A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. A befogókat ezúttal és -vel, az átfogót -vel jelölve a keresett súlyvonal hosszára . Az adatokból Pitagorasz tételével és , összegük ötödrésze , tehát egység. ‐ Célhoz értünk a befogók külön-külön való kiszámítása nélkül is. 2. A körhöz -ből húzott két szelő szakaszainak szorzata egyenlő, , innen és . A -re a háromszögből . A keresett terület | | Mérethű ábra szerkesztése: 1. oldalaiból a háromszög, 2. az osztópont, 3. kör a pontokon át, végül 4. ebből kimetszi -t. 3. A bal oldalnak akkor van értelme, ha egyrészt az alap , de , azaz , de , és ekkor a jobb oldalon , másrészt ha a zárójelben pozitív, ez kizárja a értékeket. Mármost ha az alapra , azaz , akkor a logaritmus-függvény monoton növő, a követelmény: , rendezve , azaz . Egybevetve a követelményeket, megoldás, ha és ha . A bal oldal értéke pl. mellett és mellett , valóban kisebbek, mint 2. Ha pedig az alapra , akkor , tehát ha és ha . Egybevetve . Az adott egyenlőtlenség teljesül, ha , de és ha . 4. A helyettesítés után a négyzetgyökjel alatt áll, tehát az egyenlet Ez teljesül, ha a jobb oldal nem negatív: és 5. Az háromszögben -nél derékszög van. távolsága -től . A térfogat akkor a legnagyobb, ha e lap forgatásával legmagasabbra jut, vagyis ha ez a lap merőleges az alapra. Ekkor a térfogat térfogategység. Ekkor és is derékszögű háromszögek, , egység. 6. Az egyenlő szárú derékszögű háromszög területe 200 területegység, a levágott háromszögé 96 területegység. Legyen abszcisszája , vetülete -re , ekkor és , ezekkel területe , tehát . ordinátája 4, a keresett egyenlet , másképpen . 7. A gyökvonás miatt csak -ról lehet szó, és ekkor . A diszkriminánsra , a második tényező nem lehet negatív. és két egyenlő gyök adódik, ha ‐ ekkor ‐ és ha , azaz , ekkor . esetén két különböző valós gyök van: | | 8. A három ismeretlen szerepe egyenrangú. Nullára redukálások után bármelyik két egyenlet különbsége szorzattá alakítható. Az első kettőből , a megoldás kettéágazik aszerint, hogy Ezt ismételve a második és harmadik egyenletre: Ezeknek az elsőfokú egyenleteknek a négyféle párbaállítása mellé bármelyiket vehetjük az eredeti másodfokú egyenletek közül, mindegyik esetben két megoldást kapunk. Az első kettőben és közös értékük , illetve . A további 3‐3 megoldás az és a számhármasok permutálásával adódik. Lényegében tehát négy különböző számhármas elégíti ki az egyenletrendszert. Harmadszor nem ismételhettük volna a fenti fogást, gyökrendszert vesztenénk, mert az úgy adódó egyenletet már megkaphatnánk, mint -t is és mint -t is. |