Kezdőlap


Cím:	A Pitagorasz-tétel egy megfordításáról ‐ függvényelméleti szemmel
Szerző(k):	Szabó György
Füzet:	1994/november, 393 - 398. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A klasszikus Pitagorasz-tétel állítása ─ a derékszögű háromszőg befogóinak hossznégyzet-összege egyenlő az átfogó hossznégyzetével ─ úgy is fogalmazható, hogy a síkvektorokon értelmezett hossznégyzet függvény az egymásra merőleges vektorok összegéhez a tagokon felvett értékek összegét rendeli, vagyis a merőleges vektorpárokon összegtartó. Ez azt jelenti, hogy az $E$ síkon (kétdimenziós eulkideszi téren) értelmezett $f : E \mapsto R$ , (R a valós számok halmaza) $f (x) = | x |^{2}$ függvényre

\begin{matrix} f (x + y) = f (x) + f (y), x, y \in E, x ⊥ y \end{matrix}

teljesül. Ha most ebben az egyenletben a függvényt tekintjük ismeretlennek, akkor azt kérdezhetjük, milyen más

f : E \mapsto R

valós függvényre teljesül még a Pitagorasz-tétel állítása a hossznégyzeten kívül? Amennyiben kiderülni, hogy lényegében nincs egyéb ilyen függvény, az a Pitagorasz-tétel egy sajátos megfordítását jelentené.
Az efféle egyenleteket, amelyekben számok vagy vektorok helyett éppenséggel a bennük előforduló függvények az ismeretlenek, függvényegyenleteknek szokás nevezni. Egyenletünk abból a szempontból is sajátos, hogy a változók nem minden lehetséges értékpárjára teljesül, csupán a merőleges vektorpárokra. Ezért most feltételes vagy korlátozott érvényű egyenletekről beszélünk.
Próbáljuk először

f

-et néhány különösen ,,jó'' merőleges vektorpár segítségével jellemezni. Legyen ezért

u

és

v

két merőleges egységvektor

E

-ben. Ekkor

u + v ⊥ u - v

, és így (1) alapján minden

α, β \in R

esetén a következőkre jutunk:

\begin{matrix} f ((α + β) u) + f ((α - β) v) = f ((α + β) u + (α - β) v) = \\ = f (α (u + v) + β (u - v)) = f (α (u + v)) + f (β (u - v)) = \\ = f (α u + α v) + f (β u - β v) = f (α u) + f (α v) + f (β u) + f (- β v) . \end{matrix}

Tehát az origón áthaladó

u

, illetve

v

irányvektorú egyenesekre leszűkített (valós változós)

f_{u}, f_{v} : R \mapsto R

, az

f_{u} (λ) = f (λ u)

f_{v} (μ) = f (μ v)

képletekkel értelmezett függvényeink egy minden

α, β \in R

számpárra teljesülő, vagyis korlátlan érvényű egyenletnek tesznek eleget:

\begin{matrix} f_{u} (α + β) + f_{v} (α - β) = f_{u} (α) + f_{u} (β) + f_{v} (α) + f_{v} (- β) . \end{matrix}

A megjelenő

- β

argumentum okán sokkal többet mondhatnánk

f

-ről, ha ismernénk a függvény párosságát. Viszont bármely valós függvény felbontható egy páros és egy páratlan függvény összegére:

\begin{matrix} f (x) = \frac{f (x) + f (- x)}{2} + \frac{f (x) - f (- x)}{2} = g (x) + h (x) . \end{matrix}

Itt tehát

g

páros függvény, vagyis

g (- x) = g (x)

minden

x \in E

-re,

h

pedig páratlan, vagyis

h (- x) = - h (x)

minden

x \in E

-re. Ugyancsak egyszerű számolás mutatja, hogy mindkettő megoldása a kitűzött (1) egyenletünknek. Így azután

f

páratlan része,

h

(pontosabban

h_{u}

és

h_{v}

) szintén teljesíti a (2) egyenletet, azaz minden

α, β \in R

esetén

\begin{matrix} h_{u} (α + β) + h_{v} (α - β) = h_{u} (α) + h_{u} (β) + h_{v} (α) + h_{v} (- β) . \end{matrix}

Ezután

α

és

β

szerepét felcserélve:

\begin{matrix} h_{u} (β + α) + h_{v} (β - α) = h_{u} (β) + h_{u} (α) + h_{v} (β) + h_{v} (- α) . \end{matrix}

következik, majd ezeket a (3) és (4) egyenlőségeket összeadva és közben kihasználva a

h_{v}

függvény páratlan tulajdonságát, a minden

α, β \in R

esetén teljesülő

\begin{matrix} 2 h_{u} (α + β) = 2 h_{u} (α) + 2 h_{u} (β) \end{matrix}

egyenletet kapjuk. Ez azt jelenti, hogy

h_{u}

összeghez a tagokhoz rendelt értékek összegét rendeli, vagyis összegtartó, idegen szóval additív. Az additív függvények szintén egy függvényegyenlet megoldásai, mégpedig a nevezetes

\begin{matrix} a (x + y) = a (x) + a (y) \end{matrix}

Cauchy-féle egyenleté. Ezen az alapon az (1) egyenlet megoldásait merőlegesen additív függvényeknek mondhatjuk.
Megragadva az alkalmat, tegyünk most egy kis kitérőt, hogy az

a

additív függvény néhány alaptulajdonságát számba vegyük ─ tekintet nélkül arra, hogy az

E

síkon, vagy éppen az R számegyenesen értelmezett. Nos, ha

n \in N

egy tetszőleges természetes szám, akkor a változó minden rögzített

x

értékénél az alábbi összefüggéseket kapjuk:

\begin{matrix} a (2 x) = a (x + x) = a (x) + a (x) = 2 a (x), \\ a (3 x) = a (2 x + x) = a (2 x) + a (x) = 2 a (x) + a (x) = 3 a (x), \end{matrix}

és így tovább, egészen az

\begin{matrix} a (n x) = a ([n - 1] x + x) = a ([n - 1] x) + a (x) = (n - 1) a (x) + a (x) = n a (x) \end{matrix}

egyenlőségig (a pontos bizonyítás teljes indukcióval történhet). Így azután bármely

m \in N

-re

\begin{matrix} a (x) = a (m \frac{x}{m}) = m \cdot a (\frac{x}{m}) \end{matrix}

következik, és ezért

\begin{matrix} a (\frac{x}{m}) = \frac{1}{m} a (x) . \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy minden pozitív

q = n / m

racionális szám esetén

\begin{matrix} a (q x) = a (n \frac{x}{m}) = n \cdot a (\frac{x}{m}) = n \frac{1}{m} a (x) = q a (x) \end{matrix}

teljesül. Mivel az

a (0) = a (0 + 0) = a (0) + a (0)

összefüggésből

a (0) = 0

következik, és

0 = a (0) = a (x - x) = a (x) + a (- x)

szerint

a

páratlan függvény, a negatív racionális számokra is teljesül a fenti összefüggés:

\begin{matrix} a ([- q] x) = a (- q x) = - a (q x) = - [q \cdot a (x)] = [- q] a (x) . \end{matrix}

Az additív függvényekre való rövid kitekintés után térjünk vissza a

h

függvényhez,

f

páratlan részéhez. Az

u

és

v

vektorok szerepének felcserélésével nyilván

h_{v}

additivitását is beláthatjuk, így azután tetszőleges

x, y \in E

esetén az

x = ξ_{1} u + ξ_{2} v

y = η_{1} u + η_{2} v

előállítások és

h

merőleges additivitásának segítségével számlohatunk tovább:

\begin{matrix} h (x + y) & = h ([ξ_{1} u + ξ_{2} v] + [η_{1} u + η_{2} v]) = h ([ξ_{1} + η_{1}] u + [ξ_{2} + η_{2}] v) = \\ = h ([ξ_{1} + η_{1}] u) + h ([ξ_{2} + n u_{2}] v) = h_{u} (ξ_{1} + η_{1}) + h_{v} (ξ_{2} + η_{2}) = \\ = h_{u} (ξ_{1}) + h_{u} (η_{1}) + h_{v} (ξ_{2}) + h_{v} (η_{2}) = h (ξ_{1} u) + h (ξ_{2} v) + h (η_{1} u) + h (η_{2} v) = \\ = h (ξ_{1} u + ξ_{2} v) + h (η_{1} u + η_{2} v) = h (x) + h (y) . \end{matrix}

Ezzel beláttuk, hogy az

f

páratlan része mindig additív függvény, feltétel nélkül.
Lássuk most a

g

páros rész függvényt, amelyre szintén teljesül a korlátlan érvényű (2) egyenlet.Helyettesítsünk tehát a

g

-re felírt (2) egyenletbe

α = β = λ

-t, illetve

α = - β = λ

-t. Ekkor

\begin{matrix} g_{u} (2 λ) + g_{v} (0) = 2 g_{u} (λ) + 2 g_{v} (λ), \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} g_{u} (0) + g_{v} (2 λ) = 2 g_{u} (λ) + 2 g_{v} (λ), \end{matrix}

amiből

g_{u} (2 λ) = g_{v} (2 λ)

következik minden

λ \in R

esetén. Könnyen látható ugyanis, hogy egy merőlegesen additív függvény a nulla helyen eltűnik, ezért

g_{u} (0) = g_{v} (0) = 0

. Vagyis a

g_{u}

és

g_{v}

függvények azonosak. Ez viszont

g

párossága miatt azt jelenti, hogy a (2) egyenlet

\begin{matrix} g_{u} (α + β) + g_{v} (α - β) = 2 g_{u} (α) + 2 g_{v} (β), α, β \in R, \end{matrix}

alakba írható. Vegyük észre, hogy ugyanez az egyenlőség teljesül a vektorok hossznégyzetére is, ami nem egyéb, mint a nevezetes paralelogramma egyenlőség:

\begin{matrix} | x + y |^{2} + | x - y |^{2} = 2 | x |^{2} + 2 | y |^{2}, x, y \in E . \end{matrix}

Ennek szellemében négyzetes, vagy idegen szóval kvadratikus függvényről beszélünk, ha megoldása a nevezetes

\begin{matrix} b (x + y) + b (x - y) = 2 b (x) + 2 b (y) \end{matrix}

Jordan-von Neumann-féle függvényegyenletnek. (Neumann János, 1903‐1957, a XX. század egyik legjelentősebb magyar matematikusa, aki tudományos tevékenységét főként az Egyesült Államokban fejtette ki a játékelmélet, algebra, funkcionálanalízis, számítógéptudomány és kvantummechanika területén. Itt a belső szorzat tereket jellemző normanégyzet egyenletét idéztük P. Jordannal közös cikkéből.)
Megállapíthatjuk tehát, hogy függvényünk páros részének leszűkítése az

u

irányvektorú egyenesre (pontosabban

g_{u}

) kvadratikus függvény, és nyilván ugyanez érvényes

g_{v} = g_{u}

-ra is. Ezért azután ha

x = ξ_{1} + ξ_{2} v

és

y = η_{1} u + η_{2} v

ismét tetszőleges vektorok az

E

síkon, akkor

g

merőleges additivitását is felhasználva:

\begin{matrix} g (x + y) + g (x - y) & = g ((ξ_{q} u + ξ_{2} v) + (η_{1} u + η_{2} v)) + g ((ξ_{1} u + ξ_{2} v) - (η_{1} u + η_{2} v)) = \\ = g ((ξ_{1} + η_{1}) u + (ξ_{2} + η_{2}) v) + g ((ξ_{1} - η_{1}) u + (ξ_{2} - η_{2}) v) = \\ = g ((ξ_{1} + η_{1}) u) + g ((ξ_{2} + η_{2}) v) + g ((ξ_{1} - η_{1}) u) + g ((ξ_{2} - η_{2}) v) = \\ = g_{u} (ξ_{1} + η_{1}) + g_{u} (ξ_{1} - η_{1}) + g_{v} (ξ_{2} + η_{2}) + g_{v} (ξ_{2} - η_{2}) = \\ = 2 g_{u} (ξ_{1}) + 2 g_{u} (η_{1}) + 2 g_{v} (ξ_{2}) + 2 g_{v} (η_{2}) = \\ = 2 (g (ξ_{1} u) + g (ξ_{2} v)) + 2 (g (η_{1} u) + g (η_{2} v)) = \\ = 2 g (ξ_{1} u + ξ_{2} v) + 2 g (η_{1} u + η_{2} v) = 2 g (x) + 2 g (y) . \end{matrix}

Tehét függvényünk páros része feltétel nélkül kvadratikus az

E

síkon. Ezzel beláttuk első tételünket:
1. Tétel. Ha

f : E \mapsto R

merőlegesen additív függvény, akkor egy additív és egy kvadratikus függvény összege.
Érdekes, hogy bármennyire elemi számolással jutottunk is erre a szép eredményre, az csak a legújabb kutatások mellékterméke (lásd [2]). Azt is vegyük észre, hogy számításainkban mindeddig csupán a

λ u ⊥ μ v

és

λ (u + v) ⊥ μ (u - v)

(λ, μ \in R)

alakú merőleges vektorpárok játszottak szerepet, vagyis az (1) feltételes egyenletünk érvényét még jelentősen korlátozhatnánk anélkül, hogy igazságát vesztené tételünk.

⋆

Kitűzött feladatunk azonban még távolról sincs megoldva: az additív függvények ugyan nyilván megoldásai az (1) egyenletnek, a kvadratikusakról azonban nem mondhatjuk el ugyanezt. Tekintsük például a

\begin{matrix} g (ξ_{1} u + ξ_{2} v) = ξ_{1} ξ_{2}, ξ_{1} u + ξ_{2} v \in E, \end{matrix}

függvényt, amely kvadratikus, hiszen

x = ξ_{1} u + ξ_{2} v

y = η_{1} u + η_{2} v \in E

esetén

\begin{matrix} g (x + y) + g (x - y) = g ((ξ_{1} + η_{1}) u + g (ξ_{2} + η_{2}) v) + g ((ξ_{1} - η_{1}) u + ξ_{2} - η_{2}) v) = \\ = (ξ_{1} + η_{1}) (ξ_{2} + η_{2}) + (ξ_{1} - η_{1}) (ξ_{2} - η_{2}) = 2 ξ_{1} ξ_{2} + 2 η_{1} η_{2} = 2 g (x) + 2 g (y) . \end{matrix}

Viszont

g

az egymásra merőleges

u

és

v

vektoron nem additív:

\begin{matrix} g (u + v) = 1 \cdot 1 \neq 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = g (u) + g (v) . \end{matrix}

Valójában a páros megoldásokról azt is be lehet látni, hogy értékeik nem magukból a vektoroktól, hanem csak hosszuktól függnek. Ha ugyanis

x, y \in E

és

| x | = | y |

, akkor

(x + y) / 2 ⊥ \pm (x - y) / 2

, és így a párosság felhasználásával

\begin{matrix} g (x) & = g (\frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{2}) = g (\frac{x + y}{2}) + g (\frac{x - y}{2}) = \\ = g (\frac{x + y}{2}) + g (\frac{- x + y}{2}) = g (\frac{x + y}{2} + \frac{- x + y}{2}) = g (y) . \end{matrix}

Persze úgy is felfoghatjuk, hogy

g

a vektorok hossznégyzetétől függ csupán, vagyis

\begin{matrix} g (x) = γ (| x |^{2}), x \in E, \end{matrix}

valamely

γ : R_{+} \mapsto R

függvénnyel. Viszont tetszőleges

λ, μ \in R

esetén

λ u ⊥ μ u

, amiből a Pitagorasz-tétel és a

g

merőleges additivitása alapján

\begin{matrix} γ (λ^{2} + μ^{2}) = γ (| λ u |^{2} + | μ v |^{2}) = γ (| λ u + μ v |^{2}) = g (λ u + μ v) = g (λ u) + g (μ v) = \\ = γ (| λ u |^{2}) + γ (| μ v |^{2}) = γ (λ^{2}) + γ (μ^{2}) \end{matrix}

következik, vagyis

γ

additív függvény a nemnegatív valós számok

R_{+}

halmazán. Említést érdemel, hogy az egész számegyenesen additív függvényhez jutunk, ha

γ

-t páratlan függvényként terjesztjük ki

R

-re. Tehát a hossznégyzet additív függvényeire pontosíthatjuk a páros, merőlegesen additív függvények leírását. Mivel egyszerű behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy az ilyen függvények valóban merőlegesen additívak, a következő jellemzéshez jutottunk:
2. Tétel. Az

f : E \mapsto R

függvény pontosan akkor merőlegesn additív, ha

\begin{matrix} f (x) = γ (| x |^{2}) + a (x), x \in E, \end{matrix}

alakba írható, ahol

γ : R \mapsto R

és

a : E \mapsto R

additív függvények.
Látható, hogy a Pitagorasz-tétel fent említett sajátos megfordításához további feltételekre van szükség. Ilyen lehet a hossznégyzet nemnegativitásából származó

\begin{matrix} f (x) \geq 0, x q \in E, \end{matrix}

természetes feltevés. Ekkor minden rögzített

x \in E

esetén tetszőleges

n

természetes számra

\begin{matrix} 0 \leq f (\frac{x}{n}) = γ ({| \frac{x}{n} |}^{2}) + a (\frac{x}{n}) = \frac{γ (| x |^{2})}{n^{2}} + \frac{a (x)}{n} \end{matrix}

és

\begin{matrix} 0 \leq f (\frac{- x}{x}) = γ ({| \frac{- x}{n} |}^{2}) + a (\frac{- x}{n}) = \frac{γ (| x |^{2})}{n^{2}} + \frac{- a (x)}{n} \end{matrix}

teljesül, amiből

\begin{matrix} - \frac{γ (| x |^{2})}{n} \leq a (x) \leq \frac{γ (| x |^{2})}{n}, \end{matrix}

azaz

| a (x) | \leq γ (| x |^{2}) / n

következik. Mivel itt

n

bármilyen nagyra választható,

a (x) = 0

az egyetlen lehetőség, vagyis a megoldás páratlan része eltűnik.
Térjünk most rá a páros rész vizsgálatára. Mivel

f (x) = γ (| x |^{2})

nemnegatív, azért

γ (λ) \geq 0

minden

λ \geq 0

esetén. Ha

γ

nem azonosan nulla, akkor van olyan

λ_{0} > 0

szám, hogy

γ (λ_{0}) > 0

. Ezután megmutatjuk, hogy

\begin{matrix} γ (ϱ λ_{0}) = ϱ \cdot γ (λ_{0}), ϱ \in R . \end{matrix}

Tegyük fel ennek ellenkezőjét, vagyis hogy valamely

ϱ

valós szám esetén

γ (ϱ λ_{0}) = σ \cdot γ (λ_{0})

σ \neq ϱ

. Ekkor

ϱ

és

σ

között választhatunk egy

q

racionális számot, hiszen bármely két különböző valós szám között van racionális. Így azután

γ

additivitását figyelembe véve

\begin{matrix} σ \cdot γ (λ_{0}) = γ (ϱ λ_{0}) = γ (q λ_{0} + [ϱ - q] λ_{0}) = γ (q λ_{0}) + γ ([ϱ - q] λ_{0}), \end{matrix}

vagyis a

δ = ϱ - q

jelöléssel

\begin{matrix} γ (δ λ_{0}) = σ \cdot γ (λ_{0}) - q \cdot γ (λ_{0}) = (σ - q) \cdot γ (λ_{0}) . \end{matrix}

Ha most

σ < q < ϱ

, akkor

δ λ_{0} > 0

-ra

γ (δ λ_{0}) < 0

, ha pedig

ϱ < q < σ

, akkor

- δ λ_{0} > 0

-ra

γ (- δ λ_{0}) < 0

, vagyis mindkét esetben ellentmondásra jutottunk, igazolva ezzel a (7) összefüggést, amit most már a

λ_{0} = 1

választással átírhatunk a

\begin{matrix} γ (λ) = λ \cdot γ (1), λ \in R, \end{matrix}

alakba, hiszen

γ (1) = γ ((1 / λ_{0}) λ_{0}) = (1 / λ_{0}) γ (λ_{0})

szintén pozitív. Tehát a nemnegatív megoldások a hossznégyzet nemnegatív skalárszorsai:

\begin{matrix} f (x) = γ (| x |^{2}) = γ (1) \cdot | x |^{2}, x \in E . \end{matrix}

(Ez nyilván akkor is érvényes, ha a

γ

függvény azonosan nulla.) Ezzel a Pitagorasz-tétel alábbi megfordítását bizonyítottuk:
3. Tétel. A hossznégyzet az egyetlen olyan nemnegatív, merőlegesen additív függvény, amelynek értéke valamely egységvektoron éppen 1.
Érdekesség, hogy Pitagorasz munkásságát követően közel 2500 évnek kellett eltelnie, mígnem valakinek eszébe jutott egy ilyen megfordítás lehetősége (lásd Gudder‐Strawther [1]).
Befejezésül térjünk vissza kiinduló számításainkhoz és tegyük fel, hogy az

E

síkon önkényesen jelöltük ki a ,,merőlegesnek'' tekintett vektorpárokat azzal a megkötéssel, hogy ha

(x, y)

a kijelöltek között van, akkor minden

(λ x, μ y)

vektorpár is ki van jelölve

(λ, μ \in R)

. Ekkor azt mondjuk, hogy egy homogén merőlegességi relációt értelmeztünk az

E

síkon. Jelöljük ezt

⊢

-vel, megkülönböztetve a szokásos merőlegességtől. Számításainkból kitűnik, hogy ha van két olyan

u

és

v

vektorunk, amelyekre

u ⊢ v

és

u + v ⊢ u - v

, vagyis

(u, v)

és

(u + v, u - v)

kijelölt vektorpárok, akkor a páratlan, ,,merőlegesen'' additív függvények éppen a feltétel nélkül additívak, míg a páros

g

megoldások a kvadratikus

b = g_{u} : R \mapsto R

függvénnyel

\begin{matrix} g (x) = g (ξ_{1} u + ξ_{2} v) = b (ξ_{1}) + b (ξ_{2}), x = ξ_{1} u + ξ_{2} v \in E, \end{matrix}

alakba írhatók. Ha a

(λ u, μ v)

és

(λ [u + v], μ [u - v])

jelentik az összes kijelölt ,,merőleges'' vektorpárt

(λ, μ \in R)

, akkor könnyen ellenőrizhető, hogy a (9) alakú függvények mindegyike páros és ,,merőlegesen'' additív, vagyis az adja az általános páros megoldást.
Amennyiben elkezdjük bővíteni a ,,merőleges'' vektorpárok körét a homogén tulajdonság megőrzésével, akkor a páros megoldások halmaza szűkül, hiszen egyre több feltételt kell teljesítenie minden megoldásnak. Minden esetre a

\begin{matrix} g (x) = g (ξ_{1} u + ξ_{2} v) = ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}, x = ξ_{1} u + ξ_{2} v \in E, \end{matrix}

függvény valódi páros megoldás marad mindaddig, amíg csakis a

\begin{matrix} ξ_{1} η_{1} + ξ_{2} η_{2} = 0 \end{matrix}

feltételt teljesítő

(x, y) = (ξ_{1} u + ξ_{2} v, η_{1} u + η_{2} v)

vektorpárokat vesszük be a ,,merőlegesek'' közé.
Mihelyt azonban ezektől eltérő vektorpárt is kijelölünk ,,merőlegesnek'', máris eltűnik minden páros, a

[0, u]

szakaszon korlátos, ,,merőlegesen'' additív függvény.

Irodalom

[1] Gudder, S. ─ Strawther, D., A converse of Pythagoras' Theorem, Amer. Math. Monthly 84 (1977), 551‐553.
[2] Rátz, J. ─ Szabó, Gy., On orthogonally additive mappings, IV, Aequationes Mathematicae 38 (1989), 73‐85.

\begin{matrix} Szabó György \\ Debrecen, Kossuth Lajos Tudományegyetem \end{matrix}