A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Tekintsük az kifejezéssel megadott függvényt, amelynek értelmezési tartománya a valós számok halmaza. a) Igazolja, hogy minden valós -re. b) Mely helyen veszi fel a legkisebb értékét, és mennyi ez a legkisebb érték?
2. Az trapéz egyik párhuzamos oldala egység, a trapéz szárai egység, a trapéz átlói egyenlők, egység. Számítsa ki a trapéz területét.
3. Az és az egyenleteknek egyik gyöke közös, a másik gyökük különböző. a) Igazolja, hogy a nem közös gyökok összege . b) Írjon fel felhasználásával olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei a szóban forgó különböző gyökök.
4. Oldja meg a valós számok halmazán a egyenletet.
5. Oldja meg a pozitív egész számokból álló számpárok halmazán az egyenletet.
6. Az háromszögben (a szokott jelölések alkalmazásával) és , ahol a háromszög köré írt kör sugara. Számítsa ki a háromszög másik két szögét.
7. Tükrözze az egyenletű kört az egyenletű egyenesre. Írja fel a szóban forgó két kör közös érintőinek egyenletét.
8. Oldja meg a valós számok halmazán az egyenletet, ahol valós paraméter.
Megoldásvázlatok, eredmények az I. mérőlap (1995/8. sz.) feladataihoz
1. ponton át a -val húzott párhuzamos az oldalt az pontban metszi. , egység. Az háromszög derékszögű, hiszen egység és . A trapéz magassága megegyezik az háromszög átfogóhoz tartozó magasságával, így , . | | A trapéz szögei: , , és .
2. Legyen és . Ekkor és . Az és a háromszögekben az , illetve oldalra írjuk fel a koszinusztételt: | | ahonnan , és így . egység, és . Mivel és , azért , tehát a háromszög területe | |
3. a) A negyedik év végén | | pénzünk lesz. b) , Ft.
4. a) Azonos átalakításokkal . A 4 alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt , ahonnan , , és mindkettő megoldása az egyenletnek. b) Mivel , azért | | | |
5. A ponton áthaladó egyenesek egyenlete () alakban írható. A feltétel szerint | | ahonnan azaz | | Egy megfelelő számpár így vagy . A keresett egyenesek egyenlete: vagy . (A keresett egyenesek átmennek azon a , illetve ponton, amelyekre , illetve , azaz a pont az szakasz -hez közelebb eső harmadolópontja (), a pont az szakasz felezőpontja ().
6. Az első egyenletből és , . Így Azonos átalakításokkal | | A szigorúan monoton függvény, alkalmazzuk az egyenlet mindkét oldalára: ahonnan , , vagy , , .
7. Az , másodfokú függvény egyik zérushelye 2-nél kisebb, a másik pedig 3-nál nagyobb pontosan akkor, ha ez a függvény -nél és -nál is negatív értéket vesz fel, azaz | | azaz tehát .
8. Készítsünk ábrát. A feltétel szerint hossza megegyezik az háromszög kerületével. Legyen , az háromszög oldalához tartozó magasság . Az háromszög területe az oldalak ismeretében kiszámítható: . Így , egység. Az , így , . A szóban forgó trapéz területe: | | t(x) akkor a legnagyobb, ha x-4=0, x=4, így AP=4, azaz P az A ponthoz tartozó magasság A-hoz közelebb eső harmadolópontja. (Dolgozhatunk differenciálszámítással vagy a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséggel is: | t(x)=74(4+x)(12-x)≤74((4+x)+(12-x)2)2=112. |
Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha 4+x=12-x, azaz ha x=4.)
|