Cím: Az 1992-93. tanévi Országos Matematikai Középiskolai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet: 1993/november, 373 - 377. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1992‐93 tanévi Országos Középiskolai
Tanulmányi Verseny matematika feladatai *
 

Első (iskolai) forduló
I. kategória
 

1. Egy háromjegyű természetes szám számjegyeivel kétféleképpen képeztünk egy-egy új háromjegyű számot. Először az első számjegyet az eredeti szám harmadik számjegye mögé írtuk, másodszor pedig az eredeti számban felcseréltük az első és a harmadik számjegyet. Az első esetben az eredeti számnál 225-tel, másodszor pedig 495-tel kisebb számot kaptunk. Mi lehetett az eredeti (tízes számrendszerbeli) szám?
 

2. Határozzuk meg k értékét, ha a,b pozitív valós számok, a≠1 és b≠1, valamint
k2+loga2b+logb2a=4logab-2klogba-4
teljesül!
 

3. Egy a oldalhosszúságú négyzet egyik csúcsa A. Az AB oldal A-tól p távolságra lévő pontja P(p<a/2). P-ből érintőt húzunk a négyzet beírt köréhez. Ez az érintő A-tól milyen távolságra metszi az AD oldalt?
 

4. Legyen A=n5-5n3+4n+1, ahol n természetes szám. Igazoljuk, hogy bármely n esetén az A szám ugyanarra a számjegyre végződik!
 

5. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög oldalhosszúságai akkor és csak akkor alkotnak számtani sorozatot, ha a háromszögnek van olyan magasságvonala, amelynek a háromszögbe eső szakasza háromszor akkora, mint a háromszögbe írható kör sugara!
 

6. Tekintsük azokat a háromszögeket, amelyekben α=120∘. Ezek közül melyekben a legnagyobb a másik két szög (β és γ) tangensének a szorzata? Határozzuk meg a szorzat maximumát!
 

II. kategória
 

1. Hány éves lesz 1992 Szilveszter napján az a XX. században született ember, akinek születési évszáma három köbszám összege, és ugyanakkor egy 1-nél nagyobb köbszám többszöröse?
 

2. Az ABCD téglalap AB oldalának felezőpontja F1, az AD oldalé F2. Milyen arányban osztják egymást a DF1 és CF2 szakaszok?
3. Jelöljük P-vel az ABC hegyesszögű háromszög A csúcsának a háromszög köré írt kör O középpontjára vonatkozó tükörképét. A kör P pontbeli érintője az AB oldalegyenest X-ben, az AC oldalegyenest Y-ban metszi. Bizonyítsuk be, hogy a B,C,Y,X pontok egy körön vannak!
 

4. Bizonyítsuk be, hogy ha egy koordináta-rendszerben bármely P(x;y) ponthoz a P'(x-y+1;x+y-1) pontot rendeljük hozzá, akkor ez a transzformáció hasonlóság.
 

5. Bizonyítsuk be, hogy ha x és y 1-nél nagyobb valós számok, akkor

x2y-1+y2x-1⩾8.


Milyen esetben teljesül az egyenlőség?
 

III. Kategória
 

1. Adjuk meg az összes olyan t>1 egészet és k>0 páratlan számot, amelyre 1k+2k+3k+...+tk prímszám.
 

2. Adott a térben négy nem egy síkban fekvő pont. Hány olyan sík van, amelytől mind a négy pont egyenlő távol van?
 

3. Mely p prímszámok esetén lesz (2p-1-1)/p négyzetszám?
 

4. Tegyük fel, hogy egy konvex nyolcszögben minden szög egyenlő, és bármely két oldal hosszának aránya racionális szám. Mutassuk meg, hogy a nyolcszög középpontosan szimmetrikus.
 

5. Az asztalra kiteszünk páratlan számú, de 1-nél több gyufaszálat. Ketten felváltva vesznek el ebből gyufákat azzal a megkötéssel, hogy minden egyes lépésben legalább egy gyufát el kell venni, és sohasem szabad egyszerre az eredeti gyufaszám felénél többet elvenni. Amikor elfogynak a gyufák, akkor megszámoljuk, kihez hány gyufaszál került. A játékot az nyeri, akinél ekkor páros sok gyufa van. Melyik játékosnak van nyerő stratégiája?
 

A verseny második fordulójának feladatai
 

I. kategória
 

1. Az a valós paraméter mely értékei mellett van a
x-x-a=2
egyenletnek megoldása a valós számok halmazán?
 

2. Oldjuk meg a következő egyenletet:
2cos2x+cos6x+cos10x=2cos2x-1.

3. Egy egységsugarú körbe négyzetet írunk, amelynek a csúcsai az A,B,C,D pontok. A kör kisebbik AB ívén úgy veszünk fel egy E pontot, hogy az AEB háromszög területe a négyzet területének 1/10-e legyen.
Határozzuk meg az EAB szög tangensének a pontos értékét!
 

4. Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenletrendszert:

x+y+z=3x3+y3+z3=3.



5. A k körvonalat az AB húr két körívre osztja. Az egyik íven adott 12 pont: P1,P2,P3,...,P12 úgy, hogy P1 az A és P2 között, P2 a P1 és P3 között, és így tovább, P12 a P11 és B között van.
A másik íven határozzuk meg azt a P pontot, amelyre a PP1P2,PP2P3, PP3P4,...,PP11P12 háromszögek területének összege maximális! Hogyan szerkeszthetnénk meg a feltételeknek megfelelő P pontot?
 

II. kategória
 

1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
8x+27x12x+18x=76

2. Hány olyan 1993-nál kisebb pozitív egész n szám van, amelyre
1n+2n+3n+4n osztható 30-cal?
 

3. Tekintsük a k körbe írt olyan háromszögeket, amelyeknek egyik csúcsa a kör egy rögzített C pontja, a C-vel szemközti oldal pedig állandó c hosszúságú; c kisebb k átmérőjénél.
Határozzuk meg az összes ilyen háromszög magasságpontjának a halmazát (mértani helyét)!
 

4. Egy osztály tanulói egymás után kimennek a táblához; az első ráír az üres táblára egy 2-est; a táblához érkező minden további tanuló összeadja a táblán lévő számok négyzetét, ehhez hozzáadja a táblán lévő számok számát, és ezt az összeget felírja a táblára (a táblán tehát rendre a 2,5,31,993,... számok jelennek meg).
Bizonyítsuk be, hogy a táblára nem kerül négyzetszám.
 

III. kategória
 

Döntő
 

1. A természetes számok mindegyikét kiszínezzük 1993 szín valamelyikével úgy, hogy mindegyik szín végtelen sokszor előforduljon. Igaz-e, hogy bármely ilyen színezés esetén keletkezik olyan háromtagú számtani sorozat, amelynek mind a három tagja különböző színű?
 

2. Tegyük fel, hogy egy körben két egyenlő hosszúságú húr, amelyek egyik végpontja közös, α szöget zár be egymással. Van-e α-nak olyan értéke, hogy a körben egynél több olyan húr létezik, amelyet az adott húrok három egyenlő részre osztanak?
 

3. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész felírható olyan pozitív egészek összegeként, amelyek egyikének sincs 3-nál nagyobb prímosztója, és egyik tag sem osztója valamelyik másiknak. (A tagok számára nincs megkötés, az ,,egytagú összeg'' is megengedett.)
 

A verseny harmadik fordulójának feladatai
 

I. kategória
 

Döntő
 

1. Oldja meg az

x3+y3=35;1x+1y=56


egyenletrendszert a valós számok halmazán!
 

2. Bizonyítsuk be, hogy ha a,b,p,q,r,s pozitív egész számok,
és qr-sp=1,
és p/q<a/b<r/s,
akkor
b⩾s+q.
Adjon meg hat olyan pozitív egész számot, amelyek a feladat feltételeit kielégítik!
 

3. Egy 2 egység oldalú szabályos háromszöget a súlypontján áthaladó egyenessel két részre osztunk. Milyen két érték között változik a részek területének az aránya?
 

II. kategória
 

Döntő
 

1. Jelentsen p pozitív számot. Határozzuk meg adott p esetén azt a legnagyobb C valós számot, amely mellett az
x2+y2+pxy⩾C(x+y)2
egyenlőtlenség minden nemnegatív x,y értékpárra teljesül.
 

2. Egy háromszög belsejében helyezzünk el három olyan kört, amelyek érintik a háromszög két-két oldalát, továbbá kívülről érintik a háromszög beírt körét. Bizonyítsuk be, hogy a három kis kör sugarának az összege nem kisebb a beírt kör sugaránál. Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be a feladat tetraéderre vonatkozó általánosítását, amelyben a beírt köröknek a tetraéder lapjait érintő gömbök felelnek meg.
 

3. n számú játékos (n⩾2) a következő szabály szerint játszik: minden játszmában egy vesztes van, aki pedig veszít, az megduplázza a többiek pénzét. A játék kezdetekor ‐ forintban kifejezve ‐ mindenkinek pozitív egész értékű pénze volt, és ezeknek az összege a játék folyamán nem változott meg. Összesen n játszmát játszottak, és mindegyik játékos pontosan egyszer veszített. Az n-edik játszma befejezése után minden játékosnak q forintja volt.
Bizonyítsuk be, hogy q⩾2n.
Adjunk példát arra, hogy az egyes játékosok mekkora pénzösszeggel rendelkezhettek a játék kezdetén.
*Az OKTV-n a középiskolák III.‐ IV. osztályos tanulóit három kategóriába sorolják:
I. kategória: a szakközépiskolák tanulói;
II. kategória: a gimnáziumi tanulók, kivéve azokat, akik a matematikát speciális tanterv szerint tanulják;
III. kategória: a gimnáziumok speciális matematika osztályainak tanulói.