Kezdőlap


Cím:	A tetraéder köré írt gömbről
Szerző(k):	Reiman István
Füzet:	1992/december, 433 - 437. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög és a tetraéder geometriájában számos párhuzam fedezhető fel. A háromszögekre vonatkozó tételek tekintélyes részének a megfelelője megtalálható a tetraéderek körében is. Egyik legjellegzetesebb példája ennek a tetraéderbe írt gömb sugarának a meghatározása, amely pontosan ugyanazt az utat követi, mint a háromszögbe írt kör sugarának a kiszámítása, és ennek megfelelően a két eredmény szerkezete is megegyezik; a háromszögbe írt kör $r$ sugara:

\begin{matrix} r = \frac{2 t}{k}, \end{matrix}

ahol

t

a háromszög területe,

k

pedig a kerülete; a tetraéderbe írt gömb

ϱ

sugara:

\begin{matrix} ϱ = \frac{3 V}{A}, \end{matrix}

ahol a

V

a tetraéder térfogata,

A

pedig a felszíne.
Ugyanekkor azt is meg szokták említeni, hogy ezt a párhuzamot már nem találjuk meg, ha a háromszög köré írt kör, ill. a tetraéder köré írt gömb sugarát akarjuk kifejezni a háromszög, ill. a tetraéder néhány jellegzetes alapadatának a segítségével.
A következőkben mégis megadunk e két sugártípusra egy szerkezetileg teljesen hasonló kiszámítási módot, a háromszögnél ez némileg bonyolultabb a szokásos eljárásnál.
Felhasználunk egy egyszerű (kettős) segédtételt:
1. Ha az

A B C

háromszögnél a

B'

ill.

C'

A

-ból induló oldalakat tartalmazó félegyeneseknek egy-egy pontja, akkor az

A B C

háromszög

t

és az

A B' C'

háromszög

t'

területének az aránya:

\begin{matrix} t : t' = A B \cdot A C : (A B' \cdot A C') . \end{matrix}

2. Ha az

A B C D

tetraédernél

B', C', D'

A

-ból induló éleket tartalmazó félegyenesek egy-egy pontja, akkor az

A B C D

tetraéder

V

és az

A' B' C' D'

tetraéder

V'

térfogatának az aránya:

\begin{matrix} V : V' = A B \cdot A C \cdot A D : (A B' \cdot A C' \cdot A D') . \end{matrix}

Az első rész állítása közvetlenül következik abból, hogy

2 t = A B \cdot A C sin γ

és

2 t' = A B' \cdot A C' sin γ

, ahol

γ = B A C ∢

1. ábra

A második résznél figyeljük meg (1. ábra), hogy ha

B A C ∢ = γ

és az

A D

félegyenes az

A B C

síkkal

φ

szöget zár be, akkor a két tetraédernél az alapháromszögek területei

\frac{1}{2} A B \cdot A C sin γ,

ill.

\frac{1}{2} A B' \cdot A C' sin γ,

a hozzájuk tartozó magasságok

A D sin φ

, ill.

A D' sin φ

, ezért térfogataik:

\begin{matrix} V = \frac{1}{6} A B \cdot A C \cdot A D sin γ sin φ és V = \frac{1}{6} A B' \cdot A C' \cdot A D' sin γ sin φ, \end{matrix}

amiből már közvetlenül következik a segédtétel állítása.

2. ábra

A háromszög köré írt kör

R

sugarának a kiszámításához válasszuk ki a háromszög egy olyan csúcsát, amelyből induló oldalak egyike sem tartalmazza a kör

O

középpontját (a 2. ábrán ez az

A

csúcs); a háromszögnél a szokásos jelöléseket alkalmazzuk. Az

A

-ból induló körátmérő másik végpontja legyen

P .

P

pontbeli

e'

körérintő az

A B

, ill.

A C

oldalegyeneseket a

B'

, ill.

C'

pontokban metszi,

e'

nyilván párhuzamos a kör

A

pontbeli érintőjével,

e

-vel. A kerületi szögek tétele szerint

e

A B

oldalegyenessel a

γ

-val egyenlő

γ_{1}

szöget zárja be, viszont

γ_{1} = A B' C' ∢ = γ_{2}

, mivel váltószögek. Így az

A B C

és

A C' B'

hasonló háromszögek, minthogy két-két szögük egyenlő; hasonlóságukból következik, hogy megfelelő oldalaik aránya egyenlő:

\begin{matrix} \frac{a}{B' C'} = \frac{c}{A C'}, B' C' = \frac{a \cdot A C'}{c} . \end{matrix}

A P B'

derékszögű háromszögben

P B

merőleges

A B'

-re, mivel

A P

körátmérő,

P B

tehát az átfogóhoz tartozó magasság. A befogó-tétel szerint

4 R^{2} = c \cdot A B';

hasonlóan kapjuk az

A P C'

derékszögű háromszögből, hogy

4 R^{2} = b \cdot A C',

ezekből

\begin{matrix} A B' = \frac{4 R^{2}}{c}, A C' = \frac{4 R^{2}}{b}, és így B' C' = \frac{4 R^{2} \cdot a}{b c} . \end{matrix}

(1)

Segédtételünk 1. részéből következik, hogy ha

A B C

területe

t

A B' C'

területe pedig

t'

, akkor

\begin{matrix} t' = \frac{t A B' \cdot A C'}{b c} . \end{matrix}

Viszont az

A B' C'

háromszögben a

B' C'

oldalhoz tartozó magasság

A P = 2 R,

ezért

\begin{matrix} t' = B' C' \cdot R . \end{matrix}

E két területkifejezés jobb oldalai tehát egyenlők, végezzük el bennük az

(1)

-ből adódó helyettesítéseket:

\begin{matrix} \frac{t}{b c} \cdot \frac{4 R^{2}}{c} \cdot \frac{4 R^{2}}{b} = \frac{4 R^{3} \cdot a}{b c}, \end{matrix}

egyszerűsítések és rendezés után ebből a jól ismert

\begin{matrix} R = \frac{a b c}{4 t} \end{matrix}

képletet kaptuk.
Térjünk most rá a tetraéder köré írt gömb sugarának a meghatározására. Legyen az

A B C D

tetraéder térfogata

V

, a köré írt gömb középpontja

O

, sugara

R

; vezessük be továbbá az

A B = c

C D = c_{1}

A C = b

B D = b_{1}

A D = a

B C = a_{1}

jelöléseket (tehát a tetraéder szemközti éleit jelöljük ugyanazzal a betűvel).

3. ábra

Vizsgálataink egyszerűsítése céljából válasszuk ki a tetraéder egy olyan csúcsát, amelyen átmenő élek egyike sem tartalmazza

O

-t, legyen ez

A

(3. ábra). Az

A

-n átmenő gömbátmérő

A

-val ellentétes végpontja legyen

P

. A gömb

P

pontbeli érintősíkja az

A B

A C

A D

egyeneseket rendre a

B'

C'

D'

pontokban metszi. Mivel az érintősík merőleges

A P

-re, az

A P B'

A P C'

A P D'

derékszögű háromszögek.
Minthogy

A P

gömbátmérő,

A B

merőleges

P B

-re, ezért az

A P B'

derékszögű háromszögben

P B

az átfogóhoz tartozó magasság.
Alkalmazzuk erre a háromszögre a befogó-tételt:

\begin{matrix} A B \cdot A B' = A P^{2}, azaz c \cdot A B' = 4 R^{2}, \end{matrix}

ebből:

\begin{matrix} A B' = \frac{4 R^{2}}{c}, \end{matrix}

(2)

hasonlóan kapjuk:

\begin{matrix} A C' = \frac{4 R^{2}}{b} és A D' = \frac{4 R^{2}}{a} . \end{matrix}

(3)

Ebből is következik, hogy az

A B C

és

A C' B'

háromszögek hasonlók, mivel (2)-ből és (3)-ból

\begin{matrix} \frac{c}{b} = \frac{A B}{A C} = \frac{A C'}{A B'} \end{matrix}

adódik, a két háromszög tehát megegyezik egy szögben és az azt közrefogó oldalak arányában. A hasonlóság következménye, hogy

\begin{matrix} \frac{B C}{B' C'} = \frac{A B}{A C'}, \end{matrix}

vagyis (3) felhasználásával

\begin{matrix} \frac{a_{1}}{B' C'} = \frac{c b}{4 R^{2}}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} B' C' = \frac{4 R^{2}}{a b c} a a_{1}, \end{matrix}

hasonlóan kapjuk:

\begin{matrix} C' D' = \frac{4 R^{2}}{a b c} c c_{1} \end{matrix}

és

\begin{matrix} D' B' = \frac{4 R^{2}}{a b c} b b_{1} . \end{matrix}

Eredményünk azt jelenti, hogy
(*) létezik olyan

H

háromszög, amelynek oldalai

a a_{1}

b b_{1}

c c_{1}

,
hiszen

B' C' D'

-re

\frac{a b c}{4 R^{2}}

arányú hasonlóságot alkalmazva éppen a

H

háromszöget kapjuk meg. Ha

H

területét

T

-vel jelöljük,

B' C' D'

területe:

\begin{matrix} \frac{16 R^{4}}{a^{2} b^{2} c^{2}} T . \end{matrix}

Segédtételünk 2. része szerint az

A B' C' D'

tetraéder térfogata (2) és (3) felhasználásával

\begin{matrix} V' = \frac{V \cdot A B' \cdot A C' \cdot A D'}{a b c} = \frac{V \cdot 64 R^{6}}{a^{2} b^{2} c^{2}} . \end{matrix}

Viszont az

A B' C' D'

tetraéder

B' C' D'

lapjához

2 R

hosszúságú magasság tartozik, ezért térfogata,

V'

az alapterületből és a magasságból kiszámítható:

\begin{matrix} V' = \frac{16 R^{4} \cdot T}{a^{2} b^{2} c^{2}} \cdot \frac{2 R}{3} = \frac{32 R^{5} T}{3 a^{2} b^{2} c^{2}} . \end{matrix}

A térfogat két kifejezésének egyenlőségéből kapjuk,hogy

\begin{matrix} \frac{V \cdot 64 R^{6}}{a^{2} b^{2} c^{2}} = \frac{32 R^{5} T}{3 a^{2} b^{2} c^{2}}, \end{matrix}

amiből a tetraéder köré írt gömb sugárképlete:

R = \frac{T}{6 V} .

A képletnek ezt a formáját von Staudt (1798‐1867) német matematikusnak tulajdonítják. Eszerint:

a tetraéder köré írt gömb sugárhosszát úgy kapjuk meg, hogy annak a háromszögnek a területét, amelynek oldalai a szemközti élek szorzatával egyenlő, elosztjuk a tetraéder térfogatának a hatszorosával.

Megjegyzések: 1. A háromszög köré írt kör sugárképletét úgy is felfoghatjuk, hogy a sugarat a háromszög oldalaival fejezzük ki, hiszen a terület Heron képlete alapján az oldalakból kiszámítható.

Ugyanez a tetraéder sugárképletéről is elmondható, mivel a tetraéder térfogata kifejezhető az élek segítségével. Ezt a nem túl egyszerű kifejezést determináns alakjában szokás megadni (l. pl. Hajós György: Bevezetés a geometriába, 318 old.).

2. Levezetéseinkben a

P

pont kiválasztására vonatkozó kikötés nem lényeges, a

P

bármelyik csúcson átmenő átmérő végpontja lehet.

3. Meggondolásainkban egyes részeredmények a térgeometria több érdekes mozzanatára világítanak rá. A tetraéder köré írt gömb csúcsokhoz tartozó érintősíkjaival párhuzamos síkok mind a

H

háromszöghöz hasonló háromszögben metszik a tetraédert. A 3. ábrán észrevehetjük, hogy a

B C C' B'

és

D C C' D'

négyszögek húrnégyszögek. Ebből következik, hogy a

B C D

és

B' C' D'

háromszögek egy gömbön vannak, és minden olyan gömb, amely a tetraéder valamelyik lapháromszögének három csúcsán átmegy, a háromszögön kívüli élekből

H

-hoz hasonló háromszöget metsz ki.

(*)

-gal jelzett eredményünk egy érdekes következménye: Ha

P

A B C

szabályos háromszög síkján kívüli pont, akkor a

P A

P B

P C

, szakaszokból mindig szerkeszthető háromszög. (Könnyen bizonyítható, hogy ez csak szabályos háromszögre igaz).

Ha a tetraéder lapjai egybevágó háromszögek (egyenlő oldalú tetraéder), akkor szemközti élei szükségképpen egyenlő hosszúak.

(*)

ebben az esetben azt mondja ki, hogy ha a tetraéder lapjainak oldalhosszai

a

b

c

, akkor létezik

a^{2}

b^{2}

c^{2}

oldalú háromszög is. Ez azonban azt jelenti, hogy pl.

a^{2} + b^{2} > c^{2}

, ami egyenértékű azzal, hogy az

a

és a

b

oldalak szöge hegyesszög, tehát az egyenlő oldalú tetraéder lapjai szükségképpen hegyesszögű háromszögek.

4. Felmerül a kérdés, hogy fel lehet-e venni a tetraéder élein egy-egy belső pontot úgy, hogy az egy csúcsból induló éleken lévő pontok egy

H

-hoz hasonló háromszög csúcsai legyenek. Ha ez lehetséges, akkor a hat felvett pont konvex burka egy nyolc háromszöggel határolt test (négyszögre épített kettős gúla, ún. általános oktaéder), amelynek négy lapja

H

-hoz hasonló. Megmutatható, hogy ez lehetséges abban az esetben, ha a tetraéder magasságpontos (ortocentrikus), azaz magasságai egy ponton mennek át és lapjai hegyesszögű háromszögek. Ennek az oktaédernek érdekes tulajdonsága, hogy a szóban forgó tetraéderbe írható oktaéderek közül ennek az élösszege a legkisebb.