Cím: Az 1992. évi Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny feladatai
Füzet: 1992/november, 342 - 344. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. forduló
 

Kezdők (legfeljebb I. osztályosok)
 

1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
3∥x+1|-2|-3=x+1.
 

2. Az ABCD négyzet mindegyik oldalára befelé egyenlő szárú háromszöget rajzolunk. Ezeknek a háromszögeknek a harmadik (X,Y,Z,U) csúcsnál levő szöge 150∘. Bizonyítsa be, hogy a négy háromszög területének összege egyenlő az XYZU négyszög területével.
 

3. Egy háromszög oldalainak hossza egész számokkal adható meg. Egyik oldala a másik két oldal szorzatának felével azonos hosszúságú. Kerülete 18 hosszúságegység. Mekkorák a háromszög oldalai?
 

4. Antal, Béla és Cili elhatározzák, hogy megoldják egy példatár összes feladatát. Antal a darab feladatot, Béla b darab feladatot és Cili c darab feladatot old meg naponta és minden feladattal csak egyikük foglalkozik. Ha naponta Antal tizenegyszer, Béla hétszer és Cili kilencszer több feladatot oldana meg, akkor öt nap alatt, ha naponta Antal négyszer, Béla kétszer és Cili háromszor több feladatot oldana meg, akkor tizenhat nap alatt fejeznék be munkájukat. Hány nap alatt oldják meg az összes feladatot?
 

5. Az ABC háromszög A-nál, illetve B-nél levő szöge rendre 20∘ és 40∘. A C csúcsnál levő szög belső szögfelező egyenesén vegyük fel az E pontot úgy, hogy AB=BE teljesüljön. Mekkorák az ABE háromszög szögei?
 

Haladók (II. osztályosok)
 

1. Egy szám utolsó jegye a hetvenes számrendszerben hatos. Amikor Jóska átírta a számot tizenötös számrendszerbe, az utolsó jegy négyes lett. Mutassuk meg, hogy Jóska hibázott.
 

2. Az ABC háromszög AB oldalának felezőpontja D, a BC oldal C csúcshoz közelebbi harmadoló pontja pedig E. Milyen arányban osztják egymást az AE és CD szakaszok?
 

3. Oldjuk meg a valós számok körében a
2-x+2=xegyenletet.

4. Egy téglatest nyolc csúcsához hozzárendeltük a pozitív egész számokat egytől nyolcig úgy, hogy a téglatest bármely élének hossza megegyezik az él két végéhez rendelt szám különbségének abszolút értékével. Mekkora a téglatest térfogata?
 

5. Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapján fekvő C1 pontra, a BC száron levő A1 pontra és a CA száron levő B1 pontra teljesül az, hogy
AC1AB=BA1BC=CB1CA=13,
továbbá az A1B1C1 háromszög egyenlő szárú és derékszögű. Határozzuk meg az ABC háromszög oldalainak arányát.
 

6. Hány (x,y) pozitív egész megoldása van a
196x2-225y2=311991
egyenletnek?
 

II. forduló
 

Kezdők (legfeljebb I. osztályosok)
 

Az általános tantervű osztályosok feladatai
 

1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
|x+2|+p⋅|x-1|=3, ha p valós paramétert jelent.
 

2. Szerkessze meg az ABC háromszöget, ha adott az MA, MC és BC szakaszok hossza, ahol M a háromszög magasságpontja.
 

3. A k és n pozitív egész számokról azt tudjuk, hogy k a tízes számrendszerben 2n jegyű, továbbá k előállítható n+3 darab különböző, a tízes számrendszerben n jegyű pozitív egész szám köbének összegeként. Mi lehet a k és az n értéke?
 

Szakközépiskolások feladatai
 

1. Az ABCD paralelogramma kerülete 100 cm, az A és B csúcsnál levő belső szögek felezői egy, a négyszögön kívüli Q pontban metszik egymást. A DC oldal az AQ szakaszt két egyenlő részre osztja. Határozza meg a paralelogramma oldalainak hosszát.
 

2. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
|x+2|+p⋅|x-1|=3, ha p valós paramétert jelent.
 

3. Bizonyítsa be, hogy 19911992-1 osztható 7-tel.
 

A speciális matematika tantervű osztályosok feladatai
 

1. Szerkessze meg az ABC háromszöget, ha adott az MA,MC és BC szakaszok hossza, ahol M a háromszög magasságpontja.
 

2. Igazolja, hogy az x, y és z valós számokra akkor és csak akkor teljesül a
2(x4+x4+z4)=(x2+y2+z2)2
egyenlőség, ha az x, y és z közül az egyik négyzete egyenlő a másik kettő összegének négyzetével.
 

3. Igazolja, hogy megadhatók olyan x0,x1,x2,...,x99,x100 valós számok, amelyekre:
x0=0,x100=1és2⋅(xi-1+xi+1)=5xi,ahol  i=1,2,...,99.
 

Haladók (II. osztályosok)
 

1. Hány olyan x egész szám van, amelyre a
5x-xx-32
kifejezés értelmezve van?
 

2. Mutassuk meg, hogy bármely öt természetes szám közül mindig kiválasztható két olyan, amelyeknek vagy az összege, vagy a különbsége osztható 7-tel.
 

3. Bizonyítsuk be, hogy minden valós x, y számpárra igaz az
x4-x3y+x2y2-xy3+y4≥0
egyenlőtlenség, továbbá egyenlőség csak x=y=0 esetén állhat.
 

4. Egy háromszög két oldala a és b, a hozzájuk tartozó magasságok ha és hb. Tudjuk, hogy a>b és a+ha≤b+hb. Határozzuk meg a háromszög harmadik oldalát.
 

5. Igazoljuk, hogy ha x olyan valós szám, amelyre mind x17, mind x27 egész szám, akkor x37 is egész szám.