Cím: 1995. Jelentés a Kürschák József Matematikai Tanulóversenyről
Füzet: 1996/február, 65 - 66. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Bolyai János Matematikai Társulat az 1995. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyt október 13-án rendezte a következő 19 városban: Békéscsaba, Budapest, Debrecen, Eger, Győr, Kaposvár, Kecskemét, Miskolc, Nagykanizsa, Nyíregyháza, Pécs, Salgótarján, Sopron, Szeged, Székesfehérvár, Szolnok, Szombathely, Tatabánya, Veszprém. A Társulat a verseny lebonyolítására a következő bizottságot kérte fel: Bakos Tibor, Bártfai Pál, Benczúr Péter (titkár), Csirmaz László, Fejes Tóth Gábor, Kós Géza, Pálfy Péter Pál, Pálmay Lóránt, Pelikán József, Reiman István, Surányi János (elnök).
A bizottság szeptember 21-én, majd szeptember 29-én tartott ülésén (az előbbin nem tudott részt venni Bártfai Pál) a következő feladatokat tűzte ki:

 
1. Egy rácstéglalapot, amelynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, 1/2 területű rácsháromszögekre bontunk. Bizonyítandó, hogy a háromszögek között legalább kétszer annyi derékszögű van, mint a téglalap rövidebb oldalának hossza. (Egy sokszög rácssokszög, ha valamennyi csúcsának mindkét koordinátája egész szám.)
 
2. Adott egy n-változós polinom. Tudjuk, hogy ha mindegyik változója helyébe
+1-et, vagy -1-et helyettesítünk, értéke pozitív lesz, amennyiben a -1-ek száma páros, és negatív, ha a -1-ek száma páratlan. Igazoljuk, hogy a polinom legalább n-edfokú. (Azaz, van olyan tagja, amelyikben a változók kitevőinek az összege leglább n.)
 
3. Az A, B, C, D pontok közül semelyik három nincs egy egyenesen. Az AB és CD egyenesek E-ben, a BC és DA egyenesek F-ben metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy az AC, BD és EF átmérőjű körök vagy egy ponton mennek át, vagy közülük semelyik kettőnek nincs közös pontja.
A bizottság a dolgozatok áttanulmányozása után december elsejei ülésén (nem tudott részt venni Benczúr Péter, de javaslatát eljuttatta a bizottsághoz, továbbá Fejes Tóth Gábor) egyhangúlag a következő javaslatot fogadta el:
,,A verseny mindenütt rendben zajlott le. A vidéki városokban 184-en indultak és 138-an adtak be dolgozatot. Budapesten 188 induló volt, a beadott dolgozatok száma 116.
Sajnos, az első feladat nehéznek bizonyult, megoldására számottevő ötlet nem merült fel a dolgozatokban. A legváltozatosabb bizonyítások a második feladatra születtek, de a harmadik feladat megoldására is felmerült többféle megközelítési mód. Egy versenyző megtalált a magyar nyelvű irodalomban egy, a feladat állítását tartalmazó tételt. A többi feladattal azonban nem boldogult. A többi dolgozatban ilyen jellegű megoldás nem szerepelt.
A második és a harmadik feladatot négy versenyző oldotta meg lényegében jól: Braun Gábor, Burcsi Péter, Frenkel Péter és Gröller Ákos. A második feladatot Braun és Gröller teljes indukcióval, Burcsi és Frenkel indirekt okoskodással bizonyította. A harmadik feladatot Burcsi projektív geometriai ismeretekre támaszkodva oldja meg, a többiek vektorokkal számolva látják be, hogy ha két kör metszi egymást, a metszéspontokon a harmadik is átmegy. Itt-ott előfordul lényegtelen elírás, de a négy dolgozatot a bizottság lényegében egyenértékűnek találta. Ennek alapján első díjat a bizottság nem ad ki.
 

II. Kürschák József díjat és 3000‐3000 Ft jutalmat nyert

Braun Gábor, a budapesti Szent István Gimnázium III. osztályos tanulója, 
tanára: Halek Tamás,

Burcsi Péter, a pápai Türr István Gimnázium IV. osztályos tanulója, 
tanárai: Németh Zsolt és Spissich László,

Frenkel Péter, a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnázium III. osztályos tanulója, 
tanárai: Laczkó László, Montágh Balázs és Pósa Lajos,

Gröller Ákos, a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulója, 
tanárai: Surányi László és Beleznay Ferenc.''