A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Legyen , , ekkor a következő egyenletrendszert kapjuk: | | A (2) kétszeresét adjuk a (3)-hoz: Ezt visszahelyettesítve (2)-be: Vagyis | | Ebből Ezt az egyenletrendszert megoldva kapjuk: , . Ez a számpár eleget tesz (1)-nek is, így megoldás.
2. A derékszögű háromszög befogói és (), az átfogó . A feladat szövege szerint , és . De az eredeti háromszög is derékszögű, ezért . Behelyettesítés után . Rendezés után . Mivel az új háromszög területének a kétszerese, azért a -hez tartozó magasság csak (a régi háromszög rövidebb befogója) lehet.
3. Ha kiszámoljuk az egység alapú, -os szárszögű egyenlő szárú háromszög szárát, akkor a keresett sugár is megvan: | |
4. A feladat értelmezési tartománya: , . A bal oldalon minden logaritmust átírunk -as alapúra: | | Tudjuk, hogy , így a bal oldalon a számlálók összege . Ezzel oszthatunk, és kapjuk az azonosságot. Ezért a feladat értelmezési tartománya egyben a feladat megoldáshalmaza is.
5. A kör egyenlete: . A parabola csúcspontjának koordinátái: . A parabola egyenlete: . Mind a két egyenletből -t fejezzük ki: | | Ezeket visszaírva, a sokszög csúcsai a következők lesznek: | | Belátható, hogy ez a sokszög szimmetrikus trapéz. Kerülete: . Területe: .
6. | | és tudjuk, hogy , , egy számtani sorozat egymást követő tagjai, ezért | | , amiből .
7. Rendezve: A diszkrimináns: | | Ha , vagy , akkor az egyenletnek két azonos valós gyöke van. Ha vagy , akkor két különböző valós gyök van, míg a fennmaradó esetekben ( vagy ) nincs valós gyök.
8. Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy , ha valós, pozitív egész szám (Bernoulli-egyenlőtlenség). Ez -re igaz; tegyük fel, hogy -re igaz. Ekkor | | ez pedig éppen -re az egyenlőtlenség. Ezt felhasználva: | | (4) | Az , , , értékekre a számtani és a mértani közép közötti összefüggés szerint: A (4) és (5) alapján: | |
|
|