Kezdőlap


Cím:	Az I. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny - 1992.
Szerző(k):	Urbán János
Füzet:	1992/november, 357 - 361. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Maga az elnevezés első pillanatra kissé furcsának tűnik, $-$ de hamar rátalálhatunk az értelmére. Nemzetközi és magyar, ez a kettő így együtt nyilván azt jelenti, hogy a Kárpát-medence különböző országaiban élő, különböző tantervek szerint tanuló, magyar diákok matematika versenye. Valóban erről van szó, 1992. április 9‐12-ig Észak-Komáromban (Cseh és Szlovák Köztársaság) rendezték meg az I. Nemzetközi Magyar Matematika Versenyt. A résztvevő országok: (zárójelben a versenyzők száma) Cseh- és Szlovák Köztársaság $-$ Felvidék (44), Ukrajna $-$ Kárpátalja (8), Románia $-$ Erdély (44), Jugoszlávia $-$ Vajdaság (22), Magyarország (44).
A verseny megrendezésének gondolatát, $-$ amelyre az új közép-európai helyzetben nyílott lehetőség $-$ az 1991-es szegedi Rátz László Vándorgyűlésen fejtette ki Bencze Mihály, brassói matematika tanár. A szervezés már ekkor elkezdődött, s a felvidéki kollégák vállalkoztak Komáromban, a Magyar Gimnáziumban a verseny megrendezésére. A szervezés és irányítás önzetlen, nagy munkáját Oláh György tanár úr vállalta magára.
A verseny bensőséges megnyitójára a komáromi Magyar Gimnázium dísztermében került sor. A házigazdák és Bencze Mihály köszöntője után Kálmán Attila, az MKM államtitkára is üdvözölte a résztvevőket, és hagyományteremtésre, a kezdeményezés folytatására buzdított. A verseny előtt és után, párhuzamosan, több szekcióban előadások, feladatmegoldó foglalkozások zajlottak. Ezeken mindegyik országból voltak előadók, többek közt diákelőadók is.
A verseny 4 órán át tartó irásbeli fordulóból állt. Külön-külön 6-6 feladatot kaptak az egyes középiskolai korosztályok, elsőtől negyedikig. Érdemes tanulmányozni a feladatokat:

I. osztály

1. Bizonyítsuk be, hogy ha

n > 1

természetes szám, akkor

n^{8} + n^{4} + 1

összetett szám.
Mészáros József, Galánta

2. Mely

p

pozitív prímszámokra lesz

2 p + 1, 3 p + 2, 4 p + 3, 6 p + 1

mindegyike prímszám?
Urbán János, Budapest

3. Igazoljuk, hogy ha

a + b + c = 0

, akkor

\begin{matrix} 6 (a^{5} + b^{5} + c^{5}) = 5 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{3} + b^{3} + c^{3}) . \end{matrix}

Bencze Mihály, Brassó

4. Adott az

A B C

háromszög és

D \in B C, E \in A C, F \in A B

pontok. Az

A

csúcson át párhuzamost húzunk a

B C

oldallal, amely a

D E

egyenest

M

-ben és a

D F

egyenest

N

-ben metszi. Igazoljuk, hogy

A D, M F, N E

akkor és csakis akkor mennek át egy ponton, ha

D

B C

oldal felezőpontja.
Bencze Mihály, Brassó

5. Határozzuk meg az

x, y

egész számokat, ha

x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} - 4 y^{3} = 0

.
Balázs Lajos, Zselíz

6. Legyenek

x_{a}, x_{b}, x_{c}

A B C

hegyesszögű háromszög tetszőleges

P

belső pontjának az

a

b

c

oldalaktól mért távolságai, valamint

h_{a}

h_{b}

h_{c}

a megfelelő magasságok. Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} \frac{x_{a}}{h_{a}} + \frac{x_{b}}{h_{b}} + \frac{x_{c}}{h_{c}} = 1. \end{matrix}

Mészáros József, Galánta

II.osztály

1. Igazoljuk; hogy ha

x, y, z \in R

, akkor

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x \geq \frac{3}{4} max {{(x - y)}^{2}, {(y - z)}^{2}, {(z - x)}^{2}} . \end{matrix}

Bencze Mihály, Brassó

2. Hány olyan háromszög van, amelynek oldalai

n

-nél nagyobb, de

2 n

-nél nem nagyobb egész számok? Ezek közül a háromszögek közül hány egyenlőszárú és hány egyenlőoldalú?
Urbán János, Budapest

3. Jelölje

N

azt az

1992

jegyű számot, amelynek az összes számjegye

9

-es. Mennyi

N^{2}

számjegyeinek összege?
Bencze Mihály, Brassó

4. Bizonyítsuk be, hogy

82! (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{82})

osztható

1992

-vel.
Mészáros József, Galánta

5. Adott az

A B C

háromszög. Legyen

O

a körülírt körének a középpontja.

B

és

C

csúcsokból az

A C

és

A B

oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai

E

és

F

. Igazoljuk, hogy

A O ⊥ E F

.
Nagel tétele

6. Az

A B C

derékszögű háromszög

G

súlypontjából bocsássunk merőlegeseket az oldalakra. Legyenek ezek talppontjai

A_{1}, B_{1}, C_{1}

. Számítsuk ki a

\frac{Ter (A B C)}{Ter (A_{1} B_{1} C_{1})}

arányt.
Mészáros József, Galánta

III. osztály

1. Az

A B C

háromszög

A B

B C

C A

oldalain felvesszük a

D

E

F

pontokat úgy, hogy

\frac{A D}{D B} = \frac{B E}{E C} = \frac{C F}{F A}

. Bizonyítsuk be, hogy a

D E F

háromszög súlypontja egybeesik az

A B C

háromszög súlypontjával.
Petkovics Zoltán, Szabadka

2. Ha

n \geq 3

igazoljuk, hogy

\begin{matrix} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - ln n \geq \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}) . \end{matrix}

Bencze Mihály, Brassó

3. Az

(a_{n}) n \in N

sorozatot a következőképpen értelmezzük:

\begin{matrix} a_{1} = \frac{1}{2}, a_{2} = \frac{1}{3}, és a_{n + 2} = \frac{a_{n} a_{n + 1}}{3 a_{n} - 2 a n + 1} . \end{matrix}

Adjuk meg a sorozat

n

-edik tagját

n

függvényében.
Urbán János, Budapest

4. Az

(a_{n}) n \in N

sorozatot a következőképpen értelmezzük:

\begin{matrix} a_{0} = a_{1} = \frac{2}{3} és \frac{1}{4} (1 + 2 a_{n + 1} + a_{n}^{2}) \leq a_{n + 2} \leq \frac{1}{3} (1 + a_{n + 1} + a_{n}^{2}) . \end{matrix}

Igazoljuk, hogy a sorozat konvergens és határozzuk meg a határértékét.
Dályai Pál, Marosvásárhely

5. Határozzuk meg az

f : R ∖ {- 1,1,2} \to R

függvényt, ha

f (\frac{x + 1}{x - 2}) + 2 f (\frac{x - 2}{x + 1}) = x

, majd ábrázoljuk grafikusan.
Balázs Lajos, Zselíz

6. Az

A, B, C

pontok rajta vannak az

y = \frac{1}{x}

egyenletű hiperbolán. Bizonyítsuk be, hogy az

A B C

háromszög magasságpontja is ezen a hiperbolán van.
Reiman István, Budapest

IV. osztály

1. Határozzuk meg azon

x, y

egészeket, amelyekre

x^{2} (x^{2} + 4 x y + 3 y^{2}) és y^{2} (y^{2} + 4 x y + 3 x^{2})

kifejezések egyszerre teljes negyedik hatványok.
Bencze Mihály, Brassó

2. Egy konvex

10

-szög belsejében vegyünk fel

k

pontot úgy, hogy bármely két pont összekötő egyenese ne tartalmazzon sem a felvett pontok, sem a sokszögcsúcsok közül még egyet. Bontsuk fel a sokszöget háromszögekre úgy, hogy minden háromszög csúcsa csak a sokszögcsúcsokkal vagy pedig a felvett pontokkal esik egybe. Bizonyítsuk be, hogy bármilyen módon bontjuk fel a sokszöget háromszögekre, a háromszögek száma mindig ugyanakkora.
Reiman István, Budapest

3. Igazoljuk, hogy

\frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{7!} + ...

irracionális.
Bencze Mihály, Brassó

4. Legyen

f : R \to R

egy folytonos függvény; ahol

f (f (x)) = x^{2 n + 1}, n \in N

és

f (1) = - 1

. Igazoljuk; hogy

f

szigorúan csökkenő és

f (0) = 0

, valamint

{lim}_{x \to - \infty}^{} f (x) = - {lim}_{x \to + \infty}^{} f (x) = + \infty

.
Adjunk példát a fenti feltételeket kielégítő függvényekre.
Bencze Mihály, Brassó

5. Az

A B C

derékszögű háromszögben meghúzzuk az átfogóra a magasságot. Az így keletkezett két háromszögnek megszerkesztjük a beírt köreit. Bizonyítsuk be, hogy a talppontból és az ezen körök középpontjából alkotott háromszög hasonló az eredetihez.
Fonód Tibor, Komárom

6. Vágjunk ketté egy háromszöget egy egyenessel két egyenlő területű részre úgy, hogy az egyenesnek a háromszögön belüli szakasza a lehető legrövidebb legyen.
Szabó Magda, Szabadka

Az értékeléskor minden feladat helyes és teljes megoldásáért 10 pont járt, lényegileg különböző megoldásért, általánosításért 5 pontot lehetett kapni.
Az ünnepélyes eredményhirdetésnek, díjkiosztásnak ismét a Magyar Gimnázium díszterme adott otthont.

Az eredmények:

I. osztály

1. díj:

Csapó Hajnalka (Csíkszereda), Prahovean Cornel (Brassó), Csorba István (Győr)

2. díj:

Szabó Árpád (Marosvásárhely), Mácza Miklós (Komárom), Küronya István (Budapest), Deák Borbála (Csíkszereda), Halász György (Budapest)

3. díj:

Gaál Réka (Marosvásárhely), Balla Andrea (Székelyudvarhely), Szilágyi Imre (Székelyudvarhely), Wágner Ferenc (Tata), Lázár Emese (Székelyudvarhely), Kiss László (Pozsony), Gecse Zoltán (Ungvár)

II. osztály

1. díj:

Alexics Gábor (Budapest), Birszki Bálint (Vác)

2. díj:

Sinoai Áron (Marosvásárhely), Chrobák Péter (Vásárosnamény), Környei László (Győr), Ling Éva (Nyíregyháza), Szilágyi Róbert (Csíkszereda)

3. díj:

Szente Hajnalka (Marosvásárhely), Balázs Imre (Székelyudvarhely), Kahlesz Ferenc (Budapest), Ódor Lajos (Komárom), Czifrik Xénia (Pozsony), Kartay Andrea (Dunaszerdahely), Biacsi Dávid (Szabadka), Boros Szabolcs (Brassó), Bitere Krisztián (Győr)

III. osztály

1. díj:

Szilágyi István (Székelyudvarhely)

2. díj:

Kristály Sándor (Csíkszereda), Gaál László (Csíkszereda), Szilágyi László (Marosvásárhely), Rácz Zsuzsanna (Székelyudvarhely), Pongrácz József (Gyergyószentmiklós)

3. díj:

Bodrosi Levente (Székelyudvarhely), Németh Róbert (Győr), Csorba Péter (Győr), Márton Gábor (Nagykanizsa), Berecz Andrea (Székelyudvarhely), Várday Béla (Csíkszereda), Kosztolányi Zsolt (Budapest), Szász András (Gyergyószentmiklós)

IV. osztály

1. díj:

András Szilárd (Csíkszereda)

2. díj:

Szabó Zsolt (Nagykanizsa), Musán Antal (Brassó), Álmos Attila (Budapest)

3. díj:

Kallós Béla (Nyíregyháza), Koródi Szabolcs (Csíkszereda), Végső Viktor (Nyíregyháza), Drinka Tibor (Galánta), Boda Levente (Brassó), Taletovics Dávid (Győr), Ráduly-Baka Zsolt (Sepsiszentgyörgy), Ratkó Éva (Budapest), Szabó Ingrid (Komárom)

A résztvevők megállapodtak abban, hogy a versenyt minden évben megrendezik. A tervek szerint kétévente Magyarországon, a közbülső években ‐ a lehetőségekhez képest ‐ a környező országokban felváltva kap otthont a Nemzetközi Magyar Matematika Verseny, amelynek időpontja a tavaszi iskolai szünethez igazodik.
A következő, 1993. évi verseny megrendezésére Vácott, az Ipari Szakközépiskola vállalkozott. A szervező munkát Benedek Ilona tanárnő irányítja. Meghívást kapnak az 1992-es versenyen részt vett iskolák, szervezetek, és Magyarországról az 1992-es középiskolai matematika tanulmányi versenyek (Arany Dániel, OKTV) első és második helyezettjei.
A szervező bizottság örömmel és szívesen fogad minden erkölcsi és anyagi támogatást, ami a verseny minél színvonalasabb megrendezését segíti.