Cím:	Relativisztikus impulzus, relativisztikus mozgási energia
Szerző(k):	Honyek Gyula
Füzet:	1993/május, 225 - 226. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Relativisztikus impulzus, relativisztikus mozgási energia   Jól ismert tény, hogy a gyorsan mozgó testek tömege a sebességük növekedtével megnő. Mérésekkel igazolható, hogy a tömeg sebességfüggésére a következő összefüggés érvényes: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle m=\frac{m_0}{\sqrt[]{1-v^2/c^2}}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ahol $m_0$ a test nyugalmi tömege, $v$ a sebessége, $c$ pedig a fénysebesség. Könnyen beláthatjuk, hogy számottevő tömegnövekedést csak a fénysebesség közelében találhatunk, a fénynél lényegesen lassabban mozgó testekre $m$ gyakorlatilag független $v$-től. Ha viszont egy részecske sebessége tart a fénysebességhez, a relativisztikus tömeg végtelenhez tart! Ez az észrevétel összefügg azzal az állítással, hogy a nullától különböző nyugalmi tömeggel rendelkező testek (korpuszkuláris részecskék) nem érhetik el a vákuumbeli fénysebességet. Felmerülhet bennünk az a kérdés, hogy nagy sebességek esetén milyen matematikai összefüggésekből számíthatjuk ki a relativisztikus impulzust és a relativisztikus mozgási energiát. Az impulzus esetén ,,szerencsés'' módon továbbra is használhatjuk a megszokott $p=m\cdot v$ formulát, azzal a megszorítással, hogy $m$ helyére a fenti relativisztikus tömeget kell írni. (Az idézőjel arra utal, hogy ez igazából nem szerencse kérdése, hanem a relativisztikus tömeg definíciójának következménye: a sebességtől függő tömeget éppen az $m\left(v\right)=p/v$ összefüggés alapján értelmezzük.) Nem ilyen egyszerű a helyzet a mozgási energia esetén, mert itt el kell búcsúznunk a megszokott $m{v}^2/2$ alaktól és helyette a következő formulát kell használnunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\text{mozgási}}=m{c}^2-m_0{c}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $m$ ismét a relativisztikus tömeget, $m_0$ pedig a nyugalmi tömeget jelöli. Az $m{c}^2$ kifejezést teljes energiának szokták nevezni, míg az $m_0{c}^2$ neve nyugalmi energia. A mozgási energia tehát a teljes energia és a nyugalmi energia különbsége. A nyugalmi energiát tekinthetjük egy rendszer belső energiájának abban az értelemben, hogy egy nyugvó rendszerből ennél több energiát nem vehetünk ki. Viszonylag könnyen megmutathatjuk azt is, hogy a relativisztikus mozgási energia képlete kis sebességek határesetében a megszokott klasszikus alakot veszi fel. A továbbiakban tömören megadjuk a fenti relativisztikus kifejezések elméleti ,,levezetését'', illetve kapcsolatukat a fizika más törvényeivel. Az impulzus esetén ‐ mint említettük ‐ valójában nem levezetésről, hanem definícióról van szó, ez azonban egy szerencsés definició, mert az így értelmezett $\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}=\frac{m_0}{\sqrt[]{1-v^2/c^2}}\cdot \overrightarrow{v}}\end{array}$ vektor zárt rendszerekre (pl. ütközéseknél) szigorúan megmaradó mennyiség. Érvényes továbbá a dinamika alaptörvénye, méghozzá Newton eredeti megfogalmazásában. Eszerint a testre ható erő nem a tömeg és a gyorsulás szorzatával, hanem a tömeg és a sebesség szorzatának (az impulzusnak) időbeli változási ütemével egyenlő: $\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{F}=\frac{d\left(m\overrightarrow{v}\right)}{dt}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol a tömeg helyére természetesen a relativisztikus tömeget kell írni. A mozgási energia levezetéséhez a munkatételből indulunk ki. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy a test sebessége és az erő azonos irányúak. Az $F$ erő $dr$ szakaszon végzett munkája megadja a mozgási energia megváltozását: $\begin{array}{c}{\displaystyle dW=d\left(E_{\text{mozgási}}\right)=F\cdot dr=\frac{d\left(mv\right)}{dt}\cdot dr=v\cdot d\left(mv\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt a kifejezést a következő módon alakíthatjuk át: $\begin{array}{c}{\displaystyle d\left(E_{\text{mozgási}}\right)=v\left(v\cdot dm+m\cdot dv\right)=v^2\cdot dm+mv\cdot dv)=c^{2}dm\left(\frac{v^2}{c^2}+\frac{mv}{c^2}\cdot \frac{dv}{dm}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A relativisztikus tömegformulát differenciálva kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{dv}{dm}={\left(\frac{dm}{dv}\right)}^{-1}=\frac{c^2-v^2}{mv}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle d\left(E_{\text{mozgási}}\right)=c^{2}dm\cdot \left(\frac{v^2}{c^2}+1-\frac{v^2}{c^2}\right)=c^2\cdot dm\mathrm{.}}\end{array}$ A befektetett munka tehát a tömeg növekedését okozza. Ha a test sebessége $v=0$-tól tetszőleges $v$ értékig nő, akkor a munka, ami egyben megadja a mozgási energia nagyságát is: $\begin{array}{c}{\displaystyle W=E_{\text{mozgási}}=m{c}^2-m_0{c}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel igazoltuk, hogy a relativisztikus mozgási energiát valóban a cikk elején említett formula adja meg. Hasznos összefüggéshez jutunk, ha a mozgási energiát a sebesség helyett a relativisztikus impulzussal fejezzük ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\text{mozgási}}=\sqrt[]{{\left(m_0{c}^2\right)}^2+{\left(pc\right)}^2}-m_0{c}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ennek igazolását az Olvasóra bízzuk. Az elemi részecskék leírásakor mindazon esetekben, amikor a részecske sebessége megközelíti a fénysebességet, csak a relativisztikus képleteket szabad használnunk. Ez nem csupán a mechanikai tulajdonságok, a mozgások leírására igaz, hanem például a kvantumelméleti tárgyalásnál is érvényes. Így pl. a Heisenberg-féle határozatlansági relációt is bizonyos esetekben a relativisztikus impulzus-képlettel kell felírnunk.