A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A dolgok elbonyolítása a matematikai feladatmegoldás természetes velejárója. A problémák megoldása során általában nem rögtön a legegyszerűbb utat járjuk be, hanem gondolataink sokszori vargabetűje után érünk csak célhoz. Később persze megpróbáljuk a megoldást csiszolni, a lényeges lépéseket kihámozni, esetleg rövidebb utat keresni. Azonban egy szép, letisztult megoldást is csak akkor tudunk igazán megbecsülni, ha előtte keményen megdolgoztunk és megszenvedtünk egy ,,csúnyáért''. Természetesen általában nem a bonyolult, hanem az egyszerű megoldásokra törekszünk. Ezzel együtt egy elbonyolításnak szerencsés esetben lehet olyan haszna, hogy így véletlenül egy új és hatékony módszert fedezünk fel, amely egyébként rejtve maradt volna; az adott feladat megoldásához erre a módszerre ugyan nem lett volna szükség, de valamely más kérdésnél csakis ennek segítségével boldogulhatunk. Néha azonban még az is kifejezetten hasznos, ha valamit szándékosan bonyolítunk el. A bonyolult megoldást ugyanis az egyszerűvel összevetve kezelhetetlennek látszó kifejezésekre sikerül egyszerű alakot találnunk. Az alábbi kifejezések legtöbbje úgy keletkezett, hogy egy problémát szándékoltan nagyon-nagyon ügyetlenül oldottunk meg. Az ,,ügyes'' megoldással szemben megkaphatjuk ezeknek a kifejezéseknek az egyszerűbb alakját. Az igazi nehézség természetesen annak a felismerése, hogy a szóban forgó kifejezés melyik probléma ,,elbonyolításából'' származik. Egyes feladatoknál ugyan nem pontosan ez a helyzet, de valamennyi megoldásnak a kulcsa valamely probléma kétféle megoldásának az összevetése. A feladatok a matematika különböző területeire vezetnek el (kombinatorika, albegra, analízis, számelmélet, valószínűségszámítás); a megadott kifejezésekről azonban nem mindig könnyű ráismerni még a megfelelő témakörre sem. Maguk a feladatok is változó nehézségűek, néhánynak a megoldása komolyabb előkészítést és/vagy előismeretet igényel. Ezért senki se keseredjel el, he egyesekkel egyáltalán nem boldogul. A feladatok kitűzése után némi általános útmutatást adunk, azonban ez is csak minimális fogódzót jelent. A megoldásokat a következő számban közöljük. Addig is mindenkinek jó szórakozást és eredményes elbonyolítást kívánunk. 1. a) | |
b) | | (Ha , akkor . értéke definínió szerint 1.) 2. a) | |
b) | |
c) | |
d) | |
3. a) | |
b) | |
c) | |
4. | |
5. | |
(A jel azt jelenti, hogy a mögötte álló kifejezés értékét a megadott értékekre kell összegezni. a szám (alsó) egész részét jelöli.) 6. Legyen az pozitív osztóinak a száma, az számok között az -hez relatív prímek száma, és a Möbius-függvény: , , ha az szám különböző prím szorzata és minden más esetben . a) b) c) 7. 8. | |
Útmutatás az elbonyolításhoz Az alábbiakban nem konkrét útmutatásokat adunk a feladatokhoz, hanem inkább röviden jelzünk néhány olyan fogalmat, tételt, ill. módszert, amely hasznos lehet és esetleg jó ötleteket sugallhat. A) Logikai szitaformula Egy elemű halmaz részhalmazai . Jelölje a elemszámát, a metszet elemszámát, a elemszámát stb. Ekkor az alábbi képlet megadja azon elemek számát, amelyeket egyetlen sem tartalmaz:
| |
B) Komlpex számok (i) A komplex számok hatványozásánál általában a trigonometrikus alak ad egyszerű eredményt, de remek elbonyolításra nyújt lehetőséget a binomiális tétel. (ii) Nagyon szép azonosságok érvényesek azokra a komplex számokra, amelyek -adik hatványa 1, ezek a -adik egységgyökök: , . A -adik egységgyökök -edik hatványainak az összege , ha és 0 minden más esetén. Ennek igazolásához írjuk be a alakot, és használjuk a mértani sor összegképletét; ha , akkor
| |
hiszen . Ha , akkor az összeg minden tagja 1, tehát ekkor az összeg értéke . C) Rekurziók A legegyszerűbb típusú lineáris rekurzió egy olyan végtelen sorozat, ahol minden -re. Legismertebb példa erre a Fibonacci-számok, ahol , , . Egy ilyen rekurzió megoldása alakú, ahol és az egyenlet különböző gyökei, és pedig a kezdeti és értékeiből határozhatók meg (részletesen lásd pl. Poros Tibor cikkében, KöMaL 1993/8‐9). D) Végtelen összegek A végtelen sorokkal általában vigyázni kell, mert a viselkedésük alapvetően megváltozhat, az a végesben megszokott szabályokat próbáljuk rájuk alkalmazni, pl. a tagok átrendezése vagy két sor ,,kézenfekvően adódó'' összeszorzása általában nem megengedett. Azonben abszolút konvergens sorokkal, azaz olyanokkal, amelyekben a tagok abszolút értékeiből képzett sor is konvergens, teljesen ugyanúgy bánhatunk, mintha véges összegek lennének: két ilyen sort úgy szorzunk össze, hogy ,,minden tagot minden taggal'' megszorzunk, és a kapott végtelen összeget tetszés szerint csoportosíthatjuk. Az egyik legismertebb végtelen sor a négyzetszámok reciprokösszege, amelynek értéke . A mai cikket egy ehhez kapcsolódó történeti áttekintéssel zárjuk. Már Euler megmutatta a XVIII. században, hogy hasonló típusú formula érvényes minden páros kitevőjű hatványra is, ugyanakkor érdekes módon a páratlan kitevőjű hatványok reciprokösszegére ma sem ismeretes pontos képlet, sőt a köbszámoktól eltekintve azt sem tudjuk, hogy a szóban forgó reciprokösszeg irracionális-e vagy sem. A köbszámok reciprokösszegéről is csak 1978-ban(!) igazolta Apéry francia matematikus, hogy irracionális. Kár, hogy ezek az összegek csak bonyolultak és (minden bizonnyal) nem valami egyszerűnek az elbonyolított változatai.
|