Kezdőlap


Cím:	Az 1991-92. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	1992/november, 350 - 354. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első (iskolai) forduló

I. kategória

1. Két könyvtár közül az egyikben másfélszer annyi könyv van, mint a másikban. Mindkét könyvtár új könyvekkel gyarapodott,

80

illetve

100

darabbal. Ezzel a két könyvtár készleteinek aránya

3 : 4

lett. Hány könyv lehetett eredetileg a két könyvtárban együttvéve?
(10 pont)

2. Az

A B C D

paralelogramma tetszőleges belső pontja

P

. Húzzunk

P

-n át párhuzamosokat az oldalakkal, így a paralelogrammát négy részre vágjuk szét. A négy rész közül háromnak a területét ismerjük, ezek:

15 {c m}^{2}, 9 {c m}^{2}, 12 {c m}^{2}.

Mekkora a negyedik rész területe?
(11 pont)

3. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán:

\begin{matrix} tg x+ ctg x+1=sin(x+\frac{3 π}{4}). \end{matrix}

(13 pont)

4. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán:

\begin{matrix} log_{a} 2 + log_{a} (4^{x - 2} + 9) < log_{a} (10 (1 + 2^{x - 2})) \end{matrix}

(,,

a

'' valós paraméter).
(13 pont)

5. Oldjuk meg a természetes számok halmazán az

x^{2} + x y - y = 1992

egyenletet!

(15 pont)

6. Az

A B C

háromszögben (a szokásos jelöléseket használva)

α \geq β

és

α \geq γ

. Az

A

csúcsból húzott magasság talppontja

D

. A

k

kör érintse a

B C

oldalt a

D

pontban, és az

A B

oldalt

M

és

N

, az

A C

oldalt

P

és

Q

belső pontokban messe. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} \frac{A M + A N}{A P + A Q} = \frac{A C}{A B} . \end{matrix}

(18 pont)

II. kategória

1. Oldjuk meg a valós számok körében az

\begin{matrix} log_{x} (x + y) + log_{y} (x + y) = 4, \\ (x - 1) (y - 1) = 1 \end{matrix}

egyenletrendszert.

2. Adott az

A B C D

tetraéder. Határozzuk meg a tetraéder belsejében azoknak a

P

pontoknak a halmazát, amelyekre az

A B C P

tetraéder térfogata egyenlő az

A B D P

tetraéder térfogatával!

3. Az egységnyi területű

A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}

konvex hatszög olyan, hogy az

A_{1} A_{3}, A_{2} A_{4}, A_{3} A_{5}, A_{4} A_{6}, A_{5} A_{1}, A_{6} A_{2}

átlóinak felezőpontjai szintén egy konvex hatszög csúcsai. Mekkora ez utóbbi hatszög területe?

4. Határozzuk meg azt a maximális kerületű téglalapot, amelynek két csúcsa egy adott félkör átmérőjére, másik két csúcsa pedig a félkör ívére illeszkedik. A félkör ismeretében adjunk eljárást a maximális kerületű téglalap megszerkesztésére!

5. Az

x

és

y

pozitív egész számokra teljesül, hogy

{(x - y)}^{1992} = {(x + y)}^{1991}

. Határozzuk meg az

x y

szorzat legkisebb értékét!

Valamennyi feladat 7 pontot ér.

III. kategória

1. Egy

n

pozitív egész összes (pozitív) osztójának összegét elosztjuk ugyanezen osztók reciprokainak az összegével. Mit kapunk eredményül?

2. Egy szabályos tetraéder köré írt gömb sugara

R

. Mekkora annak a gömbnek a sugara, amely a tetraéder három lapját és a tetraéder köré írható gömböt belülről érinti?

3. Bergengóciában háromféle fémpénz van forgalomban, ezek ‐ növekvő értéksorrendben ‐ az alig, a bagó és a csenevész. Márton és Nándor a következő játékot játsszák. Márton elővesz egy általa választott érmét, erre Nándor köteles a másik két fajtából egyet-egyet elővenni. A három érmét egyszerre feldobják, és azé lesz mindhárom érme, akinek az írásra esett érméje vagy érméi nagyobb összértéket képviselnek. Ha csupa fej jön ki, akkor mindenki megtartja a saját pénzét (más esetben nem fordulhat elő döntetlen). A fiúk észreveszik, hogy a játék mindig igazságos, akármelyik érmét is veszi elő Márton. Kérdés: hány aligot ér egy csenevész?

4. Xénia és Olivér az amőba játék alábbi változatát játsszák. Egy (minden irányban végtelen) négyzethálós papíron felváltva Xénia egy tetszőleges négyzetbe egy

x

jelet ír, illetve Olivér két tetszőleges négyzetbe egy-egy

\circ

jelet ír. Olivér akkor nyer, ha vízszintesen vagy függőlegesen egymás mellett száz

\circ

jelet elér, egyébként a játék a végtelenségig folytatódik. Meg tudja-e akadályozni Xénia azt, hogy Olivér győzzön?

5. Adjuk meg az alábbi egyenletrendszer összes olyan megoldását, ahol

x, y, s

és

t

racionális számok:

\begin{matrix} t^{2} + {(s + x)}^{2} = s^{2} + y^{2} = {(y + t)}^{2} + x^{2} . \end{matrix}

Valamennyi feladat 7 pontot ér.

A verseny második fordulójának feladatai

I. kategória

1. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\begin{matrix} \sqrt[]{sin^{4} x + 4 cos^{2} x} + \sqrt[]{cos^{4} x + 4 sin^{2} x} = 3. \end{matrix}

2. Bizonyítsuk be, hogy az

\begin{matrix} y = log_{(\sqrt[]{3} - 1)} (7 - 2 \sqrt[]{x} - x) \end{matrix}

egyenletnek a pozitív egész számok halmazán pontosan egy

x; y

számpár megoldása van!

3. Mennyi az összege azoknak a pozitív,

1

-nél kisebb értékű törteknek, melyeknek a nevezője nem nagyobb

1992

-nél?

4. Az

A B C D

négyzet

A

csúcsából húzott egyik félegyenes a

B C

oldalt

M

, a másik félegyenes a

C D

oldalt

N

pontban metszi. Jelöljük az

A M

szakasz és a

B D

átló metszéspontját

P

-vel, az

A N

szakasz és a

B D

átló metszéspontját

Q

-val. Az

M A N ∢

legyen

45^{\circ}

. Számítsuk ki az

A M N

háromszög területét, ha az

A P Q

háromszög területe

20 cm^{2}

5. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{3} + \frac{48}{x^{2}} = 10 (\frac{x}{3} - \frac{4}{x}) . \end{matrix}

II. kategória

1. Egy

N

négyjegyű számról a következőket tudjuk: számjegyei

0

-tól és egymástól is különbözők; osztható

3

-mal;

N

az összes olyan kétjegyű szám összegének kétszerese, amelyeknek jegyei

N

számjegyei (a kétjegyű számok között azonos jegyűek is lehetnek). Adjuk meg

N

-et!

2. Legyenek

O A B

és

O A' B'

azonos körüljárású, közös belső pont nélküli szabályos háromszögek. Legyen továbbá az

O A B

háromszög súlypontja

S

és az

A B'

szakasz felezőpontja

F

. Bizonyítsuk be, hogy az

S F A'

háromszög derékszögű. Mekkorák a hegyesszögei?

3. Igaz-e, hogy az olyan nyolc csúcsú konvex poliéderek között, amelyek csúcsai egy egység sugarú gömbön vannak, a kocka térfogata a legnagyobb?

4. Az

(a_{n})

sorozat képzési szabálya a következő:

\begin{matrix} a_{1} = \frac{1}{2} \\ a_{n + 1} = a_{n} (1 - \frac{1}{2 (n + 1)}), ha n \geq 1 . \end{matrix}

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

n

-re

\begin{matrix} \frac{1}{2 \sqrt[]{n}} \leq a_{n} < \frac{1}{\sqrt[]{2 n}} . \end{matrix}

III. kategória

A második

-

egyben döntő

-

forduló

1. Bizonyítsuk be, hogy bármely

n

pozitív egészre

\begin{matrix} \sum_{k = 0}^{[n / 2]} (\binom{n - k}{k}) {(\frac{1}{4})}^{k} {(\frac{5}{12})}^{n - 2 k} = \frac{9}{13} {(\frac{3}{4})}^{n} + \frac{4}{13} {(- \frac{1}{3})}^{n} . \end{matrix}

2. Az

A B C

háromszög beírt körének középpontja

K

, és ez a kör a

B C

A C

, ill.

A B

oldalakat rendre az

A_{1}

B_{1}

, ill.

C_{1}

pontokban érinti. Bizonyítsuk be, hogy az

A_{1} K

és

B_{1} C_{1}

egyenesek az

A

-ból induló súlyvonalon metszik egymást.

3. Létezik-e olyan, egész számokból álló halmaz, hogy minden pozitív egész pontosan egyféleképpen áll elő két halmazbeli elem különbségeként?

A verseny harmadik fordulójának feladatai

I. kategória

1. Igazoljuk, hogy az

f : R \to R, f (x) = (x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9

függvény értékkészletéhez negatív számok nem tartoznak! Van-e a függvénynek zérushelye?

2. Bizonyítsuk be, hogy ha

\begin{matrix} x, y, z \end{matrix}

racionális számok, akkor

\begin{matrix} \sqrt[]{x}, \sqrt[]{y}, \sqrt[]{z} \end{matrix}

mindegyike racionális szám!
3. Az

A E

átmérőjű egység sugarú félkörön adottak az

A B, B C, C D, D E

húrok, amelyeknek a hossza rendre

a, b, c, d

. (A húrokhoz tartozó köríveknek nincs közös belső pontja.)
Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + a b c + b c d < 4. \end{matrix}

II. kategória

1. Állítsuk elő egy racionális

p

paraméter függvényeként (azaz

r = f (p)

alakban) az összes olyan

r

racionális számot, amelyre a

6 r^{2} - 5 r + 9

egy racionális szám négyzete.

2. Az

A B C D

tetraéderben

A B \geq C D

, és a többi él nem hosszabb

C D

-nél. Bizonyítsuk be, hogy a tetraédernek van olyan csúcsa, amelyre illeszkedő

3

élből hegyesszögű háromszög szerkeszthető.

3. Legyenek

a_{1}, a_{2}, ..., a_{7}

különböző pozitív egészek. Képezzük az összes

\frac{a_{i}}{(a_{i}, a_{j})}

alakú számot, ahol

(a_{i}, a_{j})

a_{i}

és

a_{j}

legnagyobb közös osztója

(i = 1,2, ..., 7;