Cím: 1992. Beszámoló a XXXIII. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról
Szerző(k):  Pelikán József ,  Reiman István 
Füzet: 1992/október, 289 - 291. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ezévi Matematikai Diákolimpiát július 10 és 21 között Oroszország rendezte meg Moszkvában. A versenyen 64 ország 351 diákja vett részt, országonként 6‐6 tanulóval, az ettől eltérő csapatlétszámokat zárójelben közöljük.
Résztvevő országok:
Argentína, Ausztrália, Ausztria, Azerbajdzsán* (1), Belgium, Brazília, Bulgária, Ciprus, Csehszlovákia, Dánia (5), Dél-Afrika, Dél-Korea, Észak-Korea, Észtország* (4), Fehéroroszország* (3), Finnország, Franciaország, Független Államok Közössége, Fülöp-szigetek (4), Görögország, Hollandia, Hongkong, India, Indonézia, Irán, Írország, Izland (3), Izrael, Japán, Jugoszlávia, Kanada, Kazahsztán*, Kína, Kolumbia, Kuba (3), Lengyelország, Lettország* (2), Litvánia* (3), Magyarország, Makaó, Marokkó, Mexikó, Mongólia, Nagy-Britannia, Németország, Norvégia, Olaszország, Oroszország, Örményország* (4), Portugália, Románia, Spanyolország, Svájc (3), Svédország, Szingapúr, Tajvan, Thaiföld, Törökország, Trinidad és Tobagó, Tunézia (4), Új-Zéland, Ukrajna*, USA, Vietnam.

 

A csillaggal megjelölt országok nem hivatalosan vettek részt; versenyzőiket nem díjazták, és a részvételük általában önköltséges volt.
A magyar csapat tagjai több válogatóverseny alapján a következők voltak:
 

Faragó Gergely III. o.   Pór Attila IV. o.Kálmán Tamás III. o.MMMM   Szendrői Balázs IV. o.Lakos Gyula IV. o.     Ujváry-Menyhárt Zoltán IV. o.   
 

valamennyien a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnázium tanulói. A szokásoknak megfelelően a verseny két napján a versenyzők 6 feladatot oldottak meg.
 
1. Határozzuk meg az összes olyan a, b, c egész számot, amelyekre 1<a<b<c és (a-1)(b-1)(c-1) osztója (abc-1)-nek.
 

2. Jelölje R a valós számok halmazát. Határozzuk meg az összes olyan f:R  →R függvényt, amelyre
f(x2+f(y))=y+(f(x))2
teljesül R minden x, y elemére.
 

3. Tekintsünk 9 pontot a térben, amelyekből semelyik négy nem fekszik egy síkban. Mindegyik pontpárt összekötjük egy éllel (vagyis egy egyenes szakasszal), és mindegyik ilyen élet kiszínezzük pirosra vagy kékre, vagy pedig kiszínezetlenül hagyjuk. Határozzuk meg a legkisebb olyan n értéket, amelyre igaz, hogy valahányszor a kiszínezett élek száma pontosan n, mindig teljesül, hogy a kiszínezett élek halmaza szükségképpen tartalmaz egy olyan háromszöget, amelynek mindegyik éle ugyanolyan színű.
 

4. Adott a síkban egy C kör, a C kör egy l érintőegyenese, és l-nek egy M pontja. Határozzuk meg azon P pontok halmazát, amelyekre teljesül a következő feltétel:
Létezik l-en két pont: Q és R úgy, hogy M a QR szakasz felezőpontja, és C a PQR háromszög beírt köre.
 

5. Legyen S a háromdimenziós tér pontjainak egy véges részhalmaza. Jelölje Sx, Sy, illetve Sz rendre az S pontjainak az yz-, xz-, xy-síkokra vett ortogonális vetületeiből álló halmazokat. Bizonyítsuk be, hogy
|S|2≤|Sx||Sy||Sz|,

ahol |A| a véges A halmaz elemeinek számát jelöli.
 
Megjegyzés.
Egy pontnak egy síkra való ortogonális vetületén a pontból a síkra bocsátott merőlegesnek a talppontját értjük.
 
6. Ha n egy pozitív egész szám, jelölje S(n) a legnagyobb olyan egész számot, amelyre igaz az, hogy minden pozitív egész k-ra, amelyre k≤S(n),n2 felírható k darab pozitív négyzetszám összegeként.
(a) Bizonyítsuk be, hogy S(n)≤n2-14 minden n≥4-re.
(b) Adjunk meg egy olyan n egész számot, amelyre S(n)=n2-14.
(c) Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan n egész szám van, amelyre S(n)=n2-14.
 

A verseny feladatait igen jól készítették elő; összességükben kissé nehéznek bizonyultak, hiszen a diákoknak csak 7,4%-a teljesített 75%-on felül, és 50% feletti teljesítményt is csak 27,1%-uk ért el. A résztvevők 33,9%-ának a teljesítménye 20% alatt maradt, ez azt is mutatja, hogy a mezőny első harmadát jelentő élmezőny és az utolsó harmad között igen nagy a különbség.
A verseny zsűrije a kétnapos (3‐3 feladatos) versenyen elérhető 6×7=42 pontból a legalább 32 pontot elérteknek ítélt I. díjat (26 versenyző); a 31‐24 pont közötti eredmény II. díjat (56 versenyző), a 14‐23 pont közötti pedig III. díjat jelentett.
A legtöbb pontot elért 10 ország:
1. Kína 240; 2. USA 181, 3. Románia 177, 4. FÁK 176, 5. Nagy-Britannia 168, 6. Oroszország 158, 7. Németország 155, 8‐9. Magyarország és Japán 142, 10. Franciaország 139.
A magyar diákok ebben az igen erős mezőnyben is megőrizték azt a helyet, amit az utóbbi években elértek; különösen értékelhetjük ezt, ha figyelembe vesszük, hogy számos nagy lehetőséggel rendelkező országot sikerült megelőznünk, és Oroszország ebben az évben két csapatot is indíthatott.
 

Pór Attila(32 ponttal)I. díjatUjváry-Menyhárt ZoltánSzendrői BalázsLakos Gyula   
(30 ponttal)(25 ponttal)(24 ponttal)  
 }   II. díjat   
Faragó Gergely(20 ponttal)III. díjat kapott.  

 

Az egyes résztvevő országok státusza sok vitára adott okot, de elfogadott nemzetközi egyezmények hiányában a rendező országnak jelenleg lehetősége van arra, hogy kiválassza a meghívottakat, és meghatározza azok státuszát. Így történhetett meg pl., hogy a Balti Államok csak ,,fizető vendégként'' versenyezhettek (összesen 9 emberre futotta a pénzük), míg Szerbia csapata Jugoszlávia néven meghívottként vett részt.
A csapatokat Moszkvában jó körülmények között helyezték el, és ellátásuk is kielégítő volt.
A versenyzők számára több moszkvai és környékbeli kirándulást szerveztek.
Kétségtelenül dicsérendő törekvés volt, hogy Oroszország jelenlegi helyzetében is vállalkozott egy nagy tömeget mozgató rendezvény megszervezésére. A matematikai jellegű előkészítés és a feladatok megoldásának az ellenőrzése (koordináció) egyetlen komolyabb hiba kivételével mintaszerű volt; a koordinációban mintegy negyven, különböző nyelveket tudó matematikus vett részt. Az írásbeli versenyek, a zsűri üléseinek, és a versenyeket övező rendezvényeknek a lebonyolítása azonban már sokszor tette próbára ‐ és olykor meg is haladta ‐ a szervezők erejét.
A magyar küldöttséget Pelikán József vezette, helyettese Reiman István, a csapat felkészítője volt. A következő Olimpia rendezését Törökország vállalta.