Cím: 1993. Jelentés a Kürschák József Matematikai Tanulóversenyről
Füzet: 1994/február, 54 - 56. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Bolyai János Matematikai Társulat az 1993. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyt október 22-én rendezte a következő 19 városban: Békéscsaba, Budapest, Debrecen, Eger, Győr, Kaposvár, Kecskemét, Miskolc, Nagykanizsa, Nyíregyháza, Pécs, Salgótarján, Sopron, Szeged, Székesfehérvár, Szolnok, Szombathely, Tatabánya, Veszprém.
A Társulat Elnöksége a verseny lebonyolítására a következő bizottságot kérte fel: Bakos Tibor, Bártfai Pál, Bereczky Áron (titkár), Csirmaz László, Fejes-Tóth Gábor, Kós Géza, Pálfy Péter Pál, Pálmay Lóránt, Pelikán József, Reiman István, Surányi János (elnök).
A bizottság szeptember 23-ai ülésén a következő feladatokat tűzte ki:
1. Legyen a és b két pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy legfeljebb véges sok n egész szám esetén lehet an2+b és a(n+1)2+b egyaránt négyzetszám.
2. Az ABC háromszög oldalai különböző hosszúságúak. A háromszögbe írt kör a BC,CA,AB oldalakat rendre a K,L,M pontban érinti. A B-n át LM-mel párhuzamosan húzott egyenes és KL metszéspontja D, a C-n át LM-mel párhuzamosan húzott egyenes és KM metszéspontja pedig E.
Bizonyítsuk be, hogy DE átmegy az LM szakasz felezőpontján.
3. Legyen n adott pozitív egész szám. Határozzuk meg a valós számokon értelmezett

f(x)=x2n+2x2n-1+3x2n-2+...+(2n+1-k)xk+...+2nx+2n+1
polinom minimumát.
A bizottság a dolgozatok áttanulmányozása után december 2-ai ülésén (nem tudott részt venni Bártfai Pál és Reiman István) egyhangúlag a következő jelentést fogadta el:
,,A verseny mindenütt rendben zajlott le. A vidéki városokban 214-en indultak, 150-en adtak be dolgozatot, Budapesten 182 induló közül 95 adott be dolgozatot.
Számos jó megoldás érkezett mind a három feladatra. A megoldások alapötlete is nagy változatosságot mutat.
Mind a három feladatot megoldotta Kálmán Tamás. Az első feladat megoldásának alapötlete ügyes. Ennek alapján
I. Kürschák József-díjat és 6 000 Ft jutalmat nyert:
Kálmán Tamás, aki a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnáziumban tett érettségi vizsgát, Laczkó László tanítványa volt.
Mind a három feladatot megoldotta, az elsőnél apró hiányossággal Veres Gábor. Ügyes a második feladatra adott megoldása. Ennek alapján
II. Kürschák József-díjat és 5 000 Ft jutalmat kapott
Veres Gábor, aki a balassagyarmati Balassi Bálint Gimnáziumban tett érettségi vizsgát, Fűrész István tanítványa volt.
Lényegében megoldotta mind a három feladatot Burcsi Péter, Katz Sándor és Párniczky Benedek. Párniczky első feladatra adott megoldásában kisebb pontatlanság van, a harmadik feladatra adott megoldása bonyolult. Katz megoldásainak leírása kissé hevenyészett, elírásokkal. Kisebb hiányosságot is tartalmaz. Burcsi első feladatra adott megoldásában is vannak hiányosságok. A harmadik feladatra adott megoldása elég egyszerű ötleten alapul. Ennek alapján
III. Kürschák József-díjat és 3 500‐3 500 Ft jutalmat nyert
Párniczky Benedek, a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulója, Fazakas Tünde és Montágh Balázs tanítványa,
Katz Sándor, aki a bonyhádi Petőfi Sándor Gimnáziumban tett érettségi vizsgát, Katz Sándor és Pósa Lajos tanítványa volt, és
Burcsi Péter, a pápai Türr István Gimnázium és Szakközépiskola II. osztályos tanulója, Németh Zsolt és Spissich László tanítványa.
Csörnyei Marianna megoldotta az első és a harmadik feladatot, a második megoldásába két érdekes, de bonyolult ötleten alapuló megoldásba is belekezdett, de nem látta, hogy számításai hogyan fejezhetők be. Faragó Gergely megoldotta a harmadik feladatot, elég fáradságosan, az első feladatra adott megoldása kissé hiányos, a második feladatnál megadja a megoldás menetét, de a kivitelezésbe csak belekezd. Kassai Lóránt megoldotta a második és a harmadik feladatot, az elsőnél nem látszik, hogy egy jó elindulást hogyan fejezne be. Ennek alapján
1. dicséretet és 1000-1000 Ft jutalmat nyert
Csörnyei Marianna, a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulója, Fazakas Tünde és Montágh Balázs tanítványa,
Faragó Gergely, aki a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnáziumban tett érettségi vizsgát, Laczkó László és Pósa Lajos tanítványa volt, és
Kassai Lóránt, aki a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnáziumban tett érettségi vizsgát, Laczkó László tanítványa volt.
Hertz István megoldotta, bár néhány elírással, az első és a második feladatot. A harmadik feladatban csak kisebb részeredményt ért el. Ivánka Gábor megoldotta a harmadik feladatot, a másodikra adott megoldása is lényegében jó. Az első feladatnál két részeesetre bontás után csak a másodikkal foglalkozott, de áttekinthetetlen számolásokba bonyolódott. Ennek alapján
2. dicséretet nyert
Hertz István, a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulója, Thirty Imréné és Táborné Vincze Márta tanítványa, és
Ivánka Gábor, az aradi Moise Nicoara^ Gimnázium XII. (utolsó) osztályos tanulója, M. Potocean tanítványa.''