A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Az oldalú szabályos sokszög egy külső szöge (fokokban mérve) A feltétel szerint ahonnan hiszen pozitív egész szám. A szabályos sokszög oldalú. 2. a) Mivel , ezért pontosan akkor, ha és . Az adott kifejezés értéke akkor negatív, ha , , , valamelyike teljesül. b) pontosan akkor, ha . Az alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton csökkenő, ezért tehát c) | |
f(x)<0 pontosan akkor, ha vagy x<-4, vagy 0<x<4. 3. A feltétel szerint a5=a1+4d=35ésa50=a1+49d=260,ezérta1=15ésd=5. Az elhagyott sorozat első eleme 15, differenciája 10, így az első n elem összege S1=n2[30+(n-1)⋅10]. A megmaradt sorozat első eleme 20, differenciája 10, így az első n elem összege S2=n2[40+(n-1)⋅10].
S1S2=n+2n+3>1-11003ha1-1n+3>1-11003,azaz ha1n+3<11003,n>1000.
A szóban forgó hányados n>1000, n∈N+ számokra nagyobb, mint 1-11003. 4. A D csúcspont rajta van a C ponton áthaladó, az AB egyenessel párhuzamos egyenesen, amelynek egyenlete 2x+3y=1, valamint az A középpontú, BC=10 egység sugarú körvonalon, amelynek egyenlete (x-2)2+(y+4)2=10. A CD egyenesnek és a szóban forgó körnek két közös pontja van, D1(5;-3) és D2(2313;-1113), a feltételeknek tehát két trapéz felel meg. 5. Emeljük négyzetre az első egyenletet, valamint alakítsuk szorzattá a második egyenlet bal oldalán álló kifejezést
x2+4y2+4xy=1,xy(x2+4y2)=-410.
Legyen xy=zésx2+4y2=u, ahol tehát u≥0. Az új ismeretlenekkel
u+4z=1,z⋅u=-410,
ahol u≥0miattz<0.u kiküszöbölésével így z=-10. Az
x+2y=1,xy=-10
egyenletrendszer x1=5,y1=-2 ésx2=-4,y2=52 megoldásai egyben az adott egyenletrendszer megoldásai is. 6. Jelölje a forgáskúp alapkörének sugarát R, magasságát m, alkotójának hosszát a, a gömb sugarát r. A szóban forgó alakzat tengely‐síkmetszete 2R alapú, m magasságú, a szárú egyenlő szárú háromszög a beírt r sugarú körével, így a kör középpontjából a szárra bocsátott merőleges szakasz hossza r. Az így keletkezett derékszögű háromszögek hasonlóságából aR=m-rr, ahonnan a+R=mRr. A két térfogat arányából π3⋅R2m/(π3⋅4r3)=3, ahonnan R2m=12r3. A forgáskúp és a gömb felszínének aránya az előző összefüggések felhasználásával
| R(R+a)π4r2π=R⋅mRr4r2=R2m4r3=12r34r3=3. | 7. Jelölje a két befogót a és b, az átfogót c. A feltételek szerint A c2-re kapott kifejezéseket egyenlővé téve, majd a>0, b>0-t felhasználva átalakításokkal
a,b,c természetes számok, így a=b,valaminta<4,b<4 nem lehetséges. Feltehetjük, hogy a>b>4. Ekkor
b-4=1vagyb-4=2,azazb=5,a=12,c=13vagyb=6,a=8,c=10.
A feltételeknek két derékszögű háromszög felel meg, ezek oldalainak hossza 5,12,13,illetve6,8,10 egység. 8. Ha p=1, akkor a függvény lineáris, így nincs legnagyobb helyettesítési értéke. Ha p≠1, akkor azonos átalakításokkal | (1-p)x2-2(2p+1)x-4p-1=(1-p)(x-2p+11-p)2-(2p+1)21-p-4p-1. | A függvénynek 1-p<0 feltétel mellett az x0=2p+11-p helyen van legnagyobb értéke, ez a legnagyobb érték most 8, tehát | -(2p+1)21-p-4p-1=8,ahonnanp=10. | A függvénynek p=10 esetén 8 a legnagyobb helyettesítési értéke (amit az x0=73 helyen vesz fel). |