Kezdőlap


Cím:	Megjegyzés a címlap ábrájához és az F.3036. feladathoz
Szerző(k):	Kós Géza
Füzet:	1995/január, 38 - 39. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/november: F.3036

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $e (t) = cos 2 π t + i sin 2 π t$ azt az egységnyi abszolút értékű komplex számot, amelynek argumentuma $2 π t$ .
Legyen

\begin{matrix} f (α, β) = | \sum_{x = 1}^{10} e (α (0, 5 x^{2} - 5, 5 x) + β x) | . \end{matrix}

A címlapon az

f (α, β)

függvény grafikonját ábrázoltuk a

- 0, 5 \leq α, β \leq 0, 5

négyzetben. Ahol a függvény értéke nagyobb, ott a színezés sötétebb.
Az ehhez hasonló összegeknek nagy jelentősége van az additív számelméletben. Jól használhatók bizonyos diofantikus egyenletrendszerek megoldásszámának becslésében, de a zeta-függvény gyökeinek vizsgálatában is hasznosak.
Ha például arra vagyunk kiváncsiak, hogy az

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + ... + x_{n} = y_{1} + y_{2} + ... + y_{n}; \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2} = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + ... + y_{n}^{2} \end{matrix}

egyenletrendszernek hány megoldása van a

10

-nél nem nagyobb pozitív egészek körében, akkor az

f

függvény

2 n

-edik hatványának integrálja előállítja a keresett megoldásszámot:

\begin{matrix} \int_{- 0, 5}^{0, 5} \int_{- 0, 5}^{0, 5} | f (α, β) |^{2 n} d α d β . \end{matrix}

n

nagy, akkor az integrál lényeges része a négyzet közepén van, ahol

f

nagy. A

2 n

-edik hatványra emelés méginkább kiemeli ezt a különbséget. A négyzet többi részén az integrál viszonylag kicsi.
Ezzel a módszerrel be lehet bizonyítani, hogy a megoldások száma aszimptotikusan

\begin{matrix} \frac{5}{2178 π} \cdot \frac{10^{2 n}}{n} . \end{matrix}

Az F. 3036. feladatban (KöMaL, 1994/8‐9) az

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + ... + x_{10} = 0; x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + ... + x_{10}^{3} = 0 \end{matrix}

és az

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + ... + x_{10} = 1; x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + ... + x_{10}^{3} = 1 \end{matrix}

egyenletrendszerek megoldásainak számát kellett összehasonlítani az

1000

-nél nem nagyobb abszolút értékű egészek körében. A két megoldásszám felírható az előbbihez hasonló integrálalakban:

\begin{matrix} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} {(\sum_{x = - 1000}^{1000} e (α x + β x^{3}))}^{10} d α d β, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} {(\sum_{x = - 1000}^{1000} e (α x + β x^{3}))}^{10} e (- α - β) d α d β . \end{matrix}

A zárójelben álló szám mindig valós, tehát az első integrálban pozitív mennyiséget integrálunk. A második esetben ungyanennek a pozitív mennyiségnek elforgatottjait integráljuk, ezért az eredményül kapott szám csak kisebb lehet. (Már az is érdekes, hogy egyáltalán valós.) Az első egyenletrendszernek tehát több megoldása van, mint a másodiknak.
A feladat természetesen elemi úton is megoldható.

Kós Géza