A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Sok matematika könyv egymástól eltérően definiálja az exponenciális függvényeket. Például: Matematikai Feladatok Gyűjteménye (Tankönyvkiadó 10121/II. 188. old.): "az olyan kifejezéseket, amelyekben a hatvány alapja is és kitevője is változó, csak abban az esetben értelmezzük, ha az alap pozitív''. Rácz: Matematika II. 19. old.: "Az alaptól függően négy fajta exponenciális függvény létezik'', . Hajnal‐Nemetz‐Pintér: Matematika III. (Fakultáció B), (Tankönyvkiadó 13331/B. 252. old.): " : függvényeket exponenciális függvényeknek nevezzük.'' Ezek kétségtelenül azok, de vajon csak ők az exponenciális függvények? Hiszen a mértani sorok kapcsán vizsgáljuk például a határérték létezését minden esetén. Kövessük nyomon az exponenciális függvény fogalmának kialakítását. Az általános iskolában először a pozitív egész kitevőjű hatványokkal találkozunk. Itt az alap nem kérdéses, darab szorzatát jelenti. Ha pozitív egész, az függvény grafikonja diszkrét pontok halmaza (1.ábra).
1. ábra Vizsgálva az azonosságokat, beláttuk, hogy
Az értelmezést ki akarjuk terjeszteni a kitevőjű hatványra a fenti azonosságok megmaradásával. Legyen pozitív egész, a fenti azonosságok alapján egyenlőségnek teljesülnie kell, azaz Ha , ez az egyenlőség akkor és csak akkor igaz, ha megállapodunk az (ha ) definícióban. Ha , az egyenlőség az utolsó tényező tetszőleges értéke mellett is teljesül, ezért -nek az helyen nem adunk helyettesítési értéket. Az egész kitevőjű hatvány fogalmához ismét a felsorolt azonosságok permanenciája révén jutunk. Ha és egész, , ha , amely akkor igaz, ha , vagyis a -tól különböző alapok esetén minden egész kitevőjű hatványt értelmezhetünk. A -nak eddig csak pozitív egész kitevőjű hatványát sikerült definiálnunk. A függvények grafikonja most is diszkrét pontok halmaza, de igen jellemző tulajdonságokkal (2. ábra).
2. ábra A hatvány fogalmát racionális kitevőre ismét a felsorolt azonosságok permanenciája alapján terjesztjük ki. Ha és egész, , például hatványt -adik hatványra emeléssel könnyen vissza lehet vezetni egész kitevős hatványra, s így a célszerű definíció: . Itt azonban fellépnek már értelmezési nehézségek. Nem szoktunk negatív kitevőjű gyököket alkalmazni (bár vannak országok, ahol ezt megteszik), de ezen könnyen lehet segíteni: és , illetve és esetén miatt el lehet érni, hogy a gyökkitevő pozitív legyen. Nagyobb gond van a definíciójával, ha , páratlan és páros, mert a jobb oldalon álló kifejezésnek nincs értelme a valós számok halmazán. Másrészt , tehát valós szám. Tehát vagy el kellene fogadnunk, hogy a törtkitevő nem bővíthető, ami aligha lenne célszerű, vagy le kellene mondanunk a negatív alap racionális kitevőjű hatványainak értelmezéséről (ha a racionális kitevő nem egész). Az utóbbit szoktuk tenni. A különböző alapok esetén exponenciális függvényeink a legbővebb értelmezési tartományon a következő grafikonokat adják (3.ábra):
3. ábra Részletesen vizsgálva függvényeinket, megállapíthatjuk, hogy közülük szigorúan monoton nő , ha , szigorúan monoton fogy, ha , konstans értékű, ha vagy , nem monoton, de kölcsönösen egyértelmű, ha vagy , nem monoton s nem is kölcsönösen egyértelmű, ha . Az irracionális kitevőjű hatvány célszerű jelentését keresve az előbbi azonosságok alkalmazásával nem tudjuk a feladatot racionális kitevőjű hatványra visszavezetni. (ha racionális, irracionális), ( racionális esetén vagy , és akkor érdektelen, vagy irracionális). Itt a monotonitás megmaradását érdemes megkövetelnünk. Meg lehet mutatni, hogy ekkor az azonosságok is megmaradnak. Ha irracionális szám, tekintsük a racionális számokból álló számsorozatokat, akkor esetén az sorozat konvergens, és legyen . (Meg kell követelnünk, hogy ne lehessen negatív, hiszen negatív alapnak csak egész kitevőjű hatványait sikerült értelmeznünk, s a sorozat nem állhat csupa egész számból). esetén nincs probléma, ha elemei pozitív számok, tehát a pozitív irracionális kitevőjű hatványait is értelmezni tudjuk. Sőt, lehetővé válik határértékkel való definíciója is. (Ez azonban az irodalomban eltérő eredményekhez is vezet. Ha t.i. ( pozitív racionális) sorozatot választjuk, ennek határértéke . Viszont | | Általában inkább az utóbbi az elfogadott.) Összefoglalva tehát:
minden valós kitevőre értelmeztük az függvényt, ha ekkor a függvény szigorúan monoton nő, ekkor a függvény konstans, ekkor a függvény szigorúan monoton csökken, minden pozitív valós kitevőre (és kitevőre) értelmeztük esetén, a függvényérték pozitív kitevőre ( kitevőre az értéke ); egész kitevőkre értelmeztük az függvényt, ha ekkor a függvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, a grafikon pontjai diszkrét pontok, a pontsor "tartója'' páros kitevőre páratlan kitevőre grafikonja; , ekkor a függvény páros helyeken , páratlan helyeken értéket vesz fel. A különböző alapú exponenciális függvényeket az alaptól függően legbővebb értelmezési tartományukon a .ábra szemlélteti.
4. ábra Lássunk néhány példát:
Érdemes szemügyre vennünk az függvényt a legbővebb értelmezési tartományán. A gondot az értelmezési tartomány okozza: esetén a kitevő bármely valós szám lehet, esetén csak egész szám. pontban nincs helyettesítési érték, viszont van jobb oldali határérték, ami . (Ezért célszerű -t az függvény jobb oldali határértékével definiálni.) Vizsgáljuk meg a függvény menetét. A pozitív számok halmazán ‐ némileg meglepő módon ‐ a függvény előbb monoton fogy, majd helyi minimum után végig szigorúan nő:
helyi minimumát felveszi, ha (5.ábra).
5. ábra Mindenesetre, ha , bár ezen az intervallumon nincs kölcsönös egyértelműség. Viszont vagy esetén már van, bár a függvény csak esetén szigorú monoton növő. (Szép példa arra, hogy a szigorú monotonitás a kölcsönösen egyértelműségnek elégséges, de nem szükséges feltétele.) Némileg másképpen alakul a helyzet, ha a függvényt elemezzük a lehető legbővebb értelmezési tartományán. Ez: az -nél nagyobb valós számok, és az -nél kisebb egész számok. Ha , azaz , akkor a kitevő ; -nél nagyobb számok -nál nagyobb hatványai mind nagyobbak -nél. Ha , azaz , akkor , a függvény értéke . Ha , azaz , akkor ; és közötti számok és közé eső hatványai pozitívak és kisebbek -nél. Ha , azaz , a kitevő , a függvény értéke . Ha , azaz , csak akkor van értelmezve, ha egész szám.
Lássunk további példákat. 2. Oldjuk meg az egyenletet. Ha , azaz , a kitevő kell legyen, ez a megengedett kiindulási hal- mazon . Ha , azaz , a kitevő a kiindulási halmaz tetszőleges eleme, de mert az egyelemű, . Ha , azaz , a kitevő kellene, hogy legyen, de a kiindulási halmaznak nincs ilyen eleme. Ha , azaz , a kitevő pozitív kellene legyen, tehát nincs megoldás. Ha , azaz , a kitevő egész és értékű, a kiindulási hal- mazon nincs megoldás. Ha , azaz , a kitevő páros egész, tehát . Ha , azaz , a kitevő egész és értékű, a kitevőnek a kiindulási halmazon nincs helye. Végül is az egyenlet megoldásai: és . 3. Oldjuk meg az egyenletet. Ha az alap pozitív és , azaz , illetve esetben a kitevők tetszőleges, egymással egyező valós számok: , azaz , tehát . Ha az alap , azaz , a függvény konstans, az egyenlőség a kitevőktől füg- getlenül teljesül, . Ha az alap , tehát , a kitevő tetszőleges pozitív szám, esetén és , tehát Ha vagy , azaz vagy , a kitevő csak egész lehet, az ilyen alapú exponenciális függvény egyértelmű, tehát az egyenlőség teljesüléséhez a kitevőknek meg kell egyezni: ezen a kiindulási halmazon egy ilyen gyök van: . Ha , azaz , a kitevőknek egészeknek kell lenni és egyező párosságúnak, mivel ez teljesül, megoldás. Az egyenlet gyökei a valós számok halmazán: . Igazságuk behelyettesítéssel könnyen ellenőrizhető. 4. Oldjuk meg az egyenlőtlenséget: . Ha az alap nagyobb -nél, akkor Ilyen alap esetén az egyenlőtlenség akkor teljesül, ha a kitevő negatív: , azaz, ha . A megoldás első részhalmaza a két halmaz közös része: Ha az alap értéke , az egyenlőtlenség nem teljesülhet: .
Ha , az egyenlőtlenség akkor igaz, ha a kitevő értéke pozitív.
Tehát a kiindulási halmaz: | | Most a megoldás feltétele, hogy ezen a halmazon
Ha az alap értéke , az egyenlőtlenség teljesül, ha a kitevő pozitív valós szám. , ha vagy . Közülük a kitevő akkor pozitív, ha , tehát . Ha az alap értéke és között van, az egyenlőtlenség értelmezve van, ha a kitevő egész, és teljesül is, ha a kitevő pozitív egész, vagy negatív páratlan egész.
A kiindulási halmaz a kettő közös része: | |
A kitevőben szereplő kifejezés: , pozitív értékű, ha vagy , vagyis a kitevő a kiindulási halmaznak részhalmazán pozitív. Mivel ez az intervallum a másodfokú függvény szigorúan monoton csökkenő részén helyezkedik el, a kitevő értékkészletére , tehát ha a kitevő pozitív egész, értéke csak vagy lehet. Az egyenletnek -be eső gyöke , az egyenletnek -be eső gyöke , s mivel feltétellel a kitevő nem lesz negatív páratlan, tehát
Ha , az egyenlőtlenség értelmezve van, ha a kitevő értéke egész szám, és teljesül, ha a kitevő páratlan. , tehát Ezeket az polinomba helyettesítve a helyettesítési érték , tehát nem egész szám. Ezen a részhalmazon a megoldási halmaz üres.
Ha , az egyenlőtlenségben szereplő kifejezés értelmezve van, ha a kitevő helyettesítési értéke egész szám, és az egyenlőtlenség teljesül, ha a kitevő negatív egész, vagy pozitív páratlan egész.
Mivel a kitevőt adó függvény szigorúan monoton csökkenő szakaszára esik, s a kitevőnek ezen az intervallumon a negatív értékei és között vannak, a kitevő lehetséges értékei és . A kitevő ezeket az értékeket rendre a és helyeken veszi fel. A kitevő pozi- tív a intervallumon. Itt a kitevő szigorúan monoton fogy, érték- készlete Így a kitevő akkor pozitív páratlan egész, ha értéke . Ezt a kitevő az helyen veszi fel.Te- hát Összefoglalva a feladat megoldásai:
|