A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A Bolyai János Matematikai Társulat Ifjúsági Matematikai Körében 1995. február 17-én elhangzott előadás. A Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok 1935. február 15-i számában egy kis cikk jelent meg; ez elsőnek közölt egy azóta sokat emlegetett geometriai tételt, amelyet Erdős‐Mordell tételnek (vagy egyenlőtlenségnek) szokás nevezni. A tétel maga Erdős Páltól származik, a közölt megoldás pedig L. J. Mordelltől. Erdős egyenlőtlenségét feladatként tűzte ki a nagyon népszerű amerikai folyóiratban, az American Mathematical Monthlyban (a feladat itt valamivel később jelent meg, mint nálunk), megoldásait azonban csak 1937-ben közölték; ezek egyike Mordell lapunkban közölt megoldásával azonos. E tétel bizonyításaival, alkalmazásaival, általánosításaival mindmáig sokan foglalkoztak; a vele kapcsolatos irodalom már köteteket töltene meg. Bebizonyosodott ugyanis, hogy ez az egyenlőtlenség valami módon kapcsolatban van a háromszöggeometria legtöbb nevezetes egyenlőtlenségével; számos általánosítási lehetőséget rejt magában, amik szinte vég nélkül folytathatók. Előadásunk keretében az alkalmazásokon túl éppen azt szeretnénk megmutatni, hogy milyen gondolatokat ébresztett ez a tétel, és milyen irányú általánosításai születtek. Természetesen nem törekszünk arra, hogy minden, e témában felmerült és kutatott területet bemutassunk, csupán néhány jellegzetes, elemi eszközökkel is megközelíthető problémakörre hívjuk fel a figyelmet.
I. A tétel a következő: Legyen az háromszög belső pontja; legyen továbbá távolsága a csúcsoktól rendre , , , az , , oldalegyenesektől pedig rendre , , . Ezek között fennáll az egyenlőtlenség. Egyenlőség akkor és csakis akkor teljesül, ha szabályos háromszög és a középpontja (1. ábra). Vagy röviden: a háromszög egy belső pontjának a csúcsoktól mért távolságösszege legalább kétszerese az oldalegyenesektől mért távolságösszegének. A tétel különböző bizonyításai megtalálhatók az irodalomjegyzékben megadott könyvekben, ahol csak a magyar nyelven hozzáférhetőket soroltuk fel; e bizonyítások közül mutatunk be egyet. Először egy segédtételt igazolunk: ha a háromszögben , , , akkor | | (2) |
Elegendő ezek közül pl. az elsőnek a bizonyítása, a többié teljesen hasonló módon történhet. Legyen , ill. tükörképe az -ből induló szögfelezőre , ill. (2. ábra); az háromszög oldalai így , , ; legyen ennek -hez tartozó magassága és a -ből -re emelt merőleges . Ha az egyenesen van, akkor , ha viszont az háromszögön kívül van, -t negatív előjellel vesszük. hiszen az távolsága az egyenestől; (3) nyilván teljesül akkor is, ha . Szorozzuk meg (3) mindkét oldalát -val: itt az kétszeres területével egyenlő. Ugyanezt kapjuk az , és háromszögek kétszeres (előjeles) területeinek az összegezésével: Helyettesítsük ezt (4) bal oldalába: mindkét oldalból -t kivonva a bizonyítandót kapjuk, amit a segédtételben szereplő egyenlőtlenségekkel együtt átalakítva írunk fel: | | Ezeket összegezve kapjuk: | | (5) | Mivel pl. ezért (5)-ből közvetlenül következik a bizonyítandó (1). Egyenlőség (1)-ben akkor és csakis akkor állhat, ha ez a (6) és (3) típusú egyenlőtlenségekre is teljesül, azaz (a háromszög szabályos) és rajta van minden magasságvonalon, azaz a háromszög középpontja. A tételre adott bizonyítások nagy része bizonyos mértékig ,,finomítja'' a tétel állítását, ez azt jelenti, hogy (1) két oldala közé olyan mennyiséget iktat be, ami (1) bal oldalát jobban közelíti, mint és jobb oldalát jobban közelíti, mint . Ebből a szempontból előbbi bizonyításunk is tartalmaz finomítást, hiszen az (5) jobb oldalán álló kifejezés (1) két oldala közé iktatódott be. Vagy: | | ahol ,, rendre az , , háromszögek -ből induló szögfelezőinek hossza. A bal oldali egyenlőtlenségből nyilván következik a jobb oldali, hiszen (Ennek bizonyítása pl. [4]-ben.)
II. Nézzük most (1) néhány következményét. Érdekes eseteket kapunk, ha a háromszög valamelyik nevezetes pontjával esik egybe. 1. Legyen a hegyesszögű háromszög köré írt körének a középpontja. Ebben az esetben (a köré írt kör sugara); , , . Ezekre alkalmazva (1)-et kapjuk, hogy amiből a nevezetes koszinusz-egyenlőtlenség adódik (hegyesszögű háromszögre): Ha viszont a jól ismert összefüggést (l. pl. [4]-et) helyettesítjük (1)-be ( a beírt kör sugara), a egyenlőtlenséget, az ún. sugáregyenlőtlenséget kapjuk; egyenlőség itt is csak a szabályos háromszög esetén áll fenn. 2. Ha a beírt kör középpontja, tehát rajta van mindegyik szögfelezőn, legyen az -ből induló szögfelező végpontja . A szögfelezőtételt az háromszögre alkalmazva kapjuk, hogy (3. ábra) majd ugyanezt megismételve az háromszögre és annak szögfelezőjére: | | Hasonlóan: | |
Alkalmazzuk ezekre (1)-et: | | s mivel (a háromszög területe), | | ez a háromszög oldalai, szögfelezői és területe között ad meg összefüggést. Ha viszont a 3. ábra alakzatáról az | | összefüggést olvassuk le és erre alkalmazzuk (1)-et, az | | ismert összefüggés adódik. 3. Nevezetes egyenlőtlenség a következő: ha a háromszög tetszőleges belső pontja, akkor és egyenlőség csakis a szabályos háromszög középpontjára áll fenn. Legyen itt is távolsága az oldalaktól , , és az , , csúcsokhoz tartozó magasságok rendre , , . Mivel pl. távolsága a szemközti oldaltól , és ebből | | (1) alapján tehát | | Ebből Ezért (7) bizonyításához elegendő lenne megmutatnunk, hogy , azaz Ehhez felhasználjuk, hogy a számtani és harmonikus közepek közötti egyenlőtlenségből | | következik, továbbá, hogy pl. , és így | | amivel (8)-at és így (7)-et is bizonyítottuk. (7) érvényességet egyébként a sík tetszőleges pontjára is kiterjeszthetjük. Ehhez vegyük észre, hogy (1) bizonyítása ‐ lényegtelen módosítással ‐ akkor is érvényes, ha a háromszög határának egy pontja. Ha viszont a sík háromszögön kívüli pontja, mindig található hozzá a háromszögnek olyan belső vagy határpontja, amelynek a csúcsoktól mért távolságösszege kisebb, mint a -hez tartozó távolságösszeg, hiszen ‐ mint ismeretes ‐ a háromszög síkjának az a pontja, amelyre a csúcsoktól mért távolságösszeg minimális, a háromszög belső v. határpontja (az ún. izogonális pont, ill. a tompaszögű csúcs). Ha a köré írt kör középpontja, (7)-ből , azaz következik, ez ismét a sugáregyenlőtlenség. 4. Igen egyszerű megoldást adhatunk (1) felhasználásával az 1991. évi Nemzetközi Matematikai Diákolimpia egy feladatára: Legyen az háromszög egy belső pontja. Bizonyítsuk be, hogy a , , mindegyike nem lehet nagyobb -nál. Ha a háromszögnek van legalább -os szöge, akkor van -osnál kisebb szöge is; az állítás akkor nyilvánvaló, a továbbiakban ezért ezt az esetet kizárjuk. Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben a felsorolt szögek mindegyike nagyobb, mint . Ekkor a 4. ábra jelöléseit használva kapjuk: tehát (, , ). Ezeket az egyenlőtlenségeket összegezve kapjuk, hogy , ami ellentmond (1)-nek, a kiindulási indirekt feltevés tehát nem lehet igaz.
III. Mivel a háromszöggeometriai tételeknek általában megvan a megfelelője a tetraéderek geometriájában is, kézenfekvő (1) megfelelőjét is megkeresni. A szabályos tetraéder középpontjának a csúcsoktól mért távolságösszege éppen háromszorosa a lapoktól mért távolságösszegnek, ezért logikus a következő sejtés: Az tetraéder belső pontjának az csúcstól mért távolsága , az -vel szemközti laptól mért távolsága , ezekre | | (9) | teljesül. Egyenlőség csakis a szabályos tetraéder középpontjára áll fenn. Ez a sejtés egyszerűen bizonyítható, ha a lapok területe egyenlő, (amiből egyébként a lapok egybevágósága is következik, ezek az ún. egyenlő oldalú tetraéderek). A bizonyítást ezeknek a tetraédereknek két sajátos tulajdonságára alapozzuk: 1. Minden magasságuk egyenlő; hiszen a magasság a térfogat háromszorosának és a magassághoz tartozó alapterületnek a hányadosa, ez viszont minden magasság esetén ugyanakkora. 2. A tetraéder tetszőleges belső pontjának a lapoktól mért távolságösszege a magassággal egyenlő. Ez abból következik, hogy a tetraéder térfogata egyrészt , ahol a lapterület, másrészt egyenlő annak a négy kis tetraédernek a térfogatösszegével, amelynek a csúcsai , ill. egy-egy háromszöglap csúcsai; a -ből induló magasság ezeknél rendre , , , és így amiből Mivel távolsága a szemközti laptól (5. ábra), | | | | és egyenlőség akkor és csakis akkor állhat, ha rajta van minden magasságon, tehát létezik a tetraédernek magasságpontja, ez viszont az egyenlő oldalú tetraéderek közül csakis a szabályos tetraéderekre teljesül. A (9) alatti sejtés azonban nem teljesül minden tetraéderre. Ezt egy szemléletes példán mutatjuk meg (6. ábra). Legyenek az tetraéder és lapjai olyan egyenlő szárú derékszögű háromszögek, amelyek átfogói és befogói egységnyiek, ,,kicsi'', és legyen az felezőpontja (vagy egy ahhoz nagyon közeli belső pont). Erre (jó közelítéssel) és így , , ezért (9) biztosan nem teljesül. A fenti példa egyébként azt az általánosan elfogadott sejtést indokolja, hogy (9)-ben a minden tetraéderre érvényes állandó , de egyenlőség nem állhat; ennek bizonyítása azonban (tudtommal) még várat magára. Az Erdős‐Mordell-tétel különösen alkalmas arra, hogy állítását sokszögekre általánosítsuk. Helyettesítsük benne a háromszöget konvex -szöggel, az erre vonatkozó általánosítást Fejes Tóth László mondta ki (1948): Legyen az konvex sokszög egy belső pontja, és jelölje a távolságát -től , az egyenestől pedig . Ezekre fennáll az | | (10) | egyenlőtlenség, és az egyenlőség csak a szabályos -szög középpontjára teljesül. (Ez az állítás esetén éppen (1)-et adja). Ezt a sejtést H. C. Lenhard bizonyította be valamivel általánosabban, nem kell ui. kikötni a sokszög konvex voltát, hanem csupán azt, hogy -ből lehessen látni a sokszög határának minden pontját. Tovább általánosította ezt az eredményt P. Pech (1994) térbeli sokszögekre, ennél -nek hozzá kell tartoznia a sokszög konvex burkához.
IV. Az (1) további általánosításai algebrai, ill. függvénytani alakjából indulnak ki. (1)-et alakban írva azt jelenti, hogy a csúcsoktól mért távolságok számtani közepe nem kisebb az oldalaktól mért távolságok számtani közepének a kétszeresénél. Ez adja az ötletet, hogy az egyenlőtlenséget a leggyakrabban használt középértékek körében általánosítsuk. Jelölje az , , , nemnegatív számok számtani (aritmetikai), geometriai, ill. harmonikus közepét rendre | |
A konvex -szög (10)-ben használt jelöléseivel tételünk általánosítása (Fejes Tóth Lászlótól): | | (11) | | | (12) | | | (13) |
Ezek közül (11) azonos a már említett (10)-zel, (12) bizonyítása Fejes Tóth Lászlótól származik, ő mutatott rá a (11) és (13) közötti transzformációs kapcsolatra is. ((12) és (13) bizonyítása esetre [1]-ben megtalálható). További általánosításokat, ill. rokon tételeket kaphatunk, ha (11)- (13)-ban az , , függvénykapcsolatokat más függvénykapcsolatokkal helyettesítjük. Ezek közül sorolunk most fel néhány érdekesebb összefüggést; érdemes ezek bizonyítását megkísérelni.
a) Vezessük be az , jelöléseket, valós számot jelöl. Ezekkel | |
b) ,
c) ,
d) ,
e)
f) ,
g)
V. A geometriai tételek közös ,,sorsa'', hogy megvizsgálják érvényességüket, ill. megkeresik megfelelőiket a nemeuklideszi geometriákban is. Az ún. elliptikus geometriában, aminek legegyszerűbb modellje a félgömb geometriája, érvényes a következő tétel: Ha az gömbháromszög belső pontja és ennek (gömbi szög-) távolsága a csúcsoktól , , , az oldalaktól , , akkor | | Ennek bizonyítása a gömbháromszögek trigonometriájának a felhasználásával történhet. Lényegesen egyszerűbb a helyzet a Bolyai‐Lobacsevszkij-féle (v. más elnevezéssel: hiperbolikus) geometriában, mert annak Cayley‐Klein-féle modelljén az euklideszi távolságokat a megfelelő hiperbolikus geometriai távolságoknak feleltethetjük meg, ha a pontnak a modellkör középpontját választjuk (l. pl. [4]-et). Ezzel a | | összefüggést kapjuk, ahol a hiperbolikus sík állandója, (olv.: tangens hiperbolikusz ) pedig definíció szerint az hányadossal egyenlő. Nem tértünk ki ‐ az említetten kívül ‐ e tételkör három ‐ és magasabb dimenziójú általánosításaira; itt a helyzet már bonyolultabbá válik, hiszen pl. a poliédereknél beléphetnek az élektől, ill lapoktól való távolságok is, és ‐ mint láttuk ‐ más nehézségek is felléphetnek. Ennek ellenére már itt is sok eredmény született az Erdős‐Mordell egyenlőtlenség sugalmazására.
* | [1]D. O. Skljárszkij‐N. N. Csencov‐J. M. Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből 2/2. Tankönyvkiadó, Bp., 1973. |
* | [2]N. D. Kazarinoff: Geometriai egyenlőtlenségek. Gondolat, Bp., 1980. |
* | [3]Molnár E.: Matematikai versenyfeladatok gyűjteménye 1947‐1970. Tankönyvkiadó, Bp., 1974. |
* | [4]Reiman I.: A geometria és határterületei. Gondolat, Bp., 1986. |
* | [5]Reiman I.: Fejezetek az elemi geometriából. Tankönyvkiadó, Bp., 1987. |
* |