = \frac{9}{3} = 3

adódik. Ha viszont

4

-gyel osztunk, akkor azt kapjuk, hogy

u = \frac{3}{4}

v = \frac{5}{4}

és

r = \frac{8}{4} = 2

. Ez csupán egy apró kis ``szépséghiba'', mégis érdemes megvizsgálni, hogy mely racionális számpárokhoz tartozik ugyanaz a pitagoraszi számhármas. Feltehető, hogy eredetileg

a < b

teljesül^{$^{*}$}

a = b

lehetetlen, mert

\sqrt[]{2}

irracionális. Igaz, hogy ennek a kimutatásánál is felhasználjuk az egyértelmű prímfaktorizációt; de enélkül is boldogulnánk, csupán az

a = b

esetet kellene külön tárgyalni.. Ez azzal ekvivalens, hogy

u > 1

. Behelyettesítve ide az

u

-ra adott (3) alatti értéket az

r - \frac{1}{r} > 2

egyenlőtlenséghez jutunk. Hasonló módon látható, hogy az

a > b

feltétel az

r - \frac{1}{r} < 2

egyenlőtlenséggel ekvivalens. Mint láttuk,

r > 1

; és ebben az esetben az

r - \frac{1}{r}

kifejezés mindkét tagja

r

-ben monoton növekszik. Ha tehát megkeressük az

r - \frac{1}{r} = 2

egyenlet

1

-nél nagyobb valós gyökét (amennyiben pontosan egy ilyen van), akkor a gyöknél nagyobb

r

-ek esetében a megfelelő egészekre

a < b

, a gyöknél kisebbekre viszont

b < a

teljesül. Ha egyértelműséget akarunk, akkor elég az egyik ``irányra'' korlátozódni. Egyenletünket átalakítva azt nyerjük, hogy

r^{2} - 2 r - 1 = 0

, azaz

{(r - 1)}^{2} = 2

. Ennek az egyenletnek valóban egyetlen

1

-nél nagyobb (sőt egyetlen pozitív) valós gyöke van:

r = 1 + \sqrt[]{2}

.
Ha már itt tartunk, akkor azt is érdemes megnézni, hogy milyen

r

és

s

racionális számpárok szolgáltatják ugyanazt a megoldást. Erre ugyan nincs szükség a megoldáshoz, de teljesebbé teszi képünket. Nagyság szerint rendezve a megoldásokat az

\begin{matrix} 1 < \frac{r - \frac{1}{r}}{2} < \frac{r + \frac{1}{r}}{2}, illetve az \frac{s - \frac{1}{s}}{2} < 1 < \frac{s + \frac{1}{s}}{2} \end{matrix}

(4)

hármasokhoz jutunk. Feltétel szerint e két számhármas mindegyike az

a < b < c

pitagoraszi számhármasból keletkezett. Ez azt jelenti, hogy

\begin{matrix} \frac{r - \frac{1}{r}}{2} = \frac{b}{a}, \frac{r + \frac{1}{r}}{2} = \frac{c}{a} és \frac{s - \frac{1}{s}}{2} = \frac{a}{b}, \frac{s + \frac{1}{s}}{2} = \frac{c}{b} . \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} \frac{a}{b} = \frac{1}{(\frac{b}{a})} és a \frac{c}{b} = \frac{(\frac{c}{a})}{(\frac{b}{a})} \end{matrix}

összefüggéseket felhasználva (5)-ből tehát azt kapjuk, hogy:

\begin{matrix} \frac{s - \frac{1}{s}}{2} = \frac{2}{r - \frac{1}{r}} és \frac{s + \frac{1}{s}}{2} = \frac{r + \frac{1}{r}}{r - \frac{1}{r}} = \frac{r^{2} + 1}{r^{2} - 1} . \end{matrix}

(6)

Egyszerűbb alakra hozva az

\begin{matrix} \frac{s^{2} - 1}{2 s} = \frac{2 r}{r^{2} - 1}, illetve az \frac{s^{2} + 1}{2 s} = \frac{r^{2} + 1}{r^{2} - 1} \end{matrix}

(7)

egyenlőségeket nyerjük. Ebből összeadással az

\begin{matrix} s = \frac{2 s^{2}}{2 s} = \frac{s^{2} - 1}{2 s} + \frac{s^{2} + 1}{2 s} = \frac{2 r}{r^{2} - 1} + \frac{r^{2} + 1}{r^{2} - 1} = \frac{{(r + 1)}^{2}}{r^{2} - 1} = \frac{r + 1}{r - 1} = 1 + \frac{2}{r - 1} \end{matrix}

egyenlőséghez jutunk. Ezt az egyenlőséget

s - 1 = \frac{2}{r - 1}

, illetve

(s - 1) (r - 1) = 2

alakra hozhatjuk. Ez az ‐

r

és

s

között fennálló ‐ összefüggés adja meg azt a feltételt, hogy ezekhez a racionális számokhoz ugyanaz a pitagoraszi számhármas tartozik. Ez a feltétel nemcsak szükséges, de elégséges is ahhoz, hogy ugyanazt a pitagoraszi számhármast határozzák meg. Ha ugyanis

s = 1 + \frac{2}{r - 1}

, akkor

\begin{matrix} \frac{s^{2} - 1}{2 s} = \frac{{(1 + \frac{2}{r - 1})}^{2} - 1}{2 (1 + \frac{2}{r - 1})} = \frac{{(r + 1)}^{2} - {(r - 1)}^{2}}{2 (r - 1) (r + 1)} = \frac{4 r}{2 (r^{2} - 1)} = \frac{2 r}{r^{2} - 1}, \end{matrix}

és hasonlóképpen

\frac{s^{2} + 1}{2 s} = \frac{r^{2} + 1}{r^{2} - 1}

. Eszerint a (7), és így a (6) alatti feltételek igazak. Ebből viszont azonnal következik, hogy az (5)-ben szereplő

a

b

c

-re fennálló arányok mindkét esetben megegyeznek. Az

s = r

esetben természetesen a már szerepelt

{(r - 1)}^{2} = 2

egyenlőséghez jutunk.
A már említett

3

4

5

pitagoraszi számhármasnál a két esetben

r = 3

és

r = 2

adódott. Valóban

(3 - 1) (2 - 1) = 2

.
A kapott előállításból meghatározhatjuk a pitagoraszi számhármasok ``eredeti'' előállítását is. Igaz, az egyértelműségi feltétel ebből nem olvasható ki. Tegyük fel, hogy

r = \frac{x}{y}

alkalmas pozitív

x

és

y

egész számokkal. Ebből

\frac{1}{r} = \frac{y}{x}

következik. Ezeket (3)-ba behelyettesítve és átalakítva

\begin{matrix} v = \frac{x^{2} + y^{2}}{2 x y} és u = \frac{x^{2} - y^{2}}{2 x y} \end{matrix}

adódik. Ebből azonnal kapjuk, hogy

a = 2 x y t

b = (x^{2} - y^{2}) t

és

c = (x^{2} + y^{2}) t

alakú. Itt a három paraméter tetszőleges, de vigyázni kell arra, hogy nem minden esetben kapunk különböző megoldást.

Fried Ervin

^{$^{*}$}*