A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Elméleti verseny 1. feladat. Relativisztikus részecske A speciális relativitáselmélet alapján egy nyugalmi tömegű szabad részecske energiája és lendülete között a következő összefüggés érvényes:
Ha egy részecske konzervatív erőtérben van, a részecske teljes energiája, ami a tag és a potenciális energia összege, állandó marad. Ha a részecske energiája nagyon nagy, a nyugalmi energiája elhanyagolható (az ilyen részecskét ultrarelativisztikusnak nevezzük). 1. Tekintsük egy nagyon nagy energiájú részecske (melynek nyugalmi energiája elhanyagolható) egydimenziós mozgását, amelyre állandó nagyságú, centrális, vonzóerő hat. Tegyük fel, hogy a részecskét a kezdőpillanatban kezdeti lendülettel az erőcentrumba helyezzük. Írd le a részecske mozgását két különböző módon: először a lendületet ábrázold az térkoordináta függvényében, majd -et ábrázold függvényében, legalább a mozgás egy periódusában. Határozd meg a fordulópontok koordinátáit a és az paraméterek segítségével, valamint nyilakkal ábrázold a mozgás irányát a diagramon. Megjegyzés. A mozgás közben lehetnek olyan rövid idő-intervallumok, amikor a részecske nem ultrarelativisztikus. Ezeket az időtartamokat azonban hanyagoljuk el! 2. A mezonok két kvarkból felépülő részecskék. A mezon nyugalmi tömege megegyezik a 2-kvark rendszer teljes energiájának -ed részével. Tekintsük egy nyugalomban lévő mezon olyan egydimenziós modelljét, amelyben a 2 kvarkról feltesszük, hogy az tengely mentén mozognak, és állandó nagyságú erővel vonzzák egymást. Azt is feltételezzük, hogy egymáson szabadon áthatolhatnak. A kvarkok nagyenergiájú mozgásának leírásakor a kvarkok nyugalmi tömege elhanyagolható. A kezdőpillanatban mindkét kvark az helyen található. Add meg a 2 kvark mozgását grafikusan az és a diagramokon. Határozd meg a fordulópontok koordinátáit és segítségével. Jelöld be a folyamat irányát a diagramon, és végül határozd meg a 2 kvark közötti maximális távolságot! 3. Az előző alkérdésben használt vonatkoztatási rendszert rendszernek nevezzük. Az -vel jelölt laboratóriumi vonatkoztatási rendszer a negatív irányba mozog állandó sebességgel. A két vonatkoztatási rendszerben a koordinátákat úgy választjuk meg, hogy az pont essen egybe az -beli ponttal a kezdőpillanatban. Ábrázold grafikusan a 2 kvark mozgását az grafikonon, határozd meg a fordulópontokat , és segítségével, és végül számítsd ki a két kvark között az laboratóriumi rendszerben észlelhető maximális távolságot! Megjegyzés. Az és az koordináta-rendszerek között a Lorentz-transzformáció teremt kapcsolatot:
ahol a két koordináta-rendszer sebessége, és . 4. Egy mezon nyugalmi energiája , sebessége pedig 0,6 c az laboratóriumi rendszerhez viszonyítva. Határozd meg az laboratóriumi rendszerben a mezon energiáját! Megoldás. 1. A vonzócentrumot az pontba helyezve a potenciális energia módon adható meg. A teljes energia ekkor
ami ultrarelativisztikus határesetben: . Ez az összefüggés egyben a részecske ,,fázisgörbéje'' a síkon. (1. ábra). A részecske összenergiáját az
összefüggés, a fordulópontot pedig az egyenlet adja meg: .
1. ábra Ultrarelativisztikus () határesetben a részecske lendülete csak úgy lehet véges nagyságú, ha . Ugyanerre a következtetésre juthatunk az Newton-egyenletből is:
| |
A részecske tehát sebességgel mozog pontok között (leszámítva a fordulópontok közelében eltöltött rövid időt), ahogy az a 2. ábrán látható. A periódikus mozgás negyed periódusideje: .
2. ábra 2. A két kvarkból álló rendszerre az energiatétel:
| |
ahol és az egyes kvarkok helye, illetve lendülete ().
3. ábra
4. ábra
5. ábra A mezon tömegközépponti koordináta-rendszerében , emiatt és . A megfelelő diagramok az előző alponthoz hasonlóan kaphatók (3. és 4. ábra). A legnagyobb távolság a kvarkok között: . (A diagramon a körüljárások iránya azonos, de a 2 kvark között ,,fáziskésés'' van.) 3. A két részecske az vonatkoztatási rendszerben is (jó közelítéssel) sebességgel mozog. Ha az ; origónak a kvarkok találkozási ,,eseményét'' választjuk ( pont a 3. ábrán), akkor a következő találkozó eseménye, amelyet és jellemez, az rendszerben (, azaz , felhasználásával)
Az és pontokból ,,fénysebességű'', vagyis meredekségű egyeneseket húzva megkapjuk az fordulópontok koordinátáit is (5. ábra). Erről leolvasható, hogy a részecskék közötti legnagyobb távolság (ez láthatóan kisebb, mint az -ben legnagyobb távolság, ami ). 4. Ha egy energiájú mezon sebességgel mozog a laborrendszerhez képest, akkor az impulzusa a laborban
| |
az energiája pedig ugyanebben az rendszerben
| |
2. feladat. Szupravezető mágnes
6. ábra A szupravezető mágnességet széles körben használják a laboratóriumokban. A szupravezető mágnesek legelterjedtebb alakja egy tekercs (szolenoid), amely szupravezető drótból készült. A szupravezető mágnesek csodálatos előnye, hogy nagy mágneses teret hoznak létre, miközben nincsen Joule-hő okozta energiaveszteség, mivel a szupravezető drót elektromos ellenállása nullává válik, amikor a mágnes 4,2 K hőmérsékletű folyékony héliumba mártjuk. A mágneshez rendszerint hozzátartozik egy speciális szupravezető kapcsoló, amint ezt a 6. ábra mutatja. A kapcsoló ellenállása szabályozható: vagy szupravezető állapotban, vagy normál állapotban van. Amikor a kapcsoló szupravezető állapotban van, a mágnesen állandó erősségű áram folyik, amelynek nagysága akármekkora lehet. A szupravezető állapotba hozott kapcsolóval elérhetjük, hogy még hosszú idővel a külső áramforrás kikapcsolása után is állandó mágneses mező maradjon a tekercsben. A szupravezető kapcsoló részletei nem láthatók a 6. ábrán. Ez általában egy rövid szupravezető huzal, amelyet fűtőszál vesz körül, és megfelelően hőszigetelve van a folyékony héliumtól. Fűtés hatására a szupravezető huzal hőmérséklete növekszik, így normál állapotú ellenállássá változik. Az tipikus értéke néhány ohm, esetünkben 5 ohm. A szupravezető mágnes önindukciós együtthatója a méretétől függ, a 6. ábrán látható mágnes esetében tekintsük 10 H-nek. A teljes áramot az ellenállás segítségével változtatjuk.
7. ábra A nyilak az , és pozitív irányait jelölik. 1. Ha a teljes áramot és az ellenállású szupravezető kapcsoló áramát a 7(a) és 7(b) ábrán látható módon változtatjuk, és feltehetjük, hogy a mágnesen és a kapcsolón átfolyó és áramok kezdetben egyenlők voltak, határozd meg, hogyan változnak ezek időben -től -ig. A válaszodat hasonló ábrákon tüntetsd fel. (Ezen feladat értékelésénél csak az általad megadott grafikonokat veszik figyelembe!) 2. Tegyük fel, hogy a tápfeszültségkapcsolót a pillanatban bekapcsoljuk, amikor , és , továbbá a teljes áram 0,5 A. A kapcsoló zárvatartása mellett a szupravezető kapcsoló ellenállása a 8(b) ábra szerint változik. Add meg a 8(a), 8(c), 8(d) ábrákon a megfelelő , és áramok időbeli változását!
8. ábra
9. ábra 3. Normál állapotban a szupravezető kapcsolón csak kis áramok folyhatnak át, nevezetesen csak 0,5 A-nél kisebb, mert máskülönben a nagy áramok kiégetik a kapcsolót. Tegyük fel, hogy a szupravezető mágnes állandósult (bekapcsolt) állapotban van, azaz és (pl. 20 A), továbbá -tól percig , amint ezt a 9. ábra mutatja. Ha a kísérletet a mágnesen átfolyó áram zérusra csökkentésével be kell fejezni, hogyan oldanád meg ezt a feladatot? Ezt néhány lépésben teheted meg. (Az eljárás többféle módon is elképzelhető.) Adj meg egy lehetséges megoldást olymódon, hogy a 9. ábrán bejelölöd az , , és mennyiségek időbeli változását. 4. Tegyük fel, hogy a mágnes állandó, 20 A-es áramerősséggel működik -tól percig, amint ezt a 10. ábra mutatja. Hogyan tudnád az említett feltétel betartásával megváltoztatni a szupravezető tekercs áramát 30 A-re? Válaszodat a 10. ábrán grafikusan add meg!
10. ábra Megoldás. 1. Mivel -tól -ig , a szupravezető kapcsolón eső feszültség (ami megegyezik a szupravezető tekercsre jutó feszültséggel) nulla kell legyen. Emiatt a mágnesen nem tud megváltozni az áramerősség, tehát
illetve
| |
Mivel -kor , a kapcsoló normál állapotba kerülése után sem esik feszültség rajta, tehát a tekercs árama a továbbiakban sem változik (11. ábra).
11. ábra
12. ábra 2. Az első 1 percben nem tud megváltozni (hiszen ), s mivel a teljes sem változik, is konstans marad. percnél hirtelen felugrik 0-ról -re, lecsökken -ről -re, a megadott számadatokkal 0,3 A-re. és 2 perc között , és fokozatosan tart az egyensúlyi állapotnak megfelelő értékekhez (ezek: , és ). Az időállandó
ami elég rövid ahhoz, hogy perckor (60 s múlva) az áramerősségeket már az egyensúlyi értékekkel azonosnak tekinthessük. Ezután a szupravezető kapcsoló ismét ellenállású lesz, de ez nem változtat a konstans áramértékeken, hiszen rajta úgysem esett feszültség (12. ábra). 3. Első lépés: A főkapcsoló zárt állása mellett fokozatosan megnöveljük az áramkör teljes áramát 20 A-rel. Mivel a szupravezető kapcsoló állapotban van, a tekercs árama nem változhat meg, tehát 20 amperrel megnő, bagyis -20 A-ról nullává válik. Második lépés: A szupravezető kapcsolót kikapcsoljuk ( normál állapotba hozzuk). Harmadik lépés: Az eredő áramerősséget fokozatosan nullára csökkentjük, ezzel egyúttal a tekercsen átfolyó áramot is nullává tesszük. A csökkentés ütemét az korlátozza, hogy indukált feszültség nem lehet nagyobb, mint és a megengedett maximális 0,5 A szorzata, 2,5 V. Mivel , . A tekercs árama tehát percenként legfeljebb 15 ampernyit változhat. Negyedik lépés: Az szupravezető kapcsolót ismét bekapcsoljuk, a főkapcsolót pedig kikapcsoljuk. Az egész folyamat a 13. ábrán látható.
13. ábra
14. ábra 4. Az első és a második lépés ugyanaz, mint az előző kérdésnél. Harmadik lépés: Az eredő áramot óvatosan 20-ról 30 amperesre növeljük. A normál állapotú kapcsolón nem folyhat számottevő áram (ez korlátot szab az áramváltoztatás ütemére), az összes áram gyakorlatilag a tekercsen folyik keresztül. Negyedik lépés: A szupravezető kapcsolót állapotba hozzuk (vagyis a tekercs áramát ,,befagyasztjuk''). Ötödik lépés: -t nullára csökkentjük (ezt most gyorsan is megtehetjük, mert a kapcsoló szupravezető állapotban van). Mivel nem változhat, az -en átfolyó áram fog 30 A-t csökkenni. Utolsó lépés: Kikapcsoljuk a főkapcsolót. A kívánt változást megvalósító folyamat a 14. ábrán látható. 3. feladat. Korongok ütközése felületi súrlódással Egy jelű, tömegű, sugarú, tömör, homogén korong sebességű transzlációs (azaz forgás nélküli) súrlódásmentes mozgást végez a sima vízszintes síkban, irányban, távolságban az tengelytől. Összeütközik egy jelű, kezdetben nyugvó, ugyancsak tömegű, azonos vastagságú, de sugarú, tömör, homogén koronggal, amely kezdetben a koordináta-rendszer origójában áll (15. ábra). Feltehetjük, hogy az érintkező felületek ütközés alatti súrlódása következtében az érintkezési pontban a korongok sebességének érintő irányú összetevője az ütközés után egyenlő lesz. Azt is feltehetjük, hogy a korongok középpontját összekötő egyenes mentén a korongok relatív sebességének nagysága az ütközés előtt és az ütközés után megegyezik.
15. ábra 1. Határozd meg az ilyen ütközés esetén a két korong ütközés utáni sebességeinek és komponenseit, azaz értékét , , , és ismeretében! 2. Határozd meg az korong ütközés utáni és a korong ütközés utáni mozgási energiáját , , és ismeretében!
16. ábra Megoldás. Az ütközés során (amely nyilván csak akkor következik be, ha ), megmarad a rendszer , illetve irányú impulzusa (lendülete), vagy ami ezzel egyenértékű: a ütközési pontban húzott érintő irányú (tangenciális), valamint az arra merőleges sugár irányú (normális) impulzuskomponensekre is felírhatunk megmaradási törvényt. A 16. ábra jelöléseivel
Igaz továbbá, hogy a pontra vonatkoztatva külön ‐ külön megmarad a két korong perdülete, hiszen az ütközés során fellépő erőknek nincs forgatónyomatéka erre a pontra. Vegyük figyelembe, hogy a perdület a tömegközéppont haladó mozgásából származó impulzusnyomatékból és a tömegközéppont körüli forgás sajátperdületéből tehető össze:
ahol , illetve . Ezek a megmaradási tételek 4 egyenletet adtak, de az ismeretlenek száma 6 ( sebességkomponens és 2 szögsebesség). (A mechanikai energia megmaradása most nem teljesül, hiszen az ütközés rugalmatlan.) A hiányzó két egyenletet a relatív sebességekre megadott megszorítások szolgáltatják. (Ezek lényegében azt fejezik ki, hogy az ütközés sugár irányban tökéletesen rugalmas, érintő irányban pedig tökéletesen rugalmatlan. Kérdéses, hogy léteznek-e olyan kiterjedt testek, melyek ütközése ─ legalább jó közelítéssel ─ így írható le.)
Az (1) és (5) egyenletekből álló rendszer önmagában zárt, a normális irányú sebességek csak ezekben az egyenletekben fordulnak elő, más ismeretlent viszont nem tartalmaznak. A megoldásuk:
Ez az egyenlő tömegű rugalmas testek ütközésének jól ismert esete: az egyik test megáll, a másik pedig mintegy ,,átveszi'' az eredetileg mozgó test sebességét. A (2), (3), (4) és (6) egyenletekből álló rendszer megoldása:
Ezek ismeretében valamennyi keresett sebességkomponens könnyen számítható:
| |
A korongok mozgási energiája az ütközés után:
| |
és hasonlóan
Kísérleti verseny 1. feladat. Egy áltátszó dielektrikum felület fényvisszaverő-képességének meghatározása. Kísérleti berendezés: 1. He‐Ne lézer (kb. ). A lézerből kijövő fény önmagában nem polarizált. 2. Két polárszűrő, amelyek fokbeosztású skálával vannak ellátva, az egyik (az jelű polarizátor) a lézer előtt helyezkedik el, míg a másikat szükség esetén rajzszögek segítségével a rajztábla megfelelő helyére rögzítheted. 3. Két fényintenzitás-mérő detektor, amelyek fotocellából és mikroampermérőből állnak. 4. Fénynyaláb-osztó kör alakú üveglemez. 5. Átlátszó dielektrikum lemez (a továbbiakban minta). Ennek a mintának a fényvisszaverő-képességét és törésmutatóját kell meghatároznod. 6. Mintatartó állvány félkör alakú szögmérére erősítve, mozgatható karral. 7. Rajzszögek. 8. Rés és ernyő a lézernyaláb vízszintes belállítására és az optikai elemek beszabályozására. 9. Gyurma, amely az optikai elemek finom rögzítésére szolgál. 10. Fa rajztábla. 11. Milliméterpapírok. Kísérleti feladatok: 1. Határozd meg a minta reflexióképességét (fényvisszaverő-képességét) a fénysugár beesési szögének függvényében a p-komponensre vonatkoztatva. (A -komponens a lézerfény azon összetevője, amelyben az elektromos tér párhuzamos a beesési síkkal.) a) Határozd meg (-komponens mérés segítségével), hogy az () polarizátor áteresztési iránya hány fokos szöget zár be a polarizátoron lévő jelzéshez képest! (Az áteresztési irány az átmenő fény elektromos térerősség vektorának rezgési irányát jelenti.) b) Válaszd az egyik fényintenzitás-mérő detektort, és igazold alkalmas méréssel, hogy a fény intenzitása egyenesen arányos a mikroampermérő jelével. Rajzold le vázlatosan a mérésekhez használt optikai elrendezést! A mérési adataidat, továbbá az azokból számított értékeket (a számítási formulával együtt) foglald táblázatba! Abrázold a lineáris kapcsolatot grafikusan! c) Határozd meg a minta fényvisszaverő-képességét a beesési szög függvényében a p-komponensre vonatkoztatva! Rajzold le vázlatosan az optikai elrendezést! Mérési adataidat, továbbá a számított fényvisszaverési képességet (a számítási formulával együtt) foglald táblázatba! Ábrázold a fényvisszaverő-képességet a beesési szög függvényében! 2. Határozd meg a minta törésmutatóját a lehető legpontosabban! Útmutatás: 1. Ne nézz közvetlenül a lézerfénybe! 2. A lézersugár kimenő fényteljesítménye időben változhat! A kilépő fény intenzitásának változását állandóan követned kell a mérés alatt, és a kísérleti eredményeidet ennek figyelembevételével korrigálnod (helyesbítened) kell! 3. A lézernek állandóan működnie kell! Még a kísérlet befejezése után, a terem elhagyásakor sem szabad kikapcsolnod a lézert! 4. A visszavert fény egy bizonyos beesési szögnél teljesen lineárisan polárossá válik. Erre a szögre a összefüggés érvényes, ahol a törésmutató. Megoldás. 1. a) az útmutatás szerint egy bizonyos szögnél, az ún. Brewster-szögnél a visszavert fény teljesen polárossá válik. Visszaverő felületként az ismeretlen törésmutatójú mintát választva, annak elforgatásával, illetve a mintára eső lézerfény útjába tett polárszűrő egyidejű forgatásával elérhetjük, hogy a visszavert fény intenzitása nulla legyen (a fénymérő detektor nem jelez). Ennél az elrendezésnél (17. ábra) a polárszűrő csak a -komponenst engedi át. Az adott esetben az -os szögnél és a polarizátor -os állásánál következett be. b) A nyalábosztó segítségével a 18. ábrán látható módon a lézerfényt két részre oszthatjuk. Ha a polárszűrő rögzített állása mellett a polárszűrőt szöggel elforgatjuk, a detektorba jutó fény intenzitása az
függvény szerint változik (ez az , és összefüggések következménye). Amennyiben a fénymérő detektor árama arányos a detektorra eső fényintenzitással, így az lineáris kapcsolatnak kell teljesülnie, feltéve, hogy a mérés közben a lézer teljesítmény nem változott. Ha ez utóbbi bekövetkezne, a detektor árama is megváltozik, s a változás mértékéből korrigálni lehet az adatokat. A mérések szerint jó közelítéssel lineáris a kapcsolat a fénymérő árama és a ráéső fény intenzitása között.
17. ábra
18. ábra c) Az előző alkérdésben igaznak bizonyult linearitás ismeretében különböző beesési szögeknél (-tól -ig) mérni lehet a visszavert fény relatív intenzitását (a lézer ingadozásait figyelembe véve és korrekciós faktorral helyesbítve). 2. A legkisebb visszaverőképesség (gyakorlatilag nulla) az említett Brewster-szögnél tapasztalható, ennek mért értéke . Mivel az anyag törésmutatója éppen -vel egyenlő, innen adódik. A mérési adatokat a 19. ábra mutatja.
19. ábra. A -komponensre vonatkoztatott reflexió-képesség a beesési szög függvényében Aki ismeri azt az összefüggést, hogy merőleges beesésnél (bármilyen polarizációjú fényre) a fényvisszaverőképesség:
ebből ─ a mérési adatokat a technikai okokból megvalósíthatatlan -os esetre extrapolálva ─ az adatból a törésmutatóra az értéket kapta. 2. feladat. Fekete doboz Adott egy ,,fekete doboz'', amelyen két egyforma kivezetés van. A fekete dobozban legfeljebb 3 passzív elem található. Határozd meg a kivezetések közötti áramkörben lévő elemek adatait! A dobozt nem szabad kinyitni! Kísérleti berendezés: 1. Kétsugaras oszcilloszkóp, továbbá egy mellékelt magyarázat a készüléken lévő gombokról. 2. Hangfrekvenciás jelgenerátor, továbbá egy mellékelt magyarázat a készüléken lévő gombokról. 3. 100 ohm () értékre beállított ellenállásdoboz. 4. Csatlakozó-vezetékek. 5. A koaxiális kábelek. A fekete színjelzésű vezetékek a koax-csatlakozónál földeltek. 6. Különböző (lineáris-, log-, és log‐log) milliméter-papírok. Megjegyzés: Azok a gombok, amelyek nincsenek feltüntetve a műszermagyarázatokon, a helyes állásba vannak beállítva. Ezekhez ne nyúlj! Kísérleti feladatok: 1. Rajzold le az általad összeállított áramkört! 2. Add meg az általad mért és számított adatokat táblázatos alakban! A kapott eredményeket ábrázold megfelelően választott milliméter-papíron. (Jelöld be, hogy mit ábrázolsz a grafikonon és a tengelyeken is jelöld a mennyiségeket mértékegységükkel együtt!) 3. Rajzold le a fekete dobozban lévő áramkört, és add meg az áramköri elemek nevét és adatait! (Írd le, hogy milyen formulák alapján számoltál!) Megoldás. 1. A 20. ábrán látható kapcsolásban az ellenálláson eső feszültség mérésével meghatározhatjuk a fekete dobozon áthaladó áramot, az ellenállásból és a fekete dobozon együttesen eső méréséből pedig következtethetünk a dobozhon eső feszültségre. Mindkét mennyiséget a kétsugaras oszcilloszkópon egyszerre mérhetjük, a jelgenerátoron a beállított frekvencia függvényében. ( és mérése nem célszerű, mert akkor a pont lenne az oszcilloszkóp viszonyítási pontja, nem pedig a közös ,,földelés'', s emiatt a hálózati 50 Hz zavaró hatása lényegesen erősebb lenne; gyakorlatilag mindig ,,brummot'' látnánk az oszcilloszkópon a mérendő jel helyett!) 2. A mérési adatokat, pontosabban a impedanciának a frekvenciafüggését a 21. ábrán tüntettük fel, log‐log skálát használva. Látható, hogy nagy frekvencián pedig (a meredekség ).
20. ábra
21. ábra 3. A mérési adatok arra utalnak, hogy a fekete dobozban sorosan kapcsolt tekercs, kondenzátor és ellenállás található. A rezonancia-frekvenciánál, -nél az eredő impedancia 213 , innen . Nagy frekvencián , , alacsony frekvencián pedig . A kétsugaras oszcilloszkóp segítségével a két feszültség fáziskülönbsége is mérhető, s ennek ismeretében az ellenállás ismert értéke is figyelembe vehető. A mérési adatokból és adódott. Valamennyi mért mennyiség hibája 10% körüli érték.
A rendelkezésre álló idő: 5 óra.A rendelkezésre álló idő: óra. |