Kezdőlap


Cím:	Arcképcsarnok: Klein Eszter
Füzet:	1993/december, 451 - 453. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Klein Eszter a lap egyik legszorgalmasabb megoldója volt. Egyetemista korában már feladatokat javasol megoldásra. Középiskolai tanárként több cikke jelent meg. Egyik a lapban megjelent megoldása 1925-ből.

25. Adva van három, adott O ponton átmenő egyenes és egyiken A pont. Mutassuk meg, hogy létezik oly háromszög, melynek egyik csúcsa A és az adott egyenesek

1^{\circ}

a háromszög magasságvonalai (egy eset kivételével) ;

2^{\circ}

a háromszög oldalfelezői

3^{\circ}

a háromszög belső szögfelezői (egy eset kivételével).
Megoldás.

1^{\circ}

Legyen a három egyenes, mely

O

ponton keresztülmegy,

m_{1}, m_{2}, m_{3}

. A pont feküdjék

m_{1}

-en. Ha

A

-ból merőlegest bocsátunk

m_{2}

-re és

m_{3}

-ra, akkor az előbbi metszéspontja

m_{3}

-mal a keresett háromszög C csúcsa, az utóbbi metszéspontja

m_{2}

-vel lesz a keresett háromszög B csúcsa. Minthogy

m_{2} ⊥ A C és m_{3} ⊥ A B,

egyszersmind

A O ⊥ B C .

Nem kapunk háromszöget, ha

m_{2}

és

m_{3}

egymásra merőlegesek !

2^{\circ}

Az oldalfelezők ‐

t_{1}, t_{2}, t_{3}

‐ metszéspontja az oldalfelezőt

2 : 1

arányban osztja; ha BC oldal felezőpontja

A_{1}

, akkor

A O = 2 O A_{1}

. Hosszabbítsuk meg

O A_{1}

-t önmagával, tehát

O A_{2} = A O .

A_{2}

-t összekötjük

B

-vel és

C

-vel,

O B A_{2} C

idom parallelogramma lesz, átlói felezik egymást. Ha tehát

A O

egyenesen felmérjük

O A_{2}

-t úgy, hogy

O A_{2} = A O

és

A_{2}

-ből párhuzamost vonunk

t_{2}

-vel és

t_{3}

-mal, akkor az előbbi

t_{3}

-t

C

-ben, utóbbi

t_{2}

-t

B

-ben metszi.

A B C

az a háromszög, mely a feltételeknek megfelel. Minthogy

O B A_{2} C

parallelogramma

O A_{1} = A_{1} A_{2}

és

B A_{1} = A_{1} C;

tehát

A O = 2 O A_{1} és A_{1}

felezi

B C

-t. Ebből következik, hogy

O

tényleg az

A B C ▵

oldalfelezőinek metszéspontja.

3^{\circ}

Vegyük fel

A B C

háromszögben a 3 szögfelezőt;

g_{1}, g_{2}, g_{3} .

Közös pontjuk

O

. Könnyen látható, hogy

B O C ∢ = 90^{\circ} + \frac{α}{2}, A O B ∢ = 90^{\circ} + \frac{γ}{2}, A O C ∢ = 90^{\circ} + \frac{β}{2}

. Emeljünk

O

pontban

B O

-ra és

C O

-ra merőlegest. Előbbi

O C

-vel

\frac{α}{2}

, utóbbi

O B

-vel

\frac{α}{2}

szöget zár be (előbbi

g_{1}

-el

\frac{γ}{2}

, utóbbi

\frac{β}{2}

szöget zár be).

Ha már most a

g_{1}, g_{2}, g_{3}

egyenesek vannak adva és

g_{1} - en

A

csúcs,

A O

-tól jobbra és balra lemérjük

\frac{α}{2}

-t melyet úgy kapunk, hogy a

g_{2}

és

g_{3}

egyenesek által alkotott tompaszögből

90^{\circ}

-ot vonunk ki az előbb jellemzett módon. Ezen szögek szárai

g_{2}

-t

B

-ben,

g_{3}

-t

C

-ben metszik. Ki kell mutatnunk, hogy

A B C ▵

-ben

B O

és

C O

is szögfelezők. Ha t. i.

B O

és

C O

nem volnának szögfelezők,

β

és

γ

szögek felezői

A O

-t nem

O

pontban, hanem egy másik

O^{'}

pontban kell, hogy messék. De akkor

A O^{'} B

szög

≶ 90^{\circ} + \frac{α}{2}

a szerint, amint

O^{'}

A O

egyenesen

O

-hoz viszonyítva közelebb vagy távolabb fekszik

B C

-től ; az ellentmondás csak akkor szűnik meg, ha

O^{'}

O

-ba esik.
Nem létezhetik

A B C ▵,

ha a 3 egyenes közül kettő egymásra merőleges, vagy ha

g_{1}

g_{2}

és

g_{3}

által alkotott hegyesszögű síkrészt hasítja.
Klein Eszter (izr. leánygimn. V. o. Bp.).

A lappal kapcsolatos emlékeiről így ír:
"1925-ben történt, mikor szeretett és lelkes tanárom, Rieger Richárd, behozta az osztályba a Faragó Andor által éppen akkor felélesztett Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok első példányát. Attól kezdve a legfontosabb ténykedésem az volt, hogy megoldjam a matematika feladatokat, amennyit csak bírtam. Ezt a lelkesedésemet megosztottam legjobb barátommal Wachsberger Mártával, akivel nagyon barátságos, de nagyon kemény versenyben álltunk. Ezek a tapasztalatok alapozták meg mindkettőnk hivatásválasztását. Mind Márta, mind én matematikát és fizikát tanultunk a Pázmány Péter Tudományegyetemen, ahol egy csomó olyan emberrel találkoztunk, akiknek a neve és fényképe már ismert volt a lapból. Ez volt a kezdete a Turán Pál, Erdős Pál, Gallai (Grünwald) Tibor, Szekeres Györggyel kötött életreszóló barátságnak. Szekeres Györgynek később felesége lettem. A háború után Ausztráliában Adelaide-ben újra találkoztam Mártával és férjével. Márta is, és én is először középiskolában tanítottunk, majd néhány évvel később az egyetemen kezdtünk el matematikát tanítani. 1963-ban Sydney-be költöztünk férjemmel együtt és ott folytattam az egyetemen a tanítást 1980-ig.
Ezen évek alatt próbáltunk egy KöMaL-hoz hasonló lapot indítani Ausztráliában. Mostanára már született is néhány hasonló folyóirat, de a diákok részvétele sajnálatos módon igen alacsony, noha itt is nagy erőfeszítések folynak a matematikai tehetségek gondozására. Nyugdíjba menetelem után néhány érdeklődő kollégával együtt indítottunk egy különleges matematika osztályt. Ez a diákoknak egy önkéntes gyülekezete, hetenként egy alkalomra, amikor különböző problémákat, feladatokat kapnak kidolgozásra. Jelenleg már több ilyen csoport is működik szerte Ausztráliában. Az én feladatom geometriai problémákkal ellátni őket. Ez volt az én kedvenc témám diákkoromban is. Nagy szükség is van Ausztráliában a geometriai ismeretek gazdagítására, mert évekig elhanyagolt területe volt az iskoláknak. Gyakran kerestem ötleteket a KöMaL legfrissebben megjelent példányaiban, amit még ma is nagy figyelemmel kísérek.
A tehetséges diákokkal való foglalkozásomért 1990-ben tiszteletbeli doktori címet kaptam. Úgy érzem ez egyenes következménye volt a Lapokban végzett feladatmegoldó munkásságomnak.
Kívánok hasonló sikereket a következő 100 esztendőre.''
Klein Eszter