Kezdőlap


Cím:	Középiskolás matematikaverseny Bács-Kiskun megyében
Szerző(k):	Kelemen Ildikó , Rideg László
Füzet:	1994/április, 168 - 170. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1993/94-es tanévben is meghirdette a BJMT Megyei Tagozata és a Megyei Pedagógiai Intézet több éves hagyományokkal rendelkező versenyét, amelynek lebonyolítását idén a kiskőrösi Petőfi Sándor Gimnázium és Kertészeti Szakközépiskola matematika munkaközössége vállalta.
Az első fordulón közel 1500 gimnazista és szakközépiskolás tanuló vett részt. A második fordulóra 1993. november 20-án került sor, amelyre 193 tanuló jutott be. Az évfolyamonként kitűzött feladatsorok megoldására 3 óra állt rendelkezésre.

A verseny feladatai
I. osztály

1. Az

A

faluból a

B

faluba vezető út egy emelkedőből, egy vízszintes szakaszból és egy ereszkedőből áll. Egy kerékpáros az utat oda-vissza 3 óra alatt teszi meg úgy, hogy felfelé 12 km/óra, vízszintesen 16 km/óra, lefelé pedig 24 km/óra sebességgel halad. Mennyi a két falu távolsága?

2. Egy

r

sugarú hengert egy szórópisztollyal festenek. A szórópisztoly egy, a henger tengelyétől

2 r

távolságra levő, a tengellyel párhuzamos sín mentén csúsztatható. A hengerpalást hányadrészét lehet a sín áthelyezése nélkül befesteni?

3. Egy kör alakú asztalnál mindenki a szomszédait és csak a szomszédait ismeri. Hány tagú a társaság, ha a létszám az egy ember számára ismeretlen tagok számának egész számú többszöröse?

4. Oldjuk meg az

\begin{matrix} [x] \geq | x - 3 | + | x - 5 | \end{matrix}

egyenlőtlenséget, ahol

x

valós szám, és

[x]

azt a legnagyobb egész számot jelöli, amely

x

-nél nem nagyobb.

5. Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, a vele szemközti szöge, és tudjuk, hogy az adott szög szögfelezője az adott oldallal

45^{\circ}

-os szöget zár be?

6. Mi az

A = 1! + 2! + ... + 1993!

szám utolsó három jegye? (A

k!

szimbólum az első

k

pozitív egész szám szorzatát jelöli, azaz

1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k = k!

II. osztály

1. Négy játékos megegyezik abban, hogy minden játék után a vesztes megkétszerezi a másik három játékos pénzét. Összesen négy játékot játszanak, minden játékos egy játékot vesztett. A négy játék végén minden játékosnak 200 forintja volt. Hány forintja volt az egyes játékosoknak a játék kezdetén?

2. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} | 2 - | 1 - x | | \geq 1 \end{matrix}

3. Az

A B C D E F G H

téglatest testátlói az

I

pontban metszik egymást. (Az

A

pont fölött

E, B

fölött

F, C

fölött

G

és

D

fölött

H

pont helyezkedik el.) A

B I G

háromszög kerülete 8 egység, a

B H G

háromszög kerülete 12 egység. Mekkora a

B G

szakasz?

4. A pozitív valós számok halmazán oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} + \frac{1}{x_{2}} & = 2 \\ x_{2} + \frac{1}{x_{3}} & = 2 \\ ... ... ... & ... \\ x_{100} + \frac{1}{x_{1}} & = 2. \end{matrix} \end{matrix}

5. Hozza rövidebb alakra a következő összegeet:

\begin{matrix} S = \frac{1}{1 + \sqrt[]{2}} + \frac{1}{\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}} + \frac{1}{\sqrt[]{3} + \sqrt[]{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt[]{1992} + \sqrt[]{1993}} \end{matrix}

6. Az

A B C

háromszögben

B C > A C

. Az

A B

oldal felezőpontja legyen

D

. Tekintsük az

A D C

, ill.

D B C

háromszögekbe írható köröket. Ezek a

C D

szakaszt az

F

, ill.

E

pontban érintik. Állítás:

B C - A C = 2 E F

III. osztály

1. Egy földterület szélén van egy 100 m hoszzú kőfal. Van 360 m hoszzú kerítésdrótunk. A kőfalat is felhasználva a lehető legnagyobb téglalap alakú telket akarjuk elkeríteni. Hogyan kell megválasztani a telek méreteit, és mekkora az elkerített földterület?

2. Oldjuk meg a következő egyenletet

\begin{matrix} 3^{x} = | 12 - x | - | x - 3 | \end{matrix}

3. Az

A B C

derékszögű háromszög derékszögű csúcsa

B

. Az

A C

oldalt az

A

pontból számítva a

D, E, F, G

pontokkal öt egyenlő részre osztjuk. A

k

szám kielégíti a

B D^{2} + B G^{2} = k \cdot A C^{2}

összefüggést. Határozzuk meg a

k

értékét!

4. Hányféleképpen lehet egy 12 fokból álló lépcső tetejére feljutni, ha egyszerre 1 vagy 2 fokot léphetünk?

5. Igazolja, hogy bármely háromszögben teljesül:

\begin{matrix} s_{a}^{2} = \frac{b^{2}}{2} + \frac{c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}, \end{matrix}

ahol

s_{a}

a

oldalhoz tartozó súlyvonalat jelenti.

6. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} log_{\frac{25 - x^{2}}{16}} (\frac{24 - 2 x - x^{2}}{14}) > 1. \end{matrix}

IV. osztály

1. Egy homogén sűrűségű kockából a lehető legnagyobb gömböt esztergáljuk ki. A hulladék 91,09 kg. Mekkora a gömb tömege?

2.

2025 = {(20 + 25)}^{2}

. Van-e még olyan négyjegyű szám, amely hasonló tulajdonságú?

3. Jelölje

a; b; c

egy háromszög oldalait,

ϱ

a beírható kör sugarát

ϱ_{a}; ϱ_{b}; ϱ_{c}

pedig rendre a hozzáírt körök sugarait,

r

a köré írt kör sugarát, s végül

t

a területét. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} a^{2} b^{2} c^{2} = 16 r^{2} ϱ_{a} ϱ_{b} ϱ_{c} ϱ . \end{matrix}

4. Bizonyítsuk be, hogy egy konvex négyszög oldalai fölé kifelé rajzolt négyzetek középpontjai egy olyan négyszög csúcsai, amelynek átlói egyenlő hosszúak.
Lehet-e még valamit mondani a fenti négyzetközéppontok adta négyszögről?

5. Egy

8 \times 8

-as sakktáblára felteszünk 7 egyforma figurát. Ezután a következőt játsszuk. Minden lépésben mindazokra a mezőkre egy-egy újabb figurát teszünk, amelyeknek legalább két szomszédos mezőjén (szomszédosnak akkor nevezzünk két mezőt, ha van közös élük) van már figura. Ahol már van figura, ahhoz nem nyúlunk. Vajon előfordulhat-e, hogy így minden mezőn lesz figura?

A versenyen a legjobb eredményt elért tanulók:

\begin{matrix} I. évfolyam: & Felkészítő tanár: \\ Illyés Gábor & III. Béla Gimn., Baja & (Sipos János) \\ Magyar Anita & ÁFEOSZ, Kecskemét & (Gadányi Csabáné) \\ II. évfolyam: \\ Szabó Annamária & Bolyai J. Gimn., Kecskemét & (Varga József, Pap-Szigeti Róbert) \\ Lestyán Zsolt & Katona J. Gimn., Kecskemét & (Laboda Imre) \\ Váczi Nóra & Katona J. Gimn., Kecskemét & (Laboda Imre) \\ Hegyi Sándor & ÁFEOSZ, Kecskemét & (Gadányi Csabáné) \\ III. évfolyam: \\ Kéri Csaba & Kecskeméti Reform. Gimn. & (Dr. Sárkány Ernő) \\ Pusztai Gábor & III. Béla Gimn., Baja & (Steingartné Molnár Mária) \\ Novák András & Kada Elek SZKI., Kecskemét & (Szenesné Durucz Anna) \\ IV. évfolyam: \\ Balogh János & Bolyai J. G., Kecskemét & (Vincze Zoltán \\ Bársony István) \\ Huncsik Péter & Piarista Gimn., Kecskemét & (Fazekas József) \\ Jeszenszki Éva & Kodály Z. Gimn., Kecskemét & (Benedek József) \\ Járvás Marcell & Kandó K. SZKI., Kecskemét & (Sibalin Istvánné) \end{matrix}

Kiskőrös, 1994. január

\begin{matrix} Kelemen Ildikó & Rideg László \\ tanár & tanár \end{matrix}