Kezdőlap


Cím:	Sorminták és egybevágósági transzformációk
Szerző(k):	Pálffy Péter Pál
Füzet:	1993/április, 145 - 151. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sík egybevágóságaival fogunk foglalkozni. Ezek közé tartoznak az eltolások, a forgatások, a tengelyes tükrözések. A sík egy egybevágósági transzformációján egy olyan $f$ leképezést (függvényt) értünk, amelynek értelmezési tartománya a sík pontjainak halmaza, és értékkészlete is ugyanezen sík pontjainak halmaza, továbbá tetszőleges $P, Q$ pontpárra $f (P)$ és $f (Q)$ távolsága megegyezik $P$ és $Q$ távolságával. Hangsúlyozom, hogy egy egybevágósági transzformáció meghatározásához csak arra van szükség, hogy minden pontnak megadjuk a képét; azt az utat, ahogyan $P$ -ből $f (P)$ -be jutunk, csak a leképezés szemléltetéséhez használjuk. Az ismert egybevágósági transzformációkat a következőképpen fogjuk jelölni: a $v$ vektorral való eltolást $e_{v}$ -vel, az $O$ pont körüli $α$ szögű irányított forgatást, $f_{O, α}$ -val, az $e$ egyenesre való tükrözést $t_{e}$ -vel.

1. ábra

Az egybevágóságok közé számítjuk a helybenhagyást (identikus függvényt), amelyre

i (P) = P

, minden

P

pontra. Meg kell említenünk az egybevágósági transzformációknak még egy, kevésbé ismert fajtáját. Ez az úgynevezett csúsztatva tükrözés. Legyen

e

egy egyenes,

v

pedig egy

e

-ben fekvő vektor. Ekkor a

c_{e, v}

-vel jelölt transzformáció egy

P

ponthoz az

e

-re vonatkozó tükörképének

v

-vel való eltoltját rendeli hozzá (2. ábra).

2. ábra

Ahogyan a tengelyes tükrözést szokás úgy szemléltetni, hogy az tulajdonképpen az

e

tengely körüli

180^{\circ}

-os térbeli forgatás, a csúsztatva tükrözést is elképzelhetjük úgy, hogy az egy csavarmenetes tengely körüli térbeli forgatást jelent: miközben végrehajtjuk a

180^{\circ}

-os forgatást, a tengely

v

-vel előrehalad.
Minden egybevágósági transzformációnak van inverze, azaz olyan egybevágósági transzformáció, ami

f (P)

-hez

P

-t rendeli hozzá. Ezt a transzformációt

f^{- 1}

-gyel jelöljük. Világos, hogy

e_{v}

inverze a

-v

vektorral való eltolás, tehát

e_{v}^{- 1} = e_{- v}

továbbá

f_{O, α}^{- 1} = f_{O, 360^{\circ} - α}

t_{e}^{- 1} = t_{e}, i^{- 1} = i

és

c_{e, v}^{- 1} = c_{e, - v}

3. ábra

Két egybevágósági transzformációt egymás után végrehajtva ismét egybevágósági transzformációt kapunk, hiszen mindkét leképezés megtartja a pontok távolságát. Az így keletkező egybevágósági transzformációt a két eredeti leképezés szorzatának nevezzük. Tehát a

g_{1}

és

g_{2}

egybevágósági transzformációk szorzata az a

g_{2} g_{1}

-gyel jelölt leképezés, amelyre

(g_{2} g_{1}) (P) = g_{2} (g_{1} (P))

. Nyilvánvalóan

e_{u} e_{v} = e_{u + v}

(3. ábra),

f_{O, α} f_{O, β} = f_{O, α + β}

, (illetve

f_{O, α + β - 360^{\circ}}

, ha

α + β ≧ 360^{\circ}

).
Mielőtt továbbmennénk, vegyük észre, hogy három, nem egy egyenesen fekvő pont képe egyértelműen meghatározza az egybevágósági transzformációt, ugyanis

f (P)

távolsága

f (A)

-tól

\bar{P A}

f (B)

-től

\bar{P B}

, tehát

f (P)

f (A)

középpontú

\bar{P A}

sugarú és az

f (B)

középpontú

\bar{P B}

sugarú kör valamelyik metszéspontja (ill. érintési pontja, ha

P

A B

egyenesen fekszik). A két metszéspont szimmetrikus az

f (A) f (B)

egyenesre, így távolságuk az

f (C)

ponttól különböző, ezért az

\bar{f (P) f (C)} = \bar{P C}

feltétel egyértelműen kijelöli

f (P)

-t (4. ábra).

4. ábra

Most már könnyen meghatározhatjuk két tükrözés szorzatát is. Ha tengelyeik azonosak, azaz

e_{1} = e_{2}

, akkor

t_{e_{2}} t_{e_{1}} = i

. Ha

e_{1}

és

e_{2}

párhuzamosak, akkor

t_{e_{2}} t_{e_{1}} = e_{2 v}

, ahol

v

jelöli azt az

e_{1}

-re merőleges vektort, amely

e_{1}

-et

e_{2}

-be viszi. Ha

e_{1}

és

e_{2}

metsző egyenesek, akkor

t_{e_{2}} t_{e_{1}} = f_{O,2 α}

, ahol

O

jelöli

e_{1}

és

e_{2}

metszéspontját,

α

pedig az általuk bezárt szöget (

e_{1}

-tól

e_{2}

felé). Figyelembe véve, hogy három pont képe egyértelm

^

uen meghatározza az egybevágósági transzformációt, ezek az összefüggések könnyen leolvashatók az 5. ábrából.

5. ábra

A leképezések szorzására a következő összefüggések érvényesek:

\begin{matrix} f_{3} (f_{2} f_{1}) = (f_{3} f_{2}) f_{1} & (1) \\ i & f = f i = f & (2) \\ f^{- 1} f = f f^{- 1} = i . & (3) \end{matrix}

Az első összefüggést, a szorzás asszociativitását, a következőképpen láthatjuk be:

(f_{3} (f_{2} f_{1})) (P) = f_{3} ((f_{2} f_{1}) (P) = f_{3} (f_{2} (f_{1} (P))) = (f_{3} f_{2}) (f_{1} (P)) = ((f_{3} f_{2}) f_{1}) (P)

. A (2) és (3) összefüggés az identikus leképezés, illetve az inverz definíciójából nyilvánvaló. Megjegyezzük, hogy a leképezések szorzása általában nem kommutatív, például párhuzamos tengelyű tükrözések szorzatára

t_{e_{2}} t_{e_{1}} = e_{2 v}

, de

t_{e_{1}} t_{e_{2}} = e_{- 2 v}

6. ábra

Láttuk, hogy közös középpontú forgatások szorzata szintén forgatás, de vajon mi a helyzet, ha a két forgatás középpontja különböző? Vegyük tehát az

f_{0, α}

és

f_{N, β}

forgatásokat

(O \neq N)

. Írjuk fel

f_{O, α}

-t mint két

O

-n átmenő egyenesre vonatkozó tükrözés szorzatát. Az egyik egyenes irányát tetszőlegesen választhatjuk, a másodiknak ezzel

\frac{α}{2}

szöget kell bezárnia. Ugyanígy

f_{N, β}

-t is felírhatjuk mint két

N

-en átmenő, egymással

\frac{β}{2}

szöget bezáró egyenesre vonatkozó tükrözés szorzatát. Az egyik egyenes szabadon választható, vegyük ezt mindkétszer az

e_{2} = O N

egyenesnek. Ekkor

f_{O, α} = t_{e_{2}} t_{e_{1}}, f_{N, β} = t_{e_{3}} t_{e_{2}}

, tehát

f_{N, β} f_{O, α} = (t_{e_{3}} t_{e_{2}}) (t_{e_{2}} t_{e_{1}})

, ami az asszociativitást használva így alakítható:

= ((t_{e_{3}} t_{e_{2}}) t_{e_{2}}) t_{e_{1}} = (t_{e_{3}} (t_{e_{2}} t_{e_{2}})) t_{e_{1}}

. Itt

t_{e_{2}} t_{e_{2}} = i

, így (2) szerint

f_{N, β} f_{O, α} = (t_{e_{3}} i) t_{e_{1}} = t_{e_{3}} t_{e_{1}}

. Ha

e_{3}

és

e_{1}

párhuzamosak, akkor egy eltolást kapunk, ha metszők, akkor egy forgatást (6. ábra).
Hasonlóan számíthatjuk ki egy forgatás és egy eltolás szorzatát is.
Megmutatjuk, hogy minden egybevágósági transzformáció felírható két vagy három tükrözés szorzataként. Legyen

f

egy tetszőleges egybevágósági transzformáció és vegyünk három, nem egy egyenesen fekvő pontot, jelölje ezeket

A, B

és

C

. Legyen

A f (A)

szakasz felező merőlegese

e_{1}

, illetve ha

f (A) = A

, akkor legyen

e_{1}

tetszőleges, az

A

-n átmenő egyenes. Ekkor

t_{e_{1}} (A) = f (A)

, így

\bar{t_{e_{1}} (B) f (A)} = \bar{t_{e_{1}} (B) t_{e_{1}} (A)} = \bar{B A} = \bar{f (B) f (A)}

, tehát

t_{e_{1}} (B) f (B)

szakasz felező merőlegese,

e_{2}

, átmegy

f (A)

-n. (Ha

t_{e_{1}} (B) = f (B)

, akkor vegyük

e_{2}

-nek az

f (B) f (A)

egyenest.) Most

t_{e_{2}} t_{e_{1}} (A) = t_{e_{2}} (f (A)) = f (A)

és

t_{e_{2}} t_{e_{1}} (B) = f (B)

. Ha

t_{e_{2}} t_{e_{1}} = f (C)

is teljesül, akkor

t_{e_{2}} t_{e_{1}} = f

, hiszen az

A, B

és

C

pontok képei egyértelműen meghatározzák az egybevágósági transzformációt. Ha

t_{e_{2}} t_{e_{1}} (C) \neq f (C)

, akkor ezek a pontok egymásnak az

e_{3} = f (A) f (B)

egyenesre vonatkozó tükörképei, így az előzőhöz hasonló érveléssel

f = t_{e_{3}} t_{e_{2}} t_{e_{1}}

. (Az asszociatívitás miatt nem szükséges a szorzatot zárójeleznünk.) (7. ábra)

7. ábra

Két tükrözés szorzata - mint már láttuk - vagy az identitás vagy egy eltolás vagy egy forgatás, aszerint, hogy a tengelyeik megegyeznek, párhuzamosak vagy metszők. Nézzük meg, hogy milyen transzformációkat kaphatunk három tükrözés szorzataként. Ha az első kettő szorzata az

i

, akkor a szorzat egy tükrözés. Ha az első kettő szorzata az

e_{v}

eltolás, akkor két esetet kell megkülönböztetnünk. Amennyiben

v

merőleges az

e_{3}

tengelyre is, akkor

t_{e_{3}} (t_{e_{2}} t_{e_{1}}) = t_{e_{3}} (t_{e_{3}} t_{e_{4}}) = (t_{e_{3}} t_{e_{3}}) t_{e_{4}} = i t_{e_{4}} = t_{e_{4}}

, ahol az

e_{4}

tengelyt az

e_{3}

egyenest

- \frac{v}{2}

-vel eltolva nyerjük. Ha viszont

v

nem merőleges az

e_{3}

tengelyre, akkor

e_{2}

és

e_{3}

metszi egymást egy

O

pontban. Forgassuk el az

O

körül az

e_{2}

és

e_{3}

egyeneseket úgy, hogy közbezárt szögük ne változzon, és

e_{2}

elforgatottja,

e_{2}^{'}

, merőleges legyen

e_{1}

-re. Jelölje

e_{2}^{'}

és

e_{1}

metszéspontját

M

. Most

M

körül forgassuk el

e_{1}

-et és

e_{2}^{'}

-t úgy, hogy közbezárt szögük

(90^{\circ})

ne változzon, és

e_{2}^{'}

, elforgatottja

e_{2}^{''}

, párhuzamos legyen

e_{3}^{'}

-vel. Ekkor

t_{e_{3}} t_{e_{2}} = f_{O, α} = t_{e_{3}^{'}} t_{e_{2}^{'}}

, valamint

t_{e_{2}^{'}} t_{e_{1}} = f_{M, 180^{\circ}} = t_{e_{2}^{''}} t_{e_{1}^{''}}

, továbbá, mivel

e_{2}^{''}

és

e_{3}^{'}

párhuzamosak egymással és merőlegesek

e_{1}^{''}

-re, következik, hogy

t_{e_{3}^{'}} t_{e_{2}^{''}} = e_{v}

, ahol

v

párhuzamos

e_{1}^{''}

-vel. Összefoglalva azt kapjuk, hogy

t_{e_{3}} (t_{e_{2}} t_{e_{1}}) = (t_{e_{3}} t_{e_{2}}) t_{e_{1}} = (t_{e_{3}^{'}} t_{e_{2}^{'}}) t_{e_{1}} = t_{e_{3}^{'}} (t_{e_{2}^{'}} t_{e_{1}}) = t_{e_{3}^{'}} (t_{e_{2}^{''}} t_{e_{1}^{''}}) = (t_{e_{3}^{'}} t_{e_{2}^{''}}) t_{e_{1}^{''}} = e_{v} t_{e_{1}^{''}} = c_{e_{1}^{''}}_{v}

, egy csúsztatva tükrözés. Hasonlóan beláthatjuk, hogy abban az esetben is, ha

t_{e_{2}} t_{e_{1}}

forgatás,

t_{e_{3}} (t_{e_{2}} t_{e_{1}})

akkor is vagy tükrözés, vagy csúsztatva tükrözés. Ezáltal igazoltuk, hogy nincs más egybevágósági transzformáció, csak a forgatások, az eltolások, a tükrözések, a csúsztatva tükrözések és az identitás.
Vizsgáljuk meg, hogy mely pontok, illetve egyenesek képződnek önmagukra az egyes transzformációk során:

\begin{matrix} transzformáció & fixpont & fixegyenes \\ i & minden pont & minden egyenes \\ e_{v} & nincs & v irányú egyenesek \\ f_{O, α} & O & {\begin{matrix} nincs, ha α \neq 180^{\circ} \\ O -n átmenő egyenesek, ha α = 180^{\circ} \end{matrix} \\ t_{e} & e pontjai & e és az e -re merőleges egyenesek \\ c_{e}, v & nincs & e \end{matrix}

Eddig az egész síkot vizsgáltuk, most alakzatokkal fogunk foglalkozni, ezeket osztályozhatjuk szimmetriatulajdonságaik alapján, azaz megvizsgálhatjuk, hogy mely

f

egybevágósági transzformációk képezik le az alakzatot önmagára. Jól ismert példa erre a négyszögek osztályozása. Jelölje

e_{1}

és

e_{2}

a két átlót,

e_{3}

és

e_{4}

a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő egyeneseket,

K

pedig az átlók metszéspontját. A következő típusokat különböztetjük meg:
négyzet :

i, f_{K, 90^{\circ}}, f_{K, 180^{\circ}}, f_{K, 270^{\circ}}, t_{e_{1}}, t_{e_{2}}, t_{e_{3}}, t_{e_{4}}

téglalap:

i, f_{K, 180^{\circ}}, t_{e_{3}}, t_{e_{4}}

rombusz:

i, f_{K, 180^{\circ}}, t_{e_{1}}, t_{e_{2}}

szimmetrikus trapéz:

i, t_{e_{3}}

deltoid:

i, t_{e_{1}}

parallelogramma:

i, f_{K, 180^{\circ}}

általános négyszög:

i

Hasonlóan, a lehetséges szimmetriák szerint fogjuk osztályozni a sormintákat is. Sormintának egy olyan alakzatot nevezünk, amely két párhuzamos egyenes közötti sávban helyezkedik el, és van olyan eltolás, amely az alakzatot önmagába viszi. (Ekkor természetesen az alakzat a ,,végtelenbe nyúlik'', de ábráinkon csak egy véges részletét tudjuk megrajzolni.) Feltételezzük, hogy van egy olyan legrövidebb vektor,

u

, amivel való eltolás a sormintát önmagába viszi. Vegyünk most egy tetszőleges

e_{v}

eltolást, amelyik a sormintát önmagára képezi le. Ha

v

és

u

iránya megegyezik, akkor legyen

n = [| v | / | u |]

, ahol

| v |

| v |

vektor hosszát,

[x]

x

valós szám egész részét jelöli. Ekkor

| v - n u | = | v | - n | u | < | u |

, és

e_{v - n u} = e_{v} {(e_{u}^{- 1})}^{n}

is szimmetriája a sormintának. Mivel

u

a legrövidebb vektor volt, amivel a sorminta eltolható, ezért

v - n u = 0

, azaz

v = n u

. Hasonlóan járhatunk el, ha

v

és

u

ellentétes irányúak, és azt nyerjük, hogy pontosan az

e_{n u} (n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, ...)

eltolások azok, amelyek sormintánkat önmagába viszik. (Itt a nullvektorral való eltoláson az identikus leképezést értjük.)
Mivel a sorminta minden szimmetriája a sáv

e

középegyenesét önmagába kell vigye, az egybevágósági transzformációk fixegyeneseinek számbavételéből tudjuk, hogy csak a következő fajta szimmetriák jöhetnek szóba:
1.

e

-vel párhuzamos eltolások
2.

e

-n fekvó pontok körüli

180^{\circ}

-os forgatások
3.

e

-re merőleges egyenesekre vonatkozó tükrözések
4.

e

-re való tükrözés, ill.

e

tengelyű csúsztatva tükrözések.
Jelöljük az egyes típusú szimmetriák halmazát rendre a következőképpen:

E, F, T, C

. Már megmutattuk, hogy

E

pontosan az

e_{n u} (n = 0, \pm 1, \pm 2, ...)

alakú eltolásokból áll. Legyen most

G

F, T, C

osztályok valamelyike. Ha

g_{1}

és

g_{2} G

-beli szimmetriák, akkor

g_{2} g_{1}^{- 1}

is szimmetriája a sormintának és ez minden esetben eltolás:

f_{O, 180^{\circ}} f_{N, 180^{\circ}}^{- 1} = e_{2 v}

, ahol

v = \vec{N O};