Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények az 1992. novemberi szám mérőlapjához
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1992/december, 452 - 454. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az egyenleteket átalakítva kapjuk, hogy

\begin{matrix} x y (x + y) = - 12 és x + y = - 4 x y \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x + y = 4, x y = - 3 vagy x + y = - 4, x y = 3. \end{matrix}

Az egyenletrendszer megoldásai:

x_{1} = 2 + \sqrt[]{7}

y_{1} = 2 - \sqrt[]{7}

;

x_{2} = 2 - \sqrt[]{7}

y_{2} = 2 + \sqrt[]{7}

;

x_{3} = - 1

y_{3} = - 3

;

x_{4} = - 3

y_{4} = - 1

2. Jelölje

m

a trapéz magasságát. Ekkor

\begin{matrix} {(m + 8)}^{2} = m^{2} + 400, m = 21 egység . \end{matrix}

A trapéz területe

T = 588

területegység.
Jelölje

r

a trapéz köré írt kör sugarát. Ekkor

\begin{matrix} \sqrt[]{r^{2} - 24^{2}} + \sqrt[]{r^{2} - 4^{2}} = 2, r = \frac{145}{6} egység . \end{matrix}

3. Emeljük ki az adott kifejezésből a

12 \cdot 3^{2 x} = 12 \cdot 9^{x}

-t, majd alakítsuk szorzattá.

\begin{matrix} 12 \cdot 9^{x} ({(\frac{2}{3})}^{x} - \frac{2}{3}) ({(\frac{2}{3})}^{x} - {(\frac{2}{3})}^{- 2}) \geq 0. \end{matrix}

Ez pontosan akkor teljesül, ha

\begin{matrix} {(\frac{2}{3})}^{x} \geq {(\frac{2}{3})}^{- 2} vagy {(\frac{2}{3})}^{x} \leq \frac{2}{3} . \end{matrix}

Az egyenlőtlenség megoldásai:

x \leq - 2 vagy x \geq 1

4. Mivel a kör érinti az

y

tengelyt, ezért egyenletét

\begin{matrix} {(x - u)}^{2} + {(y - v)}^{2} = u^{2} \end{matrix}

alakban kereshetjük, és a

Q (0; v)

pontban érinti a kör az

y

tengelyt. A

P (9; 5)

pont rajta van a körön és

P Q^{2} = 90

, azaz

\begin{matrix} {(9 - u)}^{2} + {(5 - v)}^{2} = u^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} 9^{2} + {(5 - v)}^{2} = 90. \end{matrix}

Innen

v_{1} = 2

v_{2} = 8

és

u = 5

. A feltételeknek megfelelő körök egyenletei:

{(x - 5)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25

, illetve

{(x - 5)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 25

5. Legyen

A C = 4

B C = 6

és

A B = 8

egység. A

C

csúcsból induló szögfelező az

A B

oldalt (a szögfelező osztásarány tétele miatt) abban az

F

pontban metszi, amelyre

A F =

3,2. Jelölje

α

A

csúcsnál fekvő szöget,

r

pedig a szóban forgó kör sugarát.
A koszinusztétel alkalmazásával

cos α = \frac{11}{16}

, így

sin α = \frac{3 \sqrt[]{15}}{16}

és

r = 3,2 \cdot sin α = \frac{3 \sqrt[]{15}}{5}

egység.
A

C F

szögfelező hossza az

A C F

háromszögből koszinusztétellel számítható ki,

C F = \sqrt[]{8,64}

egység. (Területszámítás alkalmazásával is dolgozhatunk.)

6. Jelölje

f (x)

az adott kifejezést. Az abszolút érték definíciójának alkalmazásával

\begin{matrix} f (x) = {\begin{matrix} 4 x + 2, & ha 0 < x \leq \frac{1}{2}, \\ 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{2}, & ha - 1 \leq x \leq 0, \\ - 4 x - 2, & ha - \frac{3}{2} \leq x < - 1. \end{matrix} \end{matrix}

A függvény értéke az adott intervallumokban

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 < f (x) \leq 4, & ha 0 < x \leq \frac{1}{2}, \\ 3 / 2 \leq f (x) \leq 2, & ha - 1 \leq x \leq 0, \\ 2 < f (x) \leq 4, & ha - \frac{3}{2} \leq x < - 1. \end{matrix} \end{matrix}

A függvény legnagyobb értéke

4,

amelyet az

x_{1} = \frac{1}{2}

és az

x_{2} = - \frac{3}{2}

helyeken vesz fel. A függvény legkisebb értéke

\frac{3}{2},

amelyet az

x_{3} = - \frac{1}{2}

helyen vesz fel.

7. Legyen az első egyenlet két gyöke

x_{1}

x_{2},

akkor a második egyenlet két gyöke

2 x_{1}

és

x_{3}

.
Mivel

x_{1}^{2} + p x_{1} - q = 0

és

4 x_{1}^{2} - 6 x_{1} + q = 0

, ezért

5 x_{1}^{2} - 5 p x_{1} = 0

, azaz

x_{1} = 0

vagy

x_{1} = p

.
Ha

x_{1} = 0

, akkor

q = 0

és így

p^{2} = 36

p = 6

vagy

p = - 6

, ha

x_{1} = p

, akkor

p^{2} - 3 p^{2} + q = 0

q = 2 p^{2}

, tehát

9 p^{2} = 36

p^{2} = 4

és így

q = 8

. Ebben az esetben tehát ha

q = 8

, akkor

p = 2

vagy

p = - 2

. (Más módon is dolgozhatunk! Hogyan?)

8. Az egyenletnek

x_{0} = \frac{π}{2} + k π

k \in Z

nem lehet megoldása. Ekvivalens átalakítással:

\begin{matrix} (sin x) (sin 2 x - p) = 0. \end{matrix}

sin x = 0

, akkor

x_{1, n} = n π

n \in Z

mindig megoldás.
a) Ha

p = \frac{1}{2}

, akkor

x_{1, n}

megoldásokon kívül a

sin 2 x = \frac{1}{2}

megoldások is adódnak

\begin{matrix} x_{2, n} = \frac{π}{12} + n π, x_{3, n} = \frac{5 π}{12} + n π, n \in Z . \end{matrix}

p = - \frac{1}{2},

akkor

x_{1, n}

megoldásokon kívül a

sin 2 x = - \frac{1}{2}

megoldásai is adódnak.

\begin{matrix} x_{4, n} = \frac{7 π}{12} + n π, x_{5, n} = \frac{11 π}{12} + n π, \in Z . \end{matrix}

x_{1,0} = 0

és

x_{1,1} = π

megoldások.
Ha

| p | > 1

, akkor ez a két megoldás van.
Ha

p = 0,

akkor

2 x = \frac{n π}{2}

x = 0

x = \frac{π}{2}

x = π

, így

x_{1,0}

és

x_{1,1}

adódik, tehát két megoldás van.
Ha

p = 1

vagy

p = - 1

akkor három megoldás van:

x = \frac{π}{4}

, illetve

x = \frac{3 π}{4}

adódik

x_{1,0}

és

x_{1,1}

mellett.
Ha

0 < p < 1

vagy

- 1 < p < 0,

akkor négy megoldás van,

x_{1,0}

és

x_{1,1}

-en kívül

x = \frac{α}{2}

és

x = \frac{π}{2} - \frac{α}{2}

, ahol

0 < α < \frac{π}{2}

, illetve

x = \frac{β}{2}

és

x = \frac{3 π}{2} - \frac{β}{2}

, ahol

\frac{π}{2} < β < \frac{3 π}{2}