Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a februári szám mérőlapjához
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1994/március, 111 - 112. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az első egyenlet ${(x - y)}^{2} = 9$ , tehát $x - y = 3$ , vagy $x - y = - 3$ .
Ha $x = y + 3$ , akkor ezt a második egyenletbe helyettesítve, $y^{2} + 3 y + 2 = 0$ , így $y_{1} = - 1$ , $x_{1} = 2$ , vagy $y_{2} = - 2$ , $x_{2} = 1$ .
Ha $x = y - 3$ , akkor $y^{2} - 3 y + 2 = 0$ , $y_{3} = 1$ , $x_{3} = - 2$ , vagy $y_{4} = 2$ , $x_{4} = - 1$ .
Megjegyzés. Adjuk hozzá az első egyenlet $(- 2)$ -szeresét a második egyenlethez, ekkor $2 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} = 0$ , azaz $x = - 2 y$ vagy $y = - 2 x$ . Ezekhez társítva az ${(x - y)}^{2} = 9$ egyenletet, szintén megkaphatjuk a megoldásokat.
2. Legyen $T_{A B C N} = t$ . A szögfelező osztásarány tétele miatt $T_{A B D} = \frac{3}{7} t$ , ugyanezért $T_{A E D} = \frac{7}{12} \cdot \frac{3}{7} t = \frac{1}{4} t$ .
3. A szóban forgó összegek $S_{1} = \frac{n (2 n - 1)}{2}$ , illetve $S_{2} = \frac{n (4 n + 2)}{2}$ ; a feltétel szerint

\begin{matrix} \frac{3 n - 1}{4 n + 2} = \frac{5}{7}, \end{matrix}

ahonnan

n = 17

.
4.

x^{2} - 4 x + 5 = {(x - 2)}^{2} + 1

, tehát mindig pozitív értéket vesz fel. Az

\begin{matrix} 1 \leq \frac{2 x^{2} - 6 x + 6}{x^{2} - 4 x + 5} \leq 3 \end{matrix}

tehát pontosan akkor teljesül, ha

\begin{matrix} (1) x^{2} - 4 x + 5 \leq 2 x^{2} - 6 x + 6 és (2) 2 x^{2} - 6 x + 6 \leq 3 x^{2} - 12 x + 15. \end{matrix}

Az (1) ekvivalens az

{(x - 1)}^{2} \geq 0

egyenlőtlenséggel, a (2) ekvivalens az

{(x - 3)}^{2} \geq 0

egyenlőtlenséggel, tehát minden valós

x

-re teljesül az állítás.
5. A nyolcszögnek van két olyan szomszédos oldala, amelyek hossza 1, illetve 3 egység. Legyen

A B = 1

B C = 3

egység, a kör középpontja

O

. Az

A O C ∢ = 90^{\circ}

. Jelölje

r

a kör sugarát. Ekkor

A C = r \sqrt[]{2}

. Most a hosszabb

A C

ívhez tartozó középponti szög

270^{\circ}

, így az

A B C

háromszögben

A B C ∢ = 135^{\circ}

. A koszinusztétel alkalmazásával

\begin{matrix} 2 r^{2} = 1^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot (- \frac{\sqrt[]{2}}{2}), ahonnan \\ r^{2} = 5 + 1,5 \cdot \sqrt[]{2}, r \approx 2,67 egység . \end{matrix}

6. Ha a keresett kör középpontja a

K (u, v)

, akkor a

K

pont a három egyenestől egyenlő távolságra van, azaz

\begin{matrix} | u | = | v | = \frac{1}{5} | 3 u + 4 v - 10 | . \end{matrix}

\begin{matrix} Így & u = v & és & \frac{1}{5} (3 u + 4 v - 10) = u, \\ vagy & u = v & és & \frac{1}{5} (3 u + 4 v - 10) = - u, \\ vagy & - u = v & és & \frac{1}{5} (3 u + 4 v - 10) = u, \\ vagy & - u = v & és & \frac{1}{5} (3 u + 4 v - 10) = - u, \end{matrix}

ahonnan

u_{1} = 5

v_{1} = 5

r_{1} = 5

, vagy

u_{2} = \frac{5}{6}

v_{2} = \frac{5}{6}

r_{2} = \frac{5}{6}

, vagy

u_{3} = - \frac{5}{3}

v_{3} = \frac{5}{3}

r_{3} = \frac{5}{3}

, vagy

u_{4} = \frac{5}{2}

v_{4} = - \frac{5}{2}

r_{4} = \frac{5}{2}

.
A feltételeknek tehát négy kör felel meg, ezek egyenlete:

\begin{matrix} {(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} & = 25, {(x - \frac{5}{6})}^{2} + {(y - \frac{5}{6})}^{2} = \frac{25}{36}, \\ {(x + \frac{5}{3})}^{2} + {(y - \frac{5}{3})}^{2} & = \frac{25}{9}, {(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{25}{4} . \end{matrix}

7. Ha

m = 0

, akkor nincs megoldás. Ha

m \neq 0

, akkor

12 sin^{4} x - 12 sin^{2} x + \frac{2 m}{3} = 0

. A diszrimináns nem-negatív, azaz

D = 12^{2} - 4 \cdot 12 \cdot \frac{2 m}{3} = 16 (9 - 2 m) \geq 0

, ha

m \leq \frac{9}{2}

.
Mivel

0 \leq sin^{2} x \leq 1

, azért a

\begin{matrix} 0 \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \sqrt[]{9 - 2 m} \leq 1, 0 \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \sqrt[]{9 - 2 m} \leq 1 \end{matrix}

egyenlőtlenségek közül legalább az egyiknek teljesülnie kell. Az egyenletnek így akkor van megoldása, ha

0 < m \leq \frac{9}{2}

. Ha

m = \frac{9}{2}

, akkor

sin^{2} x = \frac{1}{2}

x_{n} = \frac{π}{4} + n \cdot \frac{π}{2}

n \in Z

.
8. Ha az

a x^{2} + b x + c = 0

(a \neq 0)

egyenlet gyökei

x_{1}

és

x_{2}

, és

x_{2} = 3 x_{1}

, akkor a gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján

4 x_{1} = - \frac{b}{a}

és

3 x_{1}^{2} = \frac{c}{a}

, ahonnan

3 \cdot \frac{b^{2}}{16 a^{2}} = \frac{c}{a}

, így

4 a c = \frac{3}{4} b^{2}

. Az egyenlet diszkriminánsa

D = b^{2} - 4 a c = b^{2} - \frac{3}{4} b^{2} = \frac{1}{4} b^{2}

.
Fordítva, legyen

D = \frac{1}{4} b^{2}

, ekkor

x_{1,2} = \frac{- b \pm \frac{1}{2} b}{2 a}

x_{1} = - \frac{1}{4} \frac{b}{a}

x_{2} = - \frac{3}{4} \frac{b}{a}

, így valóban

x_{2} = 3 x_{1}

Rábai Imre