Sok matematika könyv egymástól eltérően definiálja az exponenciális függvényeket.
Például: Matematikai Feladatok Gyűjteménye (Tankönyvkiadó 10121/II. 188. old.): "az olyan kifejezéseket, amelyekben a hatvány alapja is és kitevője is változó, csak abban az esetben értelmezzük, ha az alap pozitív''.
Rácz: Matematika II. 19. old.: "Az alaptól függően négy fajta exponenciális függvény létezik'', $0^x\mathrm{,}{1}^x\mathrm{,}{b}^x\mathrm{,}\text{ ha }b>\mathrm{1,}\text{ illetve }0<b<1$.
Hajnal‐Nemetz‐Pintér: Matematika III. (Fakultáció B), (Tankönyvkiadó 13331/B. 252. old.): "$h$ : $\text{R}\to \text{R}\mathrm{,}h\left(x\right)=a^x\left(a>\mathrm{0,}a\ne 1\right)$ függvényeket exponenciális függvényeknek nevezzük.''
Ezek kétségtelenül azok, de vajon csak ők az exponenciális függvények? Hiszen a mértani sorok kapcsán vizsgáljuk például a $\underset{x\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}{q}^x$ határérték létezését minden $|q|<1$ esetén.
Kövessük nyomon az exponenciális függvény fogalmának kialakítását. Az általános iskolában először a pozitív egész kitevőjű hatványokkal találkozunk. Itt az alap nem kérdéses, $a^k\left(k>0\text{ és egész}\right)$ $k$ darab $a$ szorzatát jelenti. Ha $x$ pozitív egész, az $x\mapsto a^x$ függvény grafikonja diszkrét pontok halmaza (1.ábra).

 

1. ábra

ak(a0-1)=0,a⋅a⋅...⋅a︸kdb(a0-1)=0. Ha $a\ne 0$, ez az egyenlőség akkor és csak akkor igaz, ha megállapodunk az $a^0=1$ (ha $a\ne 0$) definícióban. Ha $a=0$, az egyenlőség az utolsó tényező tetszőleges értéke mellett is teljesül, ezért $0^x$-nek az $x=0$ helyen nem adunk helyettesítési értéket.
Az egész kitevőjű hatvány fogalmához ismét a felsorolt azonosságok permanenciája révén jutunk. Ha $k>0$ és egész, $a^k\cdot a^{-k}=a^0$, ha $a\ne 0$, amely akkor igaz, ha $a^{-k}=\frac{1}{a^k}$, vagyis a $0$-tól különböző alapok esetén minden egész kitevőjű hatványt értelmezhetünk. A $0$-nak eddig csak pozitív egész kitevőjű hatványát sikerült definiálnunk. A függvények grafikonja most is diszkrét pontok halmaza, de igen jellemző tulajdonságokkal (2. ábra).

 

 

2. ábra

 

A hatvány fogalmát racionális kitevőre ismét a felsorolt azonosságok permanenciája alapján terjesztjük ki. Ha $p$ és $q$ egész, $q\ne 0$, például $2^{p/q}$ hatványt $q$-adik hatványra emeléssel könnyen vissza lehet vezetni egész kitevős hatványra, s így a célszerű definíció: $2^{p/q}=\sqrt[q]{2^p}$. Itt azonban fellépnek már értelmezési nehézségek. Nem szoktunk negatív kitevőjű gyököket alkalmazni (bár vannak országok, ahol ezt megteszik), de ezen könnyen lehet segíteni: $p<0$ és $q<0$, illetve $p>0$ és $q<0$ esetén $\frac{p}{q}=\frac{-p}{-q}$ miatt el lehet érni, hogy a gyökkitevő pozitív legyen. Nagyobb gond van a $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}$ definíciójával, ha $a<0$, $p$ páratlan és $q$ páros, mert a jobb oldalon álló kifejezésnek nincs értelme a valós számok halmazán. Másrészt $a^{p/q}=a^{\left(2p\right)/\left(2q\right)}=\sqrt[2q]{a^{2p}}$, tehát valós szám. Tehát vagy el kellene fogadnunk, hogy a törtkitevő nem bővíthető, ami aligha lenne célszerű, vagy le kellene mondanunk a negatív alap racionális kitevőjű hatványainak értelmezéséről (ha a racionális kitevő nem egész). Az utóbbit szoktuk tenni. A különböző alapok esetén exponenciális függvényeink a legbővebb értelmezési tartományon a következő grafikonokat adják (3.ábra):

 

 

3. ábra

 

Részletesen vizsgálva függvényeinket, megállapíthatjuk, hogy közülük szigorúan monoton nő $a^x$, ha $a>1$, szigorúan monoton fogy, ha $0<a<1$, konstans értékű, ha $a=0$ vagy $a=1$, nem monoton, de kölcsönösen egyértelmű, ha $-1<a<0$ vagy $a<-1$, nem monoton s nem is kölcsönösen egyértelmű, ha $a=-1$.
Az irracionális kitevőjű hatvány célszerű jelentését keresve az előbbi azonosságok alkalmazásával nem tudjuk a feladatot racionális kitevőjű hatványra visszavezetni.
$2^{\sqrt[]{2}}\cdot 2^q=2^{\sqrt[]{2}+q}$ (ha $q$ racionális, $q+\sqrt[]{2}$ irracionális),
${\left(2^{\sqrt[]{2}}\right)}^q=2^{q\sqrt[]{2}}$ ($q\sqrt[]{2}$ racionális $q$ esetén vagy $0$, és akkor érdektelen, vagy irracionális).
Itt a monotonitás megmaradását érdemes megkövetelnünk. Meg lehet mutatni, hogy ekkor az azonosságok is megmaradnak.
Ha $r$ irracionális szám, tekintsük a racionális számokból álló $q_n\to r$ számsorozatokat, akkor $a>0$ esetén az $a^{q_n}$ sorozat konvergens, és legyen $\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}{a}^{q_n}=a^r$. (Meg kell követelnünk, hogy $a$ ne lehessen negatív, hiszen negatív alapnak csak egész kitevőjű hatványait sikerült értelmeznünk, s a $q_n$ sorozat nem állhat csupa egész számból). $a=0$ esetén nincs probléma, ha $q_n$ elemei pozitív számok, tehát a $0$ pozitív irracionális kitevőjű hatványait is értelmezni tudjuk. Sőt, lehetővé válik $0^0$ határértékkel való definíciója is. (Ez azonban az irodalomban eltérő eredményekhez is vezet. Ha t.i. $0^{q_n}$ ($q_n$ pozitív racionális) sorozatot választjuk, ennek határértéke $0$. Viszont

Általában inkább az utóbbi az elfogadott.)
Összefoglalva tehát:

minden valós kitevőre értelmeztük az $x\mapsto a^x$ függvényt, ha
$\left(1\right)a>\mathrm{1,}$ ekkor a függvény szigorúan monoton nő,
$\left(2\right)a=\mathrm{1,}$ ekkor a függvény konstans,
$\left(3\right)0<a<\mathrm{1,}$ ekkor a függvény szigorúan monoton csökken,
minden pozitív valós kitevőre (és $0$ kitevőre) értelmeztük
$\left(4\right)a=0$ esetén, a függvényérték pozitív kitevőre $0$ ($0$ kitevőre az értéke $1$);
egész kitevőkre értelmeztük az $x\mapsto a^x$ függvényt, ha
${\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle \left(5\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle -1<a<\mathrm{0,}}\\ {\displaystyle \left(7\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{vagy }a<-\mathrm{1,}}\end{array}}\}$ ekkor a függvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, a grafikon pontjai diszkrét pontok, a pontsor "tartója'' páros kitevőre ${\left(-a\right)}^x\mathrm{,}$ páratlan kitevőre $-{\left(-a\right)}^x$ grafikonja;
$\left(6\right)a=-1$, ekkor a függvény páros helyeken $1$, páratlan helyeken $-1$ értéket vesz fel. A különböző alapú exponenciális függvényeket az alaptól függően legbővebb értelmezési tartományukon a $4$.ábra szemlélteti.

 

 

4. ábra

 

Lássunk néhány példát:
${\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle 1.}\hfill & {\displaystyle {\left(-2\right)}^x>\mathrm{5,}x\text{ csak egész lehet és páros; teljesül, ha }x\ge 4.}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle {\left(-2\right)}^x>-\mathrm{7,}x\text{ csak egész lehet; igaz, ha }x<\mathrm{3,}\text{ vagy }x>3\text{ és páros.}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle {\left(-\mathrm{0,5}\right)}^x<\mathrm{2,}x\text{ csak egész lehet; teljesül, ha }x\le -1\text{ és páratlan,vagy }x\ge 0.}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle {\left(-\mathrm{0,5}\right)}^x>-\mathrm{1,}x\text{ csak egész lehet; igaz, ha }x\ge \mathrm{0,}\text{ vagy }x<0\text{ páros }\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$
Érdemes szemügyre vennünk az $x\mapsto x^x$ függvényt a legbővebb értelmezési tartományán. A gondot az értelmezési tartomány okozza: $x>0$ esetén a kitevő bármely valós szám lehet, $x<0$ esetén csak egész szám. $x=0$ pontban nincs helyettesítési érték, viszont van jobb oldali határérték, ami $1$. (Ezért célszerű $0^0$-t az $x^x$ függvény jobb oldali határértékével definiálni.)
Vizsgáljuk meg a függvény menetét. A pozitív számok halmazán ‐ némileg meglepő módon ‐ a függvény előbb monoton fogy, majd helyi minimum után végig szigorúan nő: