Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok az 1992. decemberi szám mérőlapjához
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1993/január, 10 - 11. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az egyenletnek $x = 1$ és $x = \frac{- 1}{3}$ kivételével minden valós számra van értelme. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a $(3 x + 1) (x - 1)$ kifejezéssel, majd rendezzük az egyenletet. Az így kapott $17 x^{2} + 5 x - 22 = 0$ egyenlet $x_{1} = 1$ gyöke az adott egyenletnek nem megoldása, míg az $x_{2} = \frac{- 22}{17}$ az adott egyenlet egyetlen megoldása.
2. Alkalmazhatjuk a $cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1$ , illetve a $cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α$ azonosságokat. Ekkor az adott kifejezés

\begin{matrix} \sqrt[]{{(2 cos^{2} α - 3)}^{2}} + \sqrt[]{{(2 sin^{2} α - 3)}^{2}} = | 2 cos^{2} α - 3 | + | 2 sin^{2} α - 3 | \end{matrix}

alakban írható. Mivel

2 cos^{2} α - 3 < 0

és

2 sin^{2} α - 3 < 0

, ezért az adott kifejezés

\begin{matrix} (3 - 2 cos^{2} α) + (3 - 2 sin^{2} α) = 4. \end{matrix}

A kifejezés értéke minden valós a esetén 4.
3. A rendezéssel kapott

x^{2} + (5 - m) x + 4 > 0

egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül, ha a másodfokú polinom diszkriminánsa negatív, azaz

D = {(5 - m)}^{2} - 16 < 0

. Ez

1 < m < 9

esetén igaz.
4. Legyen a

B

pont ordinátája

h

, azaz

B (0, h)

. Az

\vec{A B} (6, h)

és a

\vec{C B} (- 1, h + 1)

merőleges vektorok, tehát skaláris szorzatuk

0

\begin{matrix} - 6 + h (h + 1) = 0, h_{1} = 2, h_{2} = - 3. \end{matrix}

B_{1} (0; 2)

, akkor

D_{1} (- 5; - 3)

, ha

B_{2} (0; - 3)

, akkor

D_{2} (- 5; 2)

.
5. A feltétel szerint

5 a_{n} = S_{n - 1}

, azaz

\begin{matrix} 5 \cdot (12 + (n - 1) (- 2)) = \frac{n - 1}{2} (24 + (n - 2) (- 2)), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} n^{2} - 25 n + 84 = 0, n = 4 vagy n = 21. \end{matrix}

Így

a_{4} = 6

, és ekkor valóban

S_{3} = 30 = 5 \cdot 6

vagy

a_{21} = - 28

, és ekkor

S_{20} = - 140 = 5 \cdot (- 28)

.
6. a) Ha a havi kamatláb

p

, akkor

\begin{matrix} {(1 + \frac{p}{100})}^{12} = 1,3, q = 1 + \frac{p}{100} = \sqrt[12]{1,3} = 1,022104, p = 2,21. \end{matrix}

b) Az első hónap elején elhelyezett

2000 Ft

értéke a 24. hónap végén

2000 \cdot q^{24}

, a második hónap elején elhelyezett

2000 Ft

értéke a 24. hónap végén

2000 \cdot q^{23}, ...,

18

. hónap elején elhelyezett

2000 Ft

értéke a 24. hónap végén

2000 \cdot q^{7}

.
A 24. hónap végén összesen

\begin{matrix} 2000 \cdot q^{24} + 2000 \cdot q^{23} + ... + 2000 \cdot q^{7} = 2000 \cdot q^{7} \cdot \frac{q^{18} - 1}{q - 1}, \end{matrix}

azaz

50847

forintunk lesz.
7. A

tg (x + \frac{3 π}{4}) = \frac{tg x - 1}{1 + tg x}

és a

tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}

azonosságok alkalmazásával az egyenlet értelmezési tartománya

(x \neq \frac{π}{4} + n \frac{π}{2}, n \in Z)

szűkül,

x = \frac{π}{2} + k π

-vel,

k \in Z

.
Ha

x_{k} = \frac{π}{2} + k π

, akkor mindkét oldal helyettesítési értéke

1

, így ezek megoldások. Ha

x \neq \frac{π}{2} + k π

, akkor a kapott

\begin{matrix} \frac{tg x - 1}{tg x + 1} = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x} + 1 \end{matrix}

egyenletnek nincs megoldása.
Az egyenlet megoldásai az

x_{k} = \frac{π}{2} + k π, k \in Z

számok. Az egyenlet más módon is megoldható. Hogyan?
8. Mivel

x > 0, y > 0

és

x + y = 1

, ezért

\begin{matrix} \frac{x + y}{2} ⩾ \sqrt[]{x y}, 1 ⩾ 2 \sqrt[]{x y}, 1 ⩾ 4 x y, \frac{1}{2} ⩾ 2 x y, \frac{1}{x y} ⩾ 4, \frac{1}{x^{2} y^{2}} ⩾ 16 \end{matrix}

és

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y = 1 - 2 x y ⩾ \frac{1}{2} . \end{matrix}

Ezek alkalmazásával

\begin{matrix} {(x + \frac{1}{x})}^{2} + {(y + \frac{1}{y})}^{2} = x^{2} + y^{2} + 4 + \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} y^{2}} ⩾ \frac{1}{2} + 4 + 16 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{2} . \end{matrix}

A két kifejezés akkor egyenlő,ha

\frac{x + y}{2} = \sqrt[]{x y}

, azaz ha

y = \frac{1}{2}