Cím: 1994. Beszámoló a 35. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról
Szerző(k):  Pelikán József 
Füzet: 1994/szeptember, 299 - 301. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 35. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 1994. július 8-20. között Hongkongban került megrendezésre. A versenyen 69 ország csapata vett részt, általában 6 fős csapatokkal. Az alábbi felsorolásban csak ott tüntettük fel a csapatlétszámot (az ország neve után zárójelben), ahol az 6-tól különböző:
Amerikai Egyesült Államok, Argentína, Ausztrália, Ausztria, Belgium, Belorusszia, Bosznia (5), Brazília (5), Bulgária, Chile (2), Ciprus, Csehország, Dánia (4), Dél-Afrika, Észtország (5), Finnország, Franciaorzság, Fülöp-szigetek, Görögország, Grúzia, Hollandia, Hongkong, Horvátorzság, India, Indonézia, Irán, Írország, Izland (4), Izrael, Japán, Kanada, Kína, Kirgizisztán, Kolumbia, Dél-Korea, Kuba (1), Kuwait, Lengyelország, Lettország, Litvánia, Luxemburg (1), Macedónia (4), Magyarország, Makaó, Marokkó, Mexikó, Moldávia, Mongólia, Nagy-Britannia, Németország, Norvégia, Olaszország, Oroszország, Örményország (5), Portugália, Románia, Spanyolország, Svájc (3), Svédország, Szingapúr, Szlovákia, Szlovénia (5), Tajvan, Thaiföld, Törökország, Trinidad és Tobago, Ukrajna, Új-Zéland, Vietnam.
A versenyen tehát 385 versenyző indult. Az olimpián szokás szerint két egymás utáni napon 4 és fél ‐ 4 és fél óra alatt 3 ‐ 3 feladatot kell megoldani. (A feladatokat alább ismertetjük.) Mindegyik feladat helyes megoldásáért 7 ‐ 7 pont jár, így egy versenyző maximum 42 pontot szerezhet. Egy 6 tagú csapat által megszerezhető maximális összpontszám tehát 252 pont.
Az idei verseny feladatai a szokásosnál könnyebbnek bizonyultak. Ennek megfelelően az egyes díjak megszerzéséhez szükséges pontszám viszonylag magas volt. Első díjat 40 ‐ 42 ponttal, második díjat 30 ‐ 39 ponttal, harmadik díjat 19 ‐ 29 ponttal lehetett szerezni. A magyar csapat tagjai egy első és öt második díjat szerezztek.
Első díjat nyert:
Szeidl Ádám (Miskolc, Földes Ferenc Gimn., IV. o. t.) 42 ponttal.
A második díjat nyert csapattagok valamennyien a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnázium tanulói, alább csak az osztályukat tüntetjük fel.
Második díjat nyert:
Csörnyei Marianna és Futó Gábor (IV. o.) egyaránt 39 ponttal,
Koblinger Egmont (III. o.) 36 ponttal,
Párniczky Benedek (IV. o.) 33 ponttal,
Szádeczky-Kardoss Szabolcs (III. o.) 32 ponttal.
Az országok közötti (nem hivatalos) pontversenyben a magyar csapat sok év óta legjobb eredményét érte el: ötödik lett. Az első tíz helyezett ország és pontszáma:
1. Amerikai Egyesült Államok 252, 2. Kína 229, 3. Oroszország 224, 4. Bulgária 223, 5. Magyarország 221, 6. Vietnam 207, 7. Nagy-Britannia 206, 8. Irán 203, 9. Románia 198, 10. Franciaország 191.
A verseny szervezése hagyott ugyan kívánnivalókat maga után, és a párás hőség is próbára tett versenyzőt és vezetőt egyaránt, a szervezők igyekezete és jószándéka azonban egy pillanatig sem volt kétséges.
A magyar csapat vezetője Pelikán József (Eötvös Loránd Tudományegyetem) volt, helyettes vezetője Benczúr Péter, az ELTE V. éves matematikus hallgatója, aki a versenyzők felkészítéséből is részt vállalt. A felkészítés legnagyobb részét azonban ezúttal is Reiman István (Budapesti Műszaki Egyetem) végezte, akinek szeretnék mindannyiunk nevében köszönetet mondani.
Az 1995. évi diákolimpia július 13-25. között a kanadai Torontoban kerül megrendezésre. A nemzetközi zsűri kijelölte több évre előre az olimpiák helyszínét. Ezek: 1996: India, 1997: Argentína, 1998: Tajvan, 1999: Románia, 2000: Dél-Korea. (Románia kijelölésekor nyomós érv volt, hogy a diákolimpiák román kezdeményezésre jöttek létre 1959-ben, és a 40 éves jubileum alkalmából ismét ők kérték a rendezés jogát.)

Első nap

1. Legyenek m és n pozitív egészek, a1,a2,...am pedig az {1,2, ..., n} halmaz különböző elemei. Tegyük fel, hogy valahányszor ai+aj≤n teljesül valamilyen i,j értékekre, ahol 1≤i≤j≤m, akkor létezik olyan k (1≤k≤m), hogy ai+aj=ak. Bizonyítsuk be, hogy
a1+a2+...+amm≤n+12.

2. Az ABC egyenlő szárú háromszögben AB=AC. Tegyük fel, hogy
(i) M a BC szakasz felelzőpontaja, O pedig az AM egyenesnek azon pontja, amelyre teljesül, hogy OB merőleges AB-re.
(ii) Q a BC szakasz tetszőleges, B-től és C-től különböző pontja.
(iii) E a AB egyenes egy pontja, F pedig az AC egyenes egy pontja, amelyekre teljesül, hogy E,Q és F különbözőek és egy egyenesen vannak.
Bizonyítsuk be, hogy OQ akkor és csak akkor merőleges EF-re, ha QE=QF.
3. Tetszőleges pozitív egyész k esetén jelölje f(k) a {k+1,k+2,...,2k} halmaz azon elemeinek számát, amelyek kettes alapú számrendszerben való felírásában pontosan 3 darab 1-es számjegy található.
(a) Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész m-hez létezik legalább egy olyan pozitív egyész k, hogy f(k)=m.
(b) Határozzuk meg mindazokat a pozitív egész m-eket, amelyekre pontosan egy olyan k létezik, amelyre f(k)=m.
Második nap

4. Határozzuk meg az összes olyan, pozitív egészekből álló (m,n) rendezett párt, amelyre
n3+1mn-1
is egész szám.
5. Legyen S a (-1)-nél nagyobb valós számok halmaza. Határozzuk meg az összes olyan f:S→S függvényt, amelyre teljesül a következő két feltétel:
(i) f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x) minden x,y∈S-re.
(ii) f(x)x szigorúan monoton növekvő a -1<x<0, ill. x>0 intervallumok mindegyikén.
6. Mutassuk meg, hogy létezik olyan, pozitív egész számokból álló A halmaz, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik:
Prímszámok tetszőleges, végtelen S halmazához létezik olyan k≥2 és két pozitív egész: m∈A és n∉A, hogy m és n mindegyike S k darab különböző elemének a szorzata.
Pelikán József