Cím: Megoldásvázlatok, eredmények az 1992. áprilisi szám mérőlapjához
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1992/május, 197 - 198. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az n oldalú szabályos sokszög egy külső szöge (fokokban mérve) 360∘n. A feltétel szerint n-18=360∘n, ahonnan n=30, hiszen n pozitív egész szám. A szabályos sokszög 30 oldalú.

 
2. a) Mivel x4-6x2+8=(4-x2)(2-x2), ezért x4-6x2+84-x2<0 pontosan akkor, ha 2-x2<0 és x2≠4. Az adott kifejezés értéke akkor negatív, ha x<-2, -2<x<-2, 2<x<2, x>2 valamelyike teljesül.
b) log12cosx-1<0 pontosan akkor, ha log12cosx<1. Az 12 alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton csökkenő, ezért cosx>12, tehát
-π3+2kπ<x<π3+2kπ,k∈Z.

c)
f(x)=|x-2|-|x+2|+x={x-2-(x+2)+x=x-4,ha   x≥2,-x+2-(x+2)+x=-x,ha -2<x<2,-x+2-(-x-2)+x=x+4,ha x≤-2.

f(x)<0 pontosan akkor, ha vagy x<-4, vagy 0<x<4.
3. A feltétel szerint a5=a1+4d=35ésa50=a1+49d=260,ezérta1=15ésd=5.
Az elhagyott sorozat első eleme 15, differenciája 10, így az első n elem összege S1=n2[30+(n-1)⋅10].
A megmaradt sorozat első eleme 20, differenciája 10, így az első n elem összege S2=n2[40+(n-1)⋅10].
 


S1S2=n+2n+3>1-11003ha1-1n+3>1-11003,azaz ha1n+3<11003,n>1000.


A szóban forgó hányados n>1000, n∈N+ számokra nagyobb, mint 1-11003.
4. A D csúcspont rajta van a C ponton áthaladó, az AB egyenessel párhuzamos egyenesen, amelynek egyenlete 2x+3y=1, valamint az A középpontú, BC=10 egység sugarú körvonalon, amelynek egyenlete (x-2)2+(y+4)2=10.
A CD egyenesnek és a szóban forgó körnek két közös pontja van, D1(5;-3) és D2(2313;-1113), a feltételeknek tehát két trapéz felel meg.
5. Emeljük négyzetre az első egyenletet, valamint alakítsuk szorzattá a második egyenlet bal oldalán álló kifejezést
x2+4y2+4xy=1,xy(x2+4y2)=-410.
Legyen xy=zésx2+4y2=u, ahol tehát u≥0. Az új ismeretlenekkel

u+4z=1,z⋅u=-410,
ahol u≥0miattz<0.u kiküszöbölésével
4z2-z-410=0,
így z=-10.
 

Az
x+2y=1,xy=-10
egyenletrendszer x1=5,y1=-2  ésx2=-4,y2=52 megoldásai egyben az adott egyenletrendszer megoldásai is.
6. Jelölje a forgáskúp alapkörének sugarát R, magasságát m, alkotójának hosszát a, a gömb sugarát r. A szóban forgó alakzat tengely‐síkmetszete 2R alapú, m magasságú, a szárú egyenlő szárú háromszög a beírt r sugarú körével, így a kör középpontjából a szárra bocsátott merőleges szakasz hossza r.
Az így keletkezett derékszögű háromszögek hasonlóságából aR=m-rr, ahonnan a+R=mRr. A két térfogat arányából π3⋅R2m/(π3⋅4r3)=3, ahonnan R2m=12r3.
A forgáskúp és a gömb felszínének aránya az előző összefüggések felhasználásával
R(R+a)π4r2π=R⋅mRr4r2=R2m4r3=12r34r3=3.
7. Jelölje a két befogót a és b, az átfogót c. A feltételek szerint
a+b+c=ab2ésc2=a2+b2.
A c2-re kapott kifejezéseket egyenlővé téve, majd a>0, b>0-t felhasználva átalakításokkal
(a-4)(b-4)=8adódik.


a,b,c természetes számok, így a=b,valaminta<4,b<4 nem lehetséges. Feltehetjük, hogy a>b>4. Ekkor
b-4=1vagyb-4=2,azazb=5,a=12,c=13vagyb=6,a=8,c=10.
A feltételeknek két derékszögű háromszög felel meg, ezek oldalainak hossza 5,12,13,illetve6,8,10 egység.
8. Ha p=1, akkor a függvény lineáris, így nincs legnagyobb helyettesítési értéke.
Ha p≠1, akkor azonos átalakításokkal
 
(1-p)x2-2(2p+1)x-4p-1=(1-p)(x-2p+11-p)2-(2p+1)21-p-4p-1.
A függvénynek 1-p<0 feltétel mellett az x0=2p+11-p helyen van legnagyobb értéke, ez a legnagyobb érték most 8, tehát
-(2p+1)21-p-4p-1=8,ahonnanp=10.
A függvénynek p=10 esetén 8 a legnagyobb helyettesítési értéke (amit az x0=73 helyen vesz fel).