Kezdőlap


Cím:	Arcképcsarnok: Turán Pál
Füzet:	1993/december, 457 - 459. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Turán Pál (1910‐1976). Rögtön a lap megindulásakor olvashatjuk nevét a megoldók közt. 1926-ban már közli a lap mintamegoldását. Több évben is megtaláljuk fényképét a legszorgalmasabb megoldók közt. Az alábbi mintamegoldása az 1928. évi májusi számban szerepel.

359. lgazoljuk a következő összefüggések helyességét:

\begin{matrix} 1^{\circ} . (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) (\binom{m}{1}) + (\binom{n}{k - 2}) (\binom{m}{2}) + \dots + (\binom{m}{k}) = (\binom{n + m}{k}) . \\ 2^{\circ} . (\binom{n}{2 k}) - (\binom{n}{2 k - 1}) (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2 k - 2}) (\binom{n}{2}) + \dots + (\binom{n}{2 k}) = {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k}) . \end{matrix}

Megoldás.

1^{\circ}

. Kiindulunk az

{(1 + x)}^{n} {(1 + x)}^{m} \equiv {(1 + x)}^{m + n}

azonosságból. Mindkét oldalon Newton binomiális tétele szerint kifejtve, keressük meg

x^{k}

együtthatóját.

x^{k}

tagot a baloldalon úgy nyerjük, hogy az

{(1 + x)}^{n}

kifejtésében

(\binom{n}{k}) x^{k}, (\binom{n}{k - 1}) x^{k - 1}, (\binom{n}{k - 2}) x^{k - 2}, ... (\binom{n}{1}) x, (\binom{n}{0}) x^{0}

tagokat szorozzuk rendre az

\begin{matrix} {(1 + x)}^{m} kifejtésében (\binom{m}{0}) x^{0}, (\binom{m}{1}) x, (\binom{m}{2}) x^{2}, ... (\binom{m}{k - 1}) x^{k - 1}, (\binom{m}{k}) x^{k} \end{matrix}

tagokkal. Így a baloldalon

x^{k}

együtthatója :

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) (\binom{m}{1}) + (\binom{n}{k - 2}) (\binom{m}{2}) + ... + (\binom{n}{1}) (\binom{m}{k - 1}) + (\binom{m}{k}) . \end{matrix}

A jobboldalon

x^{k}

együtthatója:

(\binom{m + n}{k})

. Ezen két együttható egyenlő tartozik lenni.

2^{\circ} . {(1 + x)}^{n} {(1 - x)}^{n} \equiv {(1 - x^{2})}^{n} .

Keressük meg mindkét oldalon

{(x^{2})}^{k}

együtthatóját. A jobboldalon ez nyilván:

{(- 1)}^{k} (\binom{n}{k}) .

A baloldalon

x^{2 k}

-t tartalmazó tagokat nyerünk, ha

\begin{matrix} {(1 + x)}^{n} kifejtésében (\binom{n}{2 k}) x^{2 k}, (\binom{n}{2 k - 1}) x^{2 k - 1}, (\binom{n}{2 k - 2}) x^{2 k - 2}, ... (\binom{n}{1}) x, (\binom{n}{0}) x^{0} \end{matrix}

tagokat szorozzuk rendre az

{(1 - x)}^{n}

kifejtésében fellépő

\begin{matrix} (\binom{n}{0}) x^{0}, - (\binom{n}{1}) x, (\binom{n}{2}) x^{2}, ... - (\binom{n}{2 k - 1}) x^{2 k - 1}, (\binom{n}{2 k}) x^{2 k} \end{matrix}

tagokkal. Ilyen módon

x^{2 k}

együthatója a baloldalon:

\begin{matrix} (\binom{n}{2 k}) - (\binom{n}{2 k - 1}) (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2 k - 2}) (\binom{n}{2}) - ... - (\binom{n}{1}) (\binom{n}{2 k - 1}) + (\binom{n}{2 k}) = {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k}) . \end{matrix}

Turán Pál (Madách Imre gimn. VIII. o. Bp.)

Megoldották: Feldheim E., Hajós Gy., Molnár L., Papp L., Szmodics Z.
Részben: Wachsberger Márta.

Turán Pál sokoldalú, fiatal kutatók seregét nevelő matematikus volt. Már egyetemista korában részt vett a lap szerkesztésében, feladatokat tűzött ki, cikkei jelentek meg. A lapban megjelent cikkei: Az egész számok bizonyos sorozatairól. Bizonyos típusú szélsőérték feladatok. Egy különös életút: Ramanujan.
Ezeket olvasva érezhetjük, hogy mennyivel többet, fontosabbat közölt, mint csupán matematikai ismereteket. Előadásaiban is az volt jellemző, hogy megmutatta a megoldáskeresés fáradságos, de izgalmas útját. A születő matematikába vezetett be, matematikai gondolkodásmódra nevelt.
Sokirányú kutatómunkája nyomán a matematika számos területén alakultak ki új kutatási irányok. Fő érdeklődési területe a számelmélet, és az analízis különböző fejezetei. A prímszámok szeszélyesen ritkuló, sűrűsödő sorozatának vizsgálatához kidolgozott egy módszert, amelynek a matematika számos más területén is van alkalmazása. 1941-ben egy dolgozatában a következő probléma szemléletes megfogalmazása egy speciális esetben így szólt: 30 repülőtér közt hány különböző járat esetén lehetünk biztosak abban, hogy van 10 állomás, amelyek mindegyikéről mindegyikbe visz közvetlen járat? Ez a dolgozata a gráfelméletben vált egy ma erősen fejlődő kutatási irány, az extremális gráfelmélet, kiindulópontjává.
A budapesti Eötvös Loránd Tudományegyetem tanszékvezető egyetemi tanára volt. A Magyar Tudományos Akadémia tagjai közé választotta, munkásságának elismeréséül Kossuth díjat kapott.
Felesége, T. Sós Vera is matematikus (akadémikus), az MTA Matematikai Kutatóintézetének munkatársa. Diákkorában szintén szorgalmas megoldója volt a lapnak.
Két fiúk: Turán György matematikus és Turán Tamás matematikus-filozófus is eredményes megoldói voltak a lapnak.