Cím: Olimpia'92
Füzet: 1992/április, 170 - 171. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1992. február 14-én került sor a moszkvai Nemzetközi Matematikai Diákolimpiára előkészítő első versenyre. Az olimpia ‐ előzetes értesítés szerint ‐ július 10-e és 21-e között kerül megrendezésre.
A következő példasorban minden egyes kérdésre egy-egy nem negatív egész a válasz, a versenyzőknek csak ezt kellett közölniük. A helyes válaszok a 176. oldalon találhatók.

 
A verseny feladatai:
 
1. Adjuk meg az x egész legnagyobb olyan értékét, amelyre x2+2x+3 is egész.
2. Egy táblára úgy akarunk felírni pozitív egész számokat, hogy ezek bármely részhalmazában a számok összege ne legyen osztható 92-vel. Legfeljebb hány számot írhatunk fel, ha egyetlen számot is tekinthetünk összegnek?
3. Mi a harmadik tagja annak a növekvő mértani sorozatnak, amelynek 100 és 1000 közé eső tagjai különböző egészek, és e két határ közé a lehető legtöbb tagja esik, első tagja nagyobb 100-nál?
4. Egy ország közlekedési vállalata bejelenti, hogy az ország 21 városa között n számú autóbuszjáratot létesít; egy járat pontosan két várost köt össze. Legalább mekkora n, ha a lakosság biztos abban, hogy ‐ esetleg átszállásokkal ‐ bármely városból bármely városba el tud jutni a vállalat vonalain?
5. Az ABCD négyzet belső P pontjára PA=1,PB=2,PC=3. Hány fokos az APB∢?
6. Hány rácspont van az ABCD paralelogramma belsejében, ha három csúcsa: A(2;22),B(4;1),C(25;3)?
7. Egy négyszög oldalainak a hossza, ebben a sorrendben: 5,7,12,230. Hány fokos az átlók hajlásszöge?
8. Legfeljebb hány éle lehet egy 30 csúcsú gráfnak, ha bármely két, éllel összekötött csúcshoz található olyan csúcs, amely a két csúcs egyikével sincs összekötve?
9. a,b,c,d olyan pozitív egészek, amelyekre a+b=cd és c+d=ab teljesül. Mekkora lehet maximálisan a+b+c+d?
10. Határozzuk meg 9999-5151 utolsó két jegyét!
11. Legfeljebb hány hegyesszöge lehet egy 30 oldalú sokszögnek?
12. Mekkora a
{1⋅1992+100121}+{2⋅1992+100121}+...+{121⋅1992+100121}
összeg, ha {x} az x törtrészét jelenti?
13. Az egységkörbe írt szabályos n szög oldala an. Határozzuk meg n legkisebb értékét, amelyre an2=an+12+a2n2 teljesül.
14. Képezzük az {1,2,3,...,1991} halmaz összes nem üres részhalmazát; az egy részhalmazban levő számokat szorozzuk össze és vegyük a szorzat reciprokát, majd ezeket adjuk össze. Mekkora ez az összeg? (Egytényezős szorzatokat is értelmezünk.)
15. Legfeljebb mekkora lehet az (n2+150) sorozat két szomszédos tagjának a legnagyobb közös osztója?