Kezdőlap


Cím:	Erdős Pál feladatai
Füzet:	1993/december, 444. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A lap jubileuma alkalmából Bakos Tibor a következő megoldatlan problémákat bocsátotta rendelkezésünkre.

1. Egy általános háromszög tetszőleges belső pontjára tekintsük a pontnak a csúcsoktól való

a_{1}

a_{2}

a_{3}

távolságainak összegét, és az oldalaktól való

x

y

z

távolságainak összegét. Mikor van az

\begin{matrix} \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3}}{x + y + z} \end{matrix}

hányadosnak minimuma?

2. Van

n

pont a síkban, közülük semelyik 3 nincs egy egyenesen. Maximálisan hányszor fordulhat elő köztük az egységnyi távolság? Adjon alsó és felső becslést.
(Alsó becslés

c n log n

)
Erdős‐Purdy közös cikkéből.

3. Bizonyítsa be, hogy

\begin{matrix} \sum \frac{1}{n! - 1} \end{matrix}

irracionális.

4. Van a síkban egy konvex

n

-szög. Tekintsük a pontok közti távolságokat, és írjuk fel, hogy egy távolság hányszor fordul elő, jelölje ezeket

s_{1}, s_{2}, ...

\sum s_{i} = (\binom{n}{2}) .

Bizonyítsuk be, hogy konvex sokszög esetén

\begin{matrix} \sum s_{i}^{2} < c n^{3}, \end{matrix}

ahol

c

egy konstans.

n > 8

esetén az összeg szabályos

n

-szögre a legnagyobb.
Erdős és Fishburn problémája

5. Igaz-e, hogy egy konvex

n

-szögben mindig van olyan csúcs, amelytől nincs 4 csúcs egyenlő távolságra? (3-ra adható ellenpélda.)

Aki a problémákra megoldást talál, küldje dolgozatát a következő címre: Erdős Pál MTA Kutatóintézet, 1053 Bp. Reáltanoda u. 13.