Cím: III. magyar-izraeli matematika verseny - 1992.
Szerző(k):  Pelikán József 
Füzet: 1992/november, 361 - 363. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1992. május 20-27. között harmadszor került megrendezésre az 1990-ben (Pataki János kezdeményezésére) elindult izraeli-magyar versenysorozat. A versenyeket felváltva rendezi Magyarország, ill. Izrael. Az idei verseny helyszíne Izrael legjelentősebb természettudományi intézete, a Rehovot-i Weizmann-Intézet volt. A csapatok 4-4 középiskolás diákból, ill. 1-1 vezetőből álltak. A magyar csapat vezetője Pelikán József egy. adjunktus (ELTE, Algebra és Számelmélet Tsz.), az izraelié J. Gillis, a Weizmann-Intézet nyugalmazott professzora volt. (A magyar diákok nevét ld. alább.) A magyar diákokat a versenyre Reiman István tanszékvezető egy. docens (BME, Geometria Tsz.) készítette fel.
Május 22-én egy hagyományos egyéni rendszerű írásbeli verseny került lebonyolításra, ahol a diákoknak 4 óra alatt 4 feladatot kellett megoldani. (A feladatokat ld. mellékelve.) Mindegyik feladat hibátlan megoldása 7 pontot ért, így max. 28 pontot lehetett szerezni.
A magyar diákok közül Ujváry-Menyhárt Zoltán (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o. t.) 25 pontot, Álmos Attila (Bp., Berzsenyi D. Gimn., IV. o. t.), Futó Gábor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) és Szendrői Balázs (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o. t.) pedig egyaránt 22 pontot ért el.
Az izraeli diákok eredménye 23, 18, 16, ill. 7 pont volt. Összesen tehát a magyar csapat 91, az izraeli 64 pontot szerzett.

 

Május 25-én egy ebben a versenysorozatban már hagyományosnak számító csapatverseny került lebonyolításra. A diákok egy előre kijelölt témakörből (idén: Fibonacci-számok és általánosításaik, elsősorban Lucas-számok) már korábban otthon felkészülhettek, a versenyen pedig ebből a témakörből 6 - a csapatvezetők által a helyszínen összeállított - feladatot kellett közösen dolgozva 3 és fél óra alatt megoldaniuk. (A feladatokat ld. mellékelve.)
Noha ebben a versenyszámban pontozásos értékelés eleve nem volt tervbe véve, az eredmény önmagáért beszél: mindkét csapat megoldotta mind a 6 feladatot.
A szabadidőben a rendezők gazdag programról gondoskodtak: kirándulás Jeruzsálembe (kétszer is), Tel-Aviv/Yafo-ba, a Judeai-sivatagba (Maszada erődje), a Holttengerhez, ill. egy kibucba. A hangulat mindvégig rendkívül baráti, szívélyes volt. Mindezért a Weizmann-Intézet, Gillis professzor, ill. a szervezésben ,,hivatalból'' résztvevő többi személy mellett külön köszönet illeti Joel Feldmant, a Weizmann-Intézet magyar származású munkatársát, aki egy héten át kalauzunk és kísérőnk volt.
 

Az egyéni verseny feladatai   (1. nap)
 

1. Bizonyítsa be, hogy ha c1-től különböző pozitív valós szám és n tetszőleges egész, akkor
n2≤cn+c-n-2c+c-1-2.
 

2. Adott pozitív egész számoknak egy 1992 elemű S halmaza, amelyek utolsó számjegyei között mind a 10 számjegy előfordul. Bizonyítsuk be, hogy létezik S-nek olyan nem-üres S' részhalmaza, hogy az S'-beli elemek összege osztható 2000-rel.
 

3. Adott pozitív egészek 100 szigorúan növekvő sorozata:
A1={a1(1),a2(1),...,an(1),...}A2={a1(2),a2(2),...,an(2),...}⋮A100={a1(100),a2(100),...,an(100),...}
Definiáljuk minden pozitív egész n-re és az 1≤r,s≤100 egészekre a következő függvényeket:
fr(n)=Arazon elemeinek száma, melyek≤n,fr,s(n)=Ar∩Asazon elemeinek száma, melyek≤n.
Tegyük fel, hogy minden r-re és n-re
fr(n)≥12n.
Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan (r,s) pár (ahol r≠s), amelyre
fr,s(n)≥8n33
teljesül legalább öt különböző n-re az 1≤n≤19920 intervallumban.
 

4. Adott egy P konvex ötszög, melynek minden csúcsa rácspont. Jelöljük Q-val a P ötszög öt átlója által meghatározott konvex ötszöget. Bizonyítsuk be, hogy Q belsejében vagy határán található legalább egy rácspont.
 

A csoportverseny feladatai   (2. versenynap)
 

A következő két számsorozatot vizsgáljuk:
1. Fibonacci-számok, definíciójuk:
F0=0,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n≥2)

2. Lucas-számok, definíciójuk:
L0=2,L1=1,Ln=Ln-1+Ln-2(n≥2)
Ismert, hogy minden n≥0-re:
Fn=αn-βn5,Ln=αn+βn
ahol
α=1+52,β=1-52.

A fenti formulák bizonyítás nélkül használhatók, a sorozat minden egyéb olyan tulajdonságát, amit felhasználtok, bizonyítani kell.
 

⋆
 

Megoldandó feladatok:
 

1. Bizonyítsuk be, hogy
1+L2j≡0(mod2j+1)(j≥0).
 

2. Bizonyítsuk be, hogy
∑k=1n[akFk+12]=F2n+1(n≥1).
 

3. Nevezzünk egy nemnegatív egész számot r-Fibonacci számnak, ha felírható r (nem feltétlenül különböző) Fibonacci-szám összegeként (r≥1).
Bizonyítsuk be, hogy létezik végtelen sok olyan szám, ami nem r-Fibonacci szám semmilyen r(1≤r≤5) értékre sem.
 

4. Bizonyítsuk be, hogy
Fn-1⋅Fn⋅Fn+1⋅Ln-1⋅Ln⋅Ln+1(n≥2)
nem teljes négyzet.
 

5. Bizonyítsuk be, hogy
L2n+1+(-1)n+1(n≥1)
előáll három (nem feltétlenül különböző) Fibonacci-szám szorzataként.
 

6. Egy téglalap csúcsainak valamennyi koordinátája Fibonacci-szám. Feltesszük, hogy a téglalap nem olyan, hogy egy csúcsa az x- tengelyen, egy másik pedig az y- tengelyen lenne. Bizonyítsuk be, hogy a téglalap oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, vagy pedig ±45∘-os szöget zárnak be a koordinátatengelyekkel.