A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Amennyiben a két adott pont a háromszög a) alapjának két végpontja, úgy a harmadik csúcs az adott szakasz felező merőlegesén van, kivéve a szakasz felezőpontját, így
| |
b) egyik szárának két végpontja, akkor az egyiküktől a másik távolságában lévő pontok és csak ezek jöhetnek szóba, tehát
| | vagy
| |
2. Az természetes számok. Az természetes számra
| |
Az egyetlen pozitív egész megoldás , így tehát az első három elem összege 14.
3. Mivel felezi a szárak -os szögét, azért , továbbá , így az háromszögben miatt és .
A háromszög szögei szintén illetve nagyságúak, ezért A háromszög oldalai így: | | és | | a kerülete és területe az előzőek szerint | | és | |
4. Az egyenletrendszer pontosan akkor értelmezhető, ha x és y egyaránt 1-től különböző pozitív számok. Az első egyenlet, alapján vagy azaz vagy . Ezeket a második egyenletbe helyettesítve ‐ egyúttal figyelemmel és pozitív előjelére, ‐ kapjuk, hogy i) , szorzattá alakítva vagy Az első érték nem felel meg az eredeti kikötésünknek, a második alapján illetve ii) , másképpen (mivel a második tényező biztosan pozitív). Ezen az ágon tehát nem kaptunk megoldást. Az egyenletrendszer egyetlen megoldása tehát az pár.
5. Mivel azért -nek illeszkednie kell az szakasz felező merőlegesére, amellyel az eredeti háromszöget az és ‐ szintén egyenlő szárú derékszögű ‐ háromszögekre oszthatjuk.
Legyen i) Ha a háromszögön belül van, akkor Pitagorasz tétele szerint azaz így , a háromszög területe területegység. ii) Amennyiben a szakaszfelező merőleges -n túli meghosszabbításán van, úgy az előzőek mintájára , vagyis , így a terület is . iii) nem lehet az egyenes -en túli meghosszabbításán, mivel akkor az háromszögben az hosszú oldallal szemben -os, míg a oldallal szemben egy -osnál nagyobb szög volna, ami nem lehetséges.
6. Az adott kifejezés értelmezhetőségének szükséges és elégséges feltétele, hogy
Az egyes feltételeket külön-külön vizsgálva: i) ami éppen akkor nemnegatív, ha ii) , akkor és csak akkor pozitív, ha iii) , tehát nem lehet sem , sem Összefoglalva ‐ például a számegyenesen történő ábrázolással ‐
7. Legyen az egysíkú és egyenesek metszéspontja . Ekkor ‐ mivel a felezőpontja ‐ az és háromszögek egybevágósága miatt
Összekötve az síkban lévő és pontokat, ez az egyenes a szakaszt annak felezőpontjában metszi. Ez a pont szintén eleme a metsző síknak, tehát az a kockából az egyenlő szárú trapézt metszi ki, egyúttal az csonkagúlát vágja le, ennek térfogata az gúla térfogatának -része, vagyis ‐ a kocka élét egységnyinek választva: így a maradék test térfogata , tehát:
8. a) Igazoljuk először, hogy minden konvex négyszögben , ahol és az átlók által létrehozott háromszögek területét jelölik. Például a trigonometrikus területképlettel
b) Mivel feladatunkban a négyszög egészének területéről kell mondanunk valamit, keressünk kapcsolatot a és mennyiségek összege (a teljes terület) és szorzataik (ezek közül két egyenlő adott) között. A ‐ számtani és mértani középre vonatkozó ‐ Cauchy-egyenlőtlenség szerint az és nemnegatív számokra , kis átrendezéssel Esetünkben ez azt jelenti, hogy
| | ezért a négyszög területe legalább 2 egység. c) Egy adott körbe írható négyszögek területe nyilván nem lehet tetszőlegesen nagy, a maximális területtel közülük a négyzet rendelkezik. Ez belátható ‐ többek között ‐ úgy, hogy a négyszög két szemközti csúcsát rögzítettnek gondolva, a másik kettőt az ívfelező pontokba ‐ tehát egy átmérő két végpontjába ‐ mozgatva a terület növekszik (biztosan nem csökken), majd a szemközti csúcsok szerepét megcserélve ismét nő. Ekkor az eredeti négyszögünket ‐ területét nem csökkentve ‐ négyzetté alakítottuk, annak területe tehát bármely más négyszögét meghaladja. Feladatunkban egy egységnyi sugarú körbe írtunk négyszöget. Az előzőek szerint tehát ennek területe nem lehet nagyobb, mint a körbe írható négyzet területe, azaz 2 területegység. A b) és c)-beli eredményeink alapján állíthatjuk, hogy a vizsgált négyszög területe 2 egység. |