A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. a) A terület nyilván területegység. b) Mivel az , azért a trapéz köré írt körének átmérője. Legyen a pont vetülete az oldalon Az derékszögű háromszögben alkalmazhatjuk a magasságtételt és a befogótételt. Ezek szerint egység, így egység, a köré írt kör suga 5 egység; egység. A trapéz kerülete: egység. 2. Az adott egyenlet diszkriminánsa , mindig pozitív (miért?), így mindig két különböző valós gyöke van. A gyökök pontosan akkor különböző előjelűek, ha szorzatuk negatív, azaz ha , ami esetén teljesül. Megjegyzés: Ha az egyenlet esetén , akkor , így a diszkrimináns ; tehát esetén mindig két különböző valós gyöke van az egyenletnek. 3. Mivel és , ezért a egyenletet kell megoldani a intervallumon. Ha , akkor , így tehát Ha , akkor , így vagy tehát . 4. Az egyenletnek akkor van értelme, ha és , azaz ha . Azonos átalakításokkal Az alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton csökkenő, tehát Mivel mindkét oldalon nemnegatív szám áll, ezért négyzetreemelés, majd rendezés után Az egyenlőtlenség megoldásai tehát 5. a) A tört számlálója pozitív állandó, a nevezője is mindig pozitív értéket vesz fel. Így a tört értéke akkor a legnagyobb, ha a nevező a legkisebb. Ismeretes, hogy ha és , akkor . Most . Az egyenlőség esetén áll fenn. A tört legnagyobb értéke , amit esetén vesz fel. b) Ismeretes, hogy , ha , így és , ahol az egyenlőségek esetén állnak fenn. Most ha és , akkor mivel | | A kifejezés legnagyobb értéke 4, amit akkor vesz fel, ha és , azaz ha vagy . 6. Nyilván és . Az igazolás során a következő ismert azonosságokat alkalmazzuk: . A feltételi egyenlettel ekvivalensek a következő egyenletek:
Most , tehát -val lehet osztani.
tehát a háromszög valóban derékszögű. 7. Az éritési pont ordinátája 9, abszcisszája a egyenletből . A keresett kör(ök) középpontja rajta van az pontban az adott egyenesre merőleges egyenesen, amelynek egyenlete . Az adott egyenes az tengelyt a pontban metszi. Külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok egyenlősége miatt , ahol és azok a pontok, amelyekben a szóban forgó kör(ök) az -tengelyt érinti(k). Most , így . Ha a keresett körök középpontja , akkor és tehát és , . A feltételeknek megfelelő körök egyenlete: illetve 8. Az állítás teljes indukcióval bizonyítható. A megoldás során felhasználjuk az (ugyancsak teljes indukcióval igazolható)
azonosságokat. Mivel , ezért
|