A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ilyenkor, tavasszal, április táján, a matematika fejlődése mindig új lendületet vesz. Eddig ismeretlen tehetségek lépnek elő az ismeretlenségből, akik bebizonyítják a Fermat-sejtést, megoldják az ötödfokú egyenletet, vagy négyszögesítik a kört. Mi most ennél sokkal kisebb feladatra vállalkozunk. Egy olyan új matematikai elméletet szeretnénk felállítani, amely az ember ősi barátairól és társairól, a lovakról szól.
A lóelmélet alapvető definícióihoz szükség lesz az ekvivalencia-reláció fogalmára. Matematikai konstrukciókban gyakran előfordul, hogy egy halmazt osztályokra (kisebb, páronként diszjunkt halmazokra) bontunk, majd az osztályoknak ‐ mivel maguk is érdekesek ‐ különböző neveket adunk. A nehéz áttekinthetőség miatt többnyire nem az osztályokat definiáljuk, hanem bármely két elemre előírjuk, hogy egy osztályba kerüljenek-e. Például osztályozhatjuk az egész számokat úgy, hogy és akkor kerüljenek egy osztályba, ha osztható -zel. A keletkező osztályokat ,,modulo maradékosztályoknak'' nevezzük. Egy másik példa a racionális számok megkonstruálása. Ehhez úgy osztályozzuk az alakú törtek halmazát, ahol egész számok, és , hogy és akkor kerüljenek egy osztályba, ha . Ezután a törtek osztályait elnevezzük ,,racionális számoknak''. A racionális számok tehát nem azonosak a törtekkel, a törtek csupán a racionális számok ,,reprezentánsai''. Harmadik példánkban a tér irányított szakaszainak halmazát osztályozzuk úgy, hogy két irányított szakasz akkor kerüljön egy osztályba, ha párhuzamosak, azonos irányúak és egyforma hosszúak. A keletkező osztályokat ,,vektoroknak'' nevezzük. Képzeljük most el, hogy egy halmazon definiáltunk egy relációt, és azt akarjuk, hogy két elem: és akkor kerüljenek egy osztályba, ha . Milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie ennek a relációnak? Három nagyon egyszerű tulajdonságot tudunk felírni, amelyek feltétlenül szükségesek:
* | a) A reláció reflexív, azaz minden -ra . |
* | b) A reláció szimmetrikus, azaz ha , akkor . |
* | c) A reláció tranzitív, azaz ha és , akkor . | E három tulajdonság azt fejezi ki, hogy minden elem egy osztályba kerül önmagával; ha és egy osztályban van, akkor és is egy osztályban van; végül, ha és egy osztályban van, valamint és is egy osztályban van, akkor és is egy osztályban van. Az ilyen tulajdonságú, tehát reflexív, szimmetrikus, tranzitív relációkat nevezik ekvivalencia-relációknak. Be lehet bizonyítani, hogy a három felsorolt tulajdonság már elégséges; egy ekvivalencia-reláció mindig egyértelműen meghatároz egy osztályokra (úgynevezett ekvivalencia-osztályokra) bontást.
Most már rátérhetünk a lóelmélet fogalmaira.
Definíció. Egy függvényt ,,lábnak'' nevezünk, ha alakú, ahol polinom, egész szám és . A lábak halmazát (az angol kezdőbetű alapján) -fel jelöljük.
Definíció. Az és lábakat ekvivalensnek nevezzük (jelben: ), ha az függvény korlátos. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez a reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív, tehát ekvivalencia-reláció.
Definíció. Az lábhalmaz szerinti ekvivalencia-osztályait ,,lovaknak'' nevezzük. A lovak, azaz ekvivalencia-osztályainak halmazát pedig ‐ szintén az angol kezdőbetű alapján ‐, -val jelöljük. Ezeknek a definícióknak nagyon szemléletes jelentése van. A lólábak olyan függvények, amelyek minden pillanathoz hozzárendelik azt a helyet, ahol a láb éppen van. A lovak lólábakból álló halmazok. Két láb akkor tartozik ugyanahhoz a lóhoz, ha mindig bizonyos távolságon belül maradnak. Hogy a definiált objektumok mennyire hasonlítanak a valóságos lovakra, a következő két tétel mutatja meg.
Tétel (A lóelmélet első főtétele). Tetszőleges -ra , azaz minden lónak négy lába van.
Bizonyítás. Legyen és két ekvivalens láb. Az ekvivalencia azt jelenti, hogy korlátos. Mivel a szinuszfüggvény korlátos, ez pontosan akkor teljesül, ha a polinom korlátos. Egy polinom azonban akkor korlátos (még a pozitív félegyenesen is), ha konstans. Mivel azonban a láb definíciója szerint , mindez azt jelenti, hogy a és polinomok azonosak. és tehát csak a és egészekben különbözhetnek. Mivel a függvény -tól függően négyféle lehet, minden ekvivalenciaosztály négyelemű.
Előfordulhat, hogy egy ló két lába egy bizonyos időpontban ugyanazon a helyen van. Az ilyen pillanatok igen nevezetesek.
Definíció. Legyen , és két különböző láb. Ha valamely -re , akkor azt mondjuk, hogy a ló a pillanatban megbotlik.
Tétel (A lóelmélet második főtétele). Minden lóhoz létezik végtelen sok olyan pillanat, amikor megbotlik.
Bizonyítás. Legyen egyik lába , és legyen . A két láb ekvivalens, mert a különbségük, | | korlátos. Ebből pedig következik, hogy is lába -nak. Másrészt ez a különbség végtelen sokszor 0 ( esetén, ahol egész szám), vagyis végtelen sokszor megbotlik.
Feladat. A lóelméletben a polinomokat ,,fenéknek'' is nevezik és ‐ az angol kezdőbetű alapján ‐ többnyire -vel jelölik. Azt mondjuk, hogy a ló megülhető a fenékkel, ha minden -ra és valós számra . Bizonyítsuk be, hogy egy fenékkel csak egy lovat lehet megülni, de egy lovat lehet több fenékkel is.
A lóelméletben még nagyon sok felderítetlen kutatási irány van, ezek vizsgálatát az Olvasóra hagyjuk. A lovakhoz hasonlóan más állatfajták (kutya, tyúk, giliszta, stb.) axiomatikus leírása is szükségesnek látszik, ezeknél nyilván más népi bölcsességeket kell figyelembe venni (ebcsont beforr, vak tyúk is talál szemet, stb.). Végül a különböző állatfajták leírását célszerű lenne egységes rendszerbe foglalni. Ezeket a munkákat is az Olvasóra hagyjuk. Jó szórakozást!
|