A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Jelölje a háromszög súlypontját. Ekkor , egység, s mivel , azért az háromszög derékszögű, területe területegység, az háromszög területének harmada (miért?). A háromszög területe tehát 360 területegység. Az derékszögű háromszögben egység, ezért egység.
2. A koszinusztétel alkalmazásával | | Ha a feltételben pl. , akkor | | tehát a háromszög valóban derékszögű. Fordítva, ha a háromszög derékszögű és pl. az átfogó , akkor , tehát .
3. a) Jelöljük -t -nal. Egyenlőtlenségünkből | |
pontosan akkor, ha , mivel minden valós -re. A függvény szigorúan monoton növekedése miatt . b) Azonos átalakításokkal () és az a)-ban alkalmazott szorzattá alakítással | | ami pontosan akkor teljesül, ha vagy . Az egyenlőtlenség megoldásai: | |
4. Legyen az első elem , a hányados . A feltételek szerint , ezért , vagy , , valamint , azaz . Ha , akkor , vagy ; ha , akkor , ha , akkor . Ha , akkor , vagy ; ha , akkor , ha , akkor .
5. Az egyenlet , esetén értelmezett. Ekvivalens átalakításokkal | | A egyenlet már következmény. pontosan akkor, ha | | Az első egyenletből , . Az megoldás, az nem. A második egyenletből , és mindkettő megoldása az egyenletnek. (Az adott egyenlet alakban is írható.)
6. Legyen a keresett pont. A feltételek szerint és . A második egyenletből vonjuk ki az első egyenletet. | | így | | tehát két megfelelő pont van: és .
7. Mivel , azért . Ismeretes, hogy ha , akkor , és az egyenlőség csak az esetben teljesül. Most és , tehát . Az egyenletnek csak azok az számpárok a megoldásai, amelyekre és . Ezek szerint , , tehát , amiből , , , , . A egyenlet megoldásai az , , számpárok.
8. Az azonosságból adódik, hogy osztója -nek, ha , valamint és egész számok. a) Az adott kifejezést átalakíthatjuk. | | Mivel , azért a kifejezést tovább alakítva kapjuk, hogy | | ahol és pozitív egész szám. Ez azt jelenti, hogy a kifejezés 16 többszöröse, tehát valóban osztható 16-tal. (Az állítás teljes indukcióval is igazolható.)
b) | | négy, egymást követő természetes szám szorzata, tehát osztható 24-gyel (miért?). | | ahol . Így az adott kifejezés valóban osztható 6000-rel, hiszen | |
|
|