Cím: Bevezetés a "lóelméletbe"
Szerző(k):  Kós Géza 
Füzet: 1995/április, 193 - 195. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ilyenkor, tavasszal, április táján, a matematika fejlődése mindig új lendületet vesz. Eddig ismeretlen tehetségek lépnek elő az ismeretlenségből, akik bebizonyítják a Fermat-sejtést, megoldják az ötödfokú egyenletet, vagy négyszögesítik a kört.
Mi most ennél sokkal kisebb feladatra vállalkozunk. Egy olyan új matematikai elméletet szeretnénk felállítani, amely az ember ősi barátairól és társairól, a lovakról szól.
⋆
A lóelmélet alapvető definícióihoz szükség lesz az ekvivalencia-reláció fogalmára.
Matematikai konstrukciókban gyakran előfordul, hogy egy halmazt osztályokra (kisebb, páronként diszjunkt halmazokra) bontunk, majd az osztályoknak ‐ mivel maguk is érdekesek ‐ különböző neveket adunk. A nehéz áttekinthetőség miatt többnyire nem az osztályokat definiáljuk, hanem bármely két elemre előírjuk, hogy egy osztályba kerüljenek-e.
Például osztályozhatjuk az egész számokat úgy, hogy x és y akkor kerüljenek egy osztályba, ha x-y osztható 10-zel. A keletkező osztályokat ,,modulo 10 maradékosztályoknak'' nevezzük.
Egy másik példa a racionális számok megkonstruálása. Ehhez úgy osztályozzuk az ab alakú törtek halmazát, ahol a,b egész számok, és b≠0, hogy ab és cd akkor kerüljenek egy osztályba, ha ad=bc. Ezután a törtek osztályait elnevezzük ,,racionális számoknak''. A racionális számok tehát nem azonosak a törtekkel, a törtek csupán a racionális számok ,,reprezentánsai''.
Harmadik példánkban a tér irányított szakaszainak halmazát osztályozzuk úgy, hogy két irányított szakasz akkor kerüljön egy osztályba, ha párhuzamosak, azonos irányúak és egyforma hosszúak. A keletkező osztályokat ,,vektoroknak'' nevezzük.
Képzeljük most el, hogy egy H halmazon definiáltunk egy ∼ relációt, és azt akarjuk, hogy két elem: x és y akkor kerüljenek egy osztályba, ha x∼y. Milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie ennek a relációnak? Három nagyon egyszerű tulajdonságot tudunk felírni, amelyek feltétlenül szükségesek:

*a) A reláció reflexív, azaz minden x∈H-ra x∼x.
*b) A reláció szimmetrikus, azaz ha x∼y, akkor y∼x.
*c) A reláció tranzitív, azaz ha x∼y és y∼z, akkor x∼z.
E három tulajdonság azt fejezi ki, hogy minden elem egy osztályba kerül önmagával; ha x és y egy osztályban van, akkor y és x is egy osztályban van; végül, ha x és y egy osztályban van, valamint y és z is egy osztályban van, akkor x és z is egy osztályban van. Az ilyen tulajdonságú, tehát reflexív, szimmetrikus, tranzitív relációkat nevezik ekvivalencia-relációknak.
Be lehet bizonyítani, hogy a három felsorolt tulajdonság már elégséges; egy ekvivalencia-reláció mindig egyértelműen meghatároz egy osztályokra (úgynevezett ekvivalencia-osztályokra) bontást.
⋆
Most már rátérhetünk a lóelmélet fogalmaira.
 

Definíció. Egy f:(0,∞)→R függvényt ,,lábnak'' nevezünk, ha p(x)+sin(x+kπ2) alakú, ahol p polinom, k egész szám és p(0)=0. A lábak halmazát (az angol kezdőbetű alapján) F-fel jelöljük.
 

Definíció. Az f1 és f2 lábakat ekvivalensnek nevezzük (jelben: f1∼f2), ha az f1-f2 függvény korlátos. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez a reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív, tehát ekvivalencia-reláció.
 

Definíció. Az F lábhalmaz ∼ szerinti ekvivalencia-osztályait ,,lovaknak'' nevezzük. A lovak, azaz F ekvivalencia-osztályainak halmazát pedig ‐ szintén az angol kezdőbetű alapján ‐, H-val jelöljük.
Ezeknek a definícióknak nagyon szemléletes jelentése van. A lólábak olyan függvények, amelyek minden pillanathoz hozzárendelik azt a helyet, ahol a láb éppen van. A lovak lólábakból álló halmazok. Két láb akkor tartozik ugyanahhoz a lóhoz, ha mindig bizonyos távolságon belül maradnak.
Hogy a definiált objektumok mennyire hasonlítanak a valóságos lovakra, a következő két tétel mutatja meg.
 

Tétel (A lóelmélet első főtétele). Tetszőleges H∈H-ra |H|=4, azaz minden lónak négy lába van.
 

Bizonyítás. Legyen f1(x)=p1(x)+sin(x+k1π2) és f2(x)=p2(x)+sin(x+k2π2) két ekvivalens láb. Az ekvivalencia azt jelenti, hogy f1(x)-f2(x)=p1(x)-p2(x)+sin(x+k1π2)-sin(x+k2π2) korlátos. Mivel a szinuszfüggvény korlátos, ez pontosan akkor teljesül, ha a p1(x)-p2(x) polinom korlátos. Egy polinom azonban akkor korlátos (még a pozitív félegyenesen is), ha konstans. Mivel azonban a láb definíciója szerint p1(0)=p2(0)=0, mindez azt jelenti, hogy a p1 és p2 polinomok azonosak. f1 és f2 tehát csak a k1 és k2 egészekben különbözhetnek. Mivel a sin(x+kπ2) függvény k-tól függően négyféle lehet, minden ekvivalenciaosztály négyelemű.
 

Előfordulhat, hogy egy ló két lába egy bizonyos időpontban ugyanazon a helyen van. Az ilyen pillanatok igen nevezetesek.
 

Definíció. Legyen H∈H, és f1,f2∈H két különböző láb. Ha valamely t∈(0,∞)-re f1(t)=f2(t), akkor azt mondjuk, hogy a H ló a t pillanatban megbotlik.
 

Tétel (A lóelmélet második főtétele). Minden H∈H lóhoz létezik végtelen sok olyan t∈(0,∞) pillanat, amikor megbotlik.
 

Bizonyítás. Legyen H egyik lába f1(x)=p(x)+sin(x+kπ2), és legyen f2(x)=p(x)+sin(x+(k+1)π2). A két láb ekvivalens, mert a különbségük,
f1(x)-f2(x)=sin(x+kπ2)-sin(x+(k+1)π2)=-2sinπ4cos(x+(2k+1)π8)
korlátos. Ebből pedig következik, hogy f2 is lába H-nak. Másrészt ez a különbség végtelen sokszor  0  (x=(l-k4+38)π esetén, ahol l≥k4-38 egész szám), vagyis H végtelen sokszor megbotlik.

 
Feladat. A lóelméletben a polinomokat ,,fenéknek'' is nevezik és ‐ az angol kezdőbetű alapján ‐ többnyire b-vel jelölik. Azt mondjuk, hogy a H ló megülhető a b fenékkel, ha minden f∈H-ra és t>0 valós számra f(t)<b(t)<f(t)+10. Bizonyítsuk be, hogy egy fenékkel csak egy lovat lehet megülni, de egy lovat lehet több fenékkel is.

⋆
A lóelméletben még nagyon sok felderítetlen kutatási irány van, ezek vizsgálatát az Olvasóra hagyjuk.
A lovakhoz hasonlóan más állatfajták (kutya, tyúk, giliszta, stb.) axiomatikus leírása is szükségesnek látszik, ezeknél nyilván más népi bölcsességeket kell figyelembe venni (ebcsont beforr, vak tyúk is talál szemet, stb.). Végül a különböző állatfajták leírását célszerű lenne egységes rendszerbe foglalni. Ezeket a munkákat is az Olvasóra hagyjuk.
Jó szórakozást!
Pej Nyihamér