A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Az egyenleteket átalakítva kapjuk, hogy azaz | | Az egyenletrendszer megoldásai: , ; , ; , ; , .
2. Jelölje a trapéz magasságát. Ekkor | |
A trapéz területe területegység. Jelölje a trapéz köré írt kör sugarát. Ekkor | |
3. Emeljük ki az adott kifejezésből a -t, majd alakítsuk szorzattá. | | Ez pontosan akkor teljesül, ha | | Az egyenlőtlenség megoldásai: .
4. Mivel a kör érinti az tengelyt, ezért egyenletét alakban kereshetjük, és a pontban érinti a kör az tengelyt. A pont rajta van a körön és , azaz és Innen , és . A feltételeknek megfelelő körök egyenletei: , illetve .
5. Legyen , és egység. A csúcsból induló szögfelező az oldalt (a szögfelező osztásarány tétele miatt) abban az pontban metszi, amelyre 3,2. Jelölje az csúcsnál fekvő szöget, pedig a szóban forgó kör sugarát. A koszinusztétel alkalmazásával , így és egység. A szögfelező hossza az háromszögből koszinusztétellel számítható ki, egység. (Területszámítás alkalmazásával is dolgozhatunk.)
6. Jelölje az adott kifejezést. Az abszolút érték definíciójának alkalmazásával | | A függvény értéke az adott intervallumokban | | A függvény legnagyobb értéke amelyet az és az helyeken vesz fel. A függvény legkisebb értéke amelyet az helyen vesz fel.
7. Legyen az első egyenlet két gyöke , akkor a második egyenlet két gyöke és . Mivel és , ezért , azaz vagy . Ha , akkor és így , vagy , ha , akkor , , tehát , és így . Ebben az esetben tehát ha , akkor vagy . (Más módon is dolgozhatunk! Hogyan?)
8. Az egyenletnek , nem lehet megoldása. Ekvivalens átalakítással: Ha , akkor , mindig megoldás. a) Ha , akkor megoldásokon kívül a megoldások is adódnak | | Ha akkor megoldásokon kívül a megoldásai is adódnak. | |
b) és megoldások. Ha , akkor ez a két megoldás van. Ha akkor , , , , így és adódik, tehát két megoldás van. Ha vagy akkor három megoldás van: , illetve adódik és mellett. Ha vagy akkor négy megoldás van, és -en kívül és , ahol , illetve és , ahol . |