A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Szeptemberben ,,egymás kezét fogták'' a királyok, hosszú kört alkotva. Egy ilyen láncnál szükséges feltétel, hogy semelyik -es négyzetben se legyen 2-nél több király, hiszen ha lenne 3 király egy -es négyzetben, akkor azok páronként szomszédosak lennének, egy háromszöget képeznének, ami nem lehetne egy hosszabb kör része. Vajon legfeljebb hány figura tehető fel egy sakktábla mezőire, ha mindegyik -es négyzetbe pontosan 2 figura kerülhet? Az erre a kérdésre adott válasz felső korlátja a ,,királyi kör'' hosszának. A -as sakktáblán ilyen felső korlát a 32, hiszen felbontható 16 páronként diszjunkt -es négyzetre. Másrészt a sakktábla szokásos pepita színezését használva pl. a világos mezőkre egy-egy figurát feltehetünk, tehát a 32-es határ éles. Természetesen nem következik mindebből, hogy léteznie kellene 32 hosszú ,,királyi körnek'', sőt tudjuk, hogy nincs is ilyen.* Érdekes azonban a fenti kérdés általánosabb formája.
* | 1.Legfeljebb hány figura helyezhető el egy -es sakktáblára, ha bármelyik -as négyzetben () pontosan figurának kell állnia? |
Nyilván az , esethez hasonlóan egyszerű a kérdés, ha , azaz alakú. Az biztos, hogy -nél többet nem lehet feltenni. De vajon elhelyezhető-e ennyi? Az -es sakktáblán számú -s négyzet van. Ezek mindegyikébe pontosan figurát kellene elhelyeznünk. Próbáljuk meg kis -re, -ra a bábukat ügyesen letenni! Először nehéznek tűnik a konstrukció. De ha a szőnyeg vagy a tapéta periodikusan ismétlődő mintáira gondolunk, hamar rájöhetünk, elég pl. a bal felső sarokban lévő -s négyzetbe figurát tetszőlegesen elhelyezni, majd ezt -asával jobbra is, lefelé is ismételni. Ezzel az esetet elintéztük. Tegyük fel, hogy , ahol . Világos, hogy minden -s négyzetben figurának kell állnia, így pl. a jobb alsó -s négyzetben is. Azt kell elérnünk, hogy az ebből kimaradó részen (a peremen) a lehető legtöbb figura legyen. Ezért először is a bal felső -s négyzetbe annyi figurát helyezünk, amennyit csak lehet (legfeljebb -t). Ha , akkor további figurákat helyezhetünk el a perem és a bal felső -s négyzet közös részébe ‐ természetesen a már betöltött -s részen kívül (1. ábra). Ebbe a két -s téglalapba helyezzük a figurákat, amíg fér. A maradék (ha van) jut a -s négyzet -s részébe. Az így konstruált bal felső -s négyzetbeli kitöltés-mintát periodikusan ismételve egy maximális sok bábot tartalmazó -es négyzetet kapunk. (Gondoljuk meg, miért lesz ekkor minden -s négyzetben pontosan darab figura!)
A maximum értéke:
| , | ha |
és | , | ha . |
Több irányban lehet tovább vizsgálódni. Ha megengedjük, hogy a sakktábla téglalap alakú legyen, akkor a fentihez teljesen hasonló meggondolás adja a következő eredményt: Ha a téglalap -es, (), (), , akkor a maximum értéke
| , | ha , |
(mert a figurákat téglalap esetén inkább a hosszabb oldal melletti ,,peremre'' érdemes helyezni).
| , | ha |
és | , | ha . |
Felvethető a minimum keresésének kérdése. Az erre adható válasz azonban következik a fentiekből, hiszen minden -hez tartozó maximális jó figuraelhelyezés ,,komplementere'' egy -hez tartozó minimális minta. Csavarjuk most fel a téglalapot egy hengerre! Így csak alul és fölül lesz ,,pereme''. Egyáltalán lehetséges-e úgy figurákat felhelyezni a hengerre, hogy minden -s négyzetben ugyanannyi báb legyen? Ha igen, legfeljebb mennyit? Ha pl. a henger legfelső részén egy -s négyzetet egyesével körbeléptetünk, akkor észrevehetjük, hogy a -es oszlopokban lévő figurák száma periódusonként ismétlődik. Amikor az ,,utolsó'' oszlophoz érünk, a felcsavarás miatt az elsővel folytatjuk. Ha az és legnagyobb közös osztója, akkor az oszlopokban álló figurák számának sorozata szerint periodikus kell legyen. Ebből azonnal következik egy szükséges feltétel -re: . A hengeren, ha egy -s téglalapban tetszőlegesen figurát helyezünk el, majd ezt ismételjük mindkét irányban, akkor a ,,szőnyegminta'' a hengeren záródik. A szükséges feltétel tehát elégséges is. A maximum értéke:
ismét optimálisan kihasználva a henger alsó (vagy felső) peremét. Hogyan kaphatnánk egy perem nélküli esetet, amikor minden mező ,,egyenrangú''? Hajtsuk össze a sakktáblánkat tórusszá! (Mintha mentőövet alakítanánk ki egy -es téglalapból.) Gondolkozzunk el a további problémákon:
* | 2.Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egyáltalán létezzen egy ,,egyenletes'' figuraelhelyezés a toroidális sakktáblán? |
* | 3.A tórusznak nincs pereme. Vajon igaz-e, hogy minden olyan elrendezés, amelynél bármely -s négyzetbe darab bábu kerül, ugyanannyi figurát használ fel? | Eddig arra törekedtünk, hogy ,,lokálisan kiegyensúlyozott'' bábufelrakásnál elérjük a figurák számának maximumát. Engedjünk a feltételből, illetve módosítsuk azt.
* | 4.Adott , és . Legyen . Mennyi a táblára helyezhető figurák számának maximuma, ha minden -s négyzetbe legalább és legfeljebb bábut tehetünk? |
* | 5.Adott , és -ra milyen számpárra létezik olyan bábufelállítás, amikor mindegyik -s négyzetben vagy pontosan , vagy pontosan darab figura van, és létezik legalább egy olyan -s négyzet, amiben darab van, és olyan is, amiben darab van. |
* | 6.Vajon mikor létezhet az -es sakktáblán olyan elrendezés, hogy minden -s négyzetben más-más számú figura legyen? |
* | 7.Létezik-e olyan alkalmas , és , hogy az -es téglalap -s négyzeteiben éppen rendre | a) 1, 2, 3, 4, , 1995 b) 1, 2, 3, 4, , bábu álljon? (2. ábra) (A 2. ábra az , , esetre mutat két megoldást; a baloldali a minimális 9, a jobb pedig 13 bábuval. Mennyi a maximum ebben az esetben?)
A cikkhez a hozzászólásokat, a feladatok megoldásait (nemcsak a versenyzőktől) a szerkesztőség címén várja a szerző. A borítékra írják rá: ,,Figurák a sakktáblán''.
ld. a Királyok körei c. cikket az 1995/6. sz. 338. oldalán. |