Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények az 1995/3. mérőlaphoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	1995/április, 195 - 198. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x-3y+1\ne \mathrm{0,}3x+2y-4\ne 0.}\end{array}$ (1) Legyen $\frac{1}{2x-3y+1}=a$, $\frac{1}{3x+2y-4}=b$, ekkor a következő egyenletrendszert kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle 3a+4b}& {\displaystyle =\frac{13}{42}\mathrm{,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(2\right)}\\ \hfill {\displaystyle -6a+7b}& {\displaystyle =\frac{-1}{12}\mathrm{.}}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(3\right)}\end{array}}}\end{array}$ A (2) kétszeresét adjuk a (3)-hoz: $\begin{array}{c}{\displaystyle 15b=\frac{45}{84}\text{amiből}b=\frac{1}{28}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt visszahelyettesítve (2)-be: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3a=\frac{1}{6}\mathrm{,}\text{amiből}a=\frac{1}{18}\mathrm{.}}\end{array}$ Vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{1}{2x-3y+1}}& {\displaystyle =\frac{1}{18}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{1}{3x+2y-4}}& {\displaystyle =\frac{1}{28}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2x-3y+1}& {\displaystyle =18}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3x+2y-4}& {\displaystyle =28.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Ezt az egyenletrendszert megoldva kapjuk: $x=10$, $y=1$. Ez a számpár eleget tesz (1)-nek is, így megoldás.   2. A derékszögű háromszög befogói $x$ és $y$ ($x>y$), az átfogó $z$. A feladat szövege szerint $x=a+b$, $z=y+c$ és $a^2+b^2=c^2$. De az eredeti háromszög is derékszögű, ezért $x^2+y^2=z^2$. Behelyettesítés után ${\left(a+b\right)}^2+y^2={\left(y+c\right)}^2$. Rendezés után $ab=yc$. Mivel $ab$ az új háromszög területének a kétszerese, azért a $c$-hez tartozó magasság csak $y$ (a régi háromszög rövidebb befogója) lehet.   3. Ha kiszámoljuk az egység alapú, ${30}^{\circ }$-os szárszögű egyenlő szárú háromszög szárát, akkor a keresett sugár is megvan: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{sin}{15}^{\circ }=\frac{0\mathrm{,}5}{r}\mathrm{,}\text{amiből}r=\frac{0\mathrm{,}5}{\text{sin}{15}^{\circ }}\mathrm{.}}\\ \hfill {\displaystyle \text{sin}{15}^{\circ }=\text{sin}\left({45}^{\circ }-{30}^{\circ }\right)=\text{sin}{45}^{\circ }\text{cos}{30}^{\circ }-\text{cos}{45}^{\circ }\text{sin}{30}^{\circ }=\frac{\sqrt[]{6}-\sqrt[]{2}}{4}\mathrm{.}}\\ \hfill {\displaystyle r=\frac{0\mathrm{,}5}{\frac{\sqrt[]{6}-\sqrt[]{2}}{4}}=\frac{2}{\sqrt[]{6}-\sqrt[]{2}}=\frac{\sqrt[]{6}+\sqrt[]{2}}{2}\approx 1\mathrm{,}932.}\end{array}}}\end{array}$   4. A feladat értelmezési tartománya: $x>0$, $x\ne 1$. A bal oldalon minden logaritmust átírunk $3$-as alapúra: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2\cdot 1}{\text{log}{}_{3}x}+\frac{2\cdot 2}{\text{log}{}_{3}x}+\text{...}+\frac{2\cdot n}{\text{log}{}_{3}x}=\left(n^2+n\right)\text{log}{}_{x}3}\end{array}$ Tudjuk, hogy $1+2+\text{...}+n=\frac{n^2+n}{2}$, így a bal oldalon a számlálók összege $n^2+n$. Ezzel oszthatunk, és kapjuk az $\frac{1}{\text{log}{}_{3}x}=\text{log}{}_{x}3$ azonosságot. Ezért a feladat értelmezési tartománya egyben a feladat megoldáshalmaza is.   5. A kör egyenlete: ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=25$. A parabola csúcspontjának koordinátái: $\left(-2;-10\right)$. A parabola egyenlete: $y+10={\left(x+2\right)}^2$. Mind a két egyenletből ${\left(x+2\right)}^2$-t fejezzük ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle y+10}& {\displaystyle =25-{\left(y-3\right)}^2}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y^2-5y-6}& {\displaystyle =0}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y_1=-\mathrm{1,}}& {\displaystyle y_2=6.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Ezeket visszaírva, a sokszög csúcsai a következők lesznek: $\begin{array}{c}{\displaystyle A\left(-5;-1\right)\mathrm{,}B\left(1;-1\right)\mathrm{,}C\left(2;6\right)\mathrm{,}D\left(-6;6\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Belátható, hogy ez a sokszög szimmetrikus trapéz. Kerülete: $6+8+2\sqrt[]{50}=14+10\sqrt[]{2}\approx 28\mathrm{,}14$. Területe: $\frac{\left(6+8\right)\cdot 7}{2}=49$.   6. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle b_1}& {\displaystyle =b_{10}=10a_1+45d\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b_2}& {\displaystyle =b_{15}-b_{10}=5a_1+60d\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b_3}& {\displaystyle =b_{19}-b_{15}=4a_1+66d\mathrm{,}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ és tudjuk, hogy $b_1$, $b_2$, $b_3$ egy számtani sorozat egymást követő tagjai, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle 5a_1+60d=\frac{10a_1+45d+4a_1+66d}{2}=7a_1+55\mathrm{,}5d\mathrm{.}}\end{array}$ $4\mathrm{,}5d=2a_1$, amiből $a_1:d=9:4$.   7. Rendezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-\left(p+2\right)x+\left(\frac{p^3}{4}+2\right)=0.}\end{array}$ A diszkrimináns: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle D={\left(p+2\right)}^2-4\left(\frac{p^3}{4}+2\right)=-p^3+p^2+4p-4=}\\ \hfill {\displaystyle =p^2\left(1-p\right)+4\left(p-1\right)=\left(1-p\right)\left(p^2-4\right)=\left(1-p\right)\left(p-2\right)\left(p+2\right)\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Ha $p=-2$, $1$ vagy $2$, akkor az egyenletnek két azonos valós gyöke van. Ha $p<-2$ vagy $1<p<2$, akkor két különböző valós gyök van, míg a fennmaradó esetekben ($-2<p<1$ vagy $p>2$) nincs valós gyök.   8. Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy ${\left(1+q\right)}^n\ge 1+nq$, ha $q>-1$ valós, $n$ pozitív egész szám (Bernoulli-egyenlőtlenség). Ez $n=1$-re igaz; tegyük fel, hogy $n$-re igaz. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(1+q\right)}^{n+1}=\left(1+q\right){\left(1+q\right)}^n\ge \left(1+q\right)\left(1+nq\right)=1+nq+q+n{q}^2\ge 1+\left(n+1\right)q\mathrm{,}}\end{array}$ ez pedig éppen $\left(n+1\right)$-re az egyenlőtlenség. Ezt felhasználva: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(1+\left(a+b+1\right)\right)}^n\ge 1+n\left(a+b+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Az $1$, $na$, $nb$, $n$ értékekre a számtani és a mértani közép közötti összefüggés szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1+n\left(a+b+1\right)\ge 4\cdot \sqrt[4]{n^{3}ab}\mathrm{.}}\end{array}$ (5) A (4) és (5) alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(a+b+2\right)}^{4n}\ge {\left(1+na+nb+n\right)}^4\ge 256n^{3}ab\mathrm{.}}\end{array}$ Számadó László