Cím: 1991. Beszámoló a XXXII. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról
Szerző(k):  Reiman István 
Füzet: 1991/szeptember, 248 - 250. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Stockholm felé repülve a magyar csapat kétszer is gyönyörködhetett egy-egy félköríves szivárványban, s ez a szivárványos hangulat végigkísérte diákjaink útját. A csapat többszöri válogatóverseny alapján a következő tagokból állt össze:
Harcos Gergely, az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulója (tanára: Somossy János), Kőszegi Botond, Lakos Gyula, Matolcsi Máté, Szendrői Balázs, Ujvári-Menyhárt Zoltán a Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium III. osztályos tanulói (tanáraik: Kőváry Károly és Surányi László).
A magyar csapat vezetője és egyben a verseny zsűrijének tagja Pelikán József, a helyettes vezető Reiman István volt.
A többszintű felkészülést Pataki János és Reiman István irányították, ez egy kéthetes kalocsai táborozással fejeződött be.
Ezúton szeretnénk köszönetet mondani az olimpiai szakkörök vezetőinek: Blazsekné Licsár Ágnes (Pécs), Cseke Zoltán, Pintér Ferenc (Nagykanizsa), dr. Gehér László, dr. Pintér Lajos (Szeged), dr. Kiss Sándor, Róka Sándor (Nyíregyháza), dr. Kántor Sándor (Debrecen), Láng Hugó (Székesfehérvár), Szabó Kálmán (Miskolc), Zsebők Ottó (Győr) pedagógusoknak, akik egész éves munkájukkal lehetővé tették, hogy minél többen kapcsolódjanak be az olimpiai felkészülésbe.
Köszönjük továbbá Kós Géza, Benczúr Péter, Bíró András, Keleti Tamás, Drasny Gábor, Kecskés Kornél, Hausel Tamás, Sustik Mátyás, Fleiner Tamás egyetemi hallgató, volt olimpikonoknak a válogatóversenyek lebonyolításában és a közvetlen felkészülésben nyújtott segítségüket.
Végül, de nem utolsósorban ezúton mondunk köszönetet az Állami Biztosítónak, az Intellrobot RT-nek, illetve Lovász Lászlónak, Szemerédi Endrének, Gács Péternek, Tardos Gábornak, Boros Endrének, Simonyi Gábornak, továbbá Hoffer Jánosnak és Győry Kálmánnak, akik nagylelkű adományaikkal lehetővé tették, hogy a Matematikai Diákolimpia Alapítvány (MHB 202‐14432) ebben az évben is többé-kevésbé zökkenőmentesen biztosíthassa a felkészülés anyagi hátterét.
Az ezévi verseny színhelyéről, a Stockholm tágabb körzetében fekvő Sigtuna városkáról odaérkezésünkig bizony meglehetősen keveset tudtunk. Ez a kisváros hajdan főváros volt, de erre már csak néhány toronyrom, Svédország legrégebbinek hirdetett utcácskája és a legkisebbnek mondott városháza emlékeztet. Itt van azonban egy gyönyörű tóparton az ország egyik legdrágább ‐ és ezért legkényelmesebb ‐ kollégiuma; ez volt a szállásunk és a verseny színhelye, ennek megfelelő volt az ellátásunk is.
56 ország 318 versenyzője indult a kétnapos küzdelemben; ez a nagy létszám azt jelenti, hogy ott volt minden olyan ország csapata, amelyben számottevő matematikai élet folyik (Albánia kivételével pl. az egész Európa).

 

A verseny hat feladata (zárójelben a feladatot javasló ország):
 

1. Jelöljük az ABC háromszög beírt körének középpontját I-vel, a CAB∢, ABC∢, BCA∢ szögek szögfelezőinek metszéspontját a szemközti oldalakkal pedig rendre A', B', C'-vel. Bizonyítsuk be, hogy
14<AI⋅BI⋅CIAA'⋅BB'⋅CC'≦827.
(USA)
 

2. Legyen n>6 egész szám és a1, a2, ..., ak az összes olyan természetes szám, amely kisebb n-nél és relatív prím n-hez. Tegyük fel, hogy
a2-a1=a3-a2=...=ak-ak-1>0.

Bizonyítsuk be, hogy ekkor n prímszám, vagy 2-nek egész kitevős hatványa.
(Románia)
 

3. Legyen S={1,2,3,...,280}. Határozzuk meg azt a legkisebb n egész számot, amelyre igaz az, hogy S minden n elemű részhalmaza tartalmaz 5 olyan számot, amelyek páronként relatív prímek.
(Kína)
 

4. Legyen a G összefüggő gráf éleinek száma k. Bizonyítsuk be, hogy meg lehet az éleket számozni az 1, 2, 3, ..., k számokkal úgy, hogy minden olyan csúcs esetén, amelyből legalább két él indul ki, az illető csúcsból kiinduló összes élhez rendelt számok legnagyobb közös osztója 1.
[Gráfnak nevezzük csúcsnak nevezett pontok egy halmazát, ahol a két különböző csúcsból álló párok némelyikét élek kötik össze. Bármely két különböző u,v csúcs között legfeljebb egy él halad. A G gráfot összefüggőnek nevezzük, ha bármely két különböző x,y csúcshoz található csúcsoknak egy olyan x=v0,v1,v2,...,vm=y sorozata, hogy minden vi,vi+1(0≦i<m) csúcspárt él köt össze.]
(USA)
 

5. Legyen P az ABC háromszög belső pontja. Bizonyítsuk be, hogy a PAB∢, PBC∢, PCA∢ szögek közül legalább egy kisebb, vagy egyenlő, mint 30∘.
(Franciaország)
 

6. Valós számok egy x0, x1, x2, ... sorozatát korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan C konstans, hogy |xi|≦C minden i≧0-ra.
Minden rögzített a>1 valós számhoz konstruáljunk olyan korlátos, végtelen x0,x1,x2,... sorozatot, amelyre
|xi-xj||i-j|a≧1
teljesül bármely két különböző, nemnegatív i, j egészre.
(Hollandia)
 

Egy-egy feladat teljes megoldásáért 7 pont járt, egy ország tehát maximálisan 252 pontot, egy versenyző pedig 42 pontot szerezhetett. A 42‐39 pontot elért 20 versenyző aranyérmet kapott, az 51 ezüstéremmel és a 84 bronzéremmel a 38‐31, illetve 30‐19 ponthatárok közötti eredményeket jutalmazták.
A magyar diákok ebben az évben is folytatták hagyományosan jó szereplésüket, valamennyien érmesek lettek: Lakos Gyula 42 és Ujvári-Menyhárt Zoltán 41 ponttal aranyérmesek; Harcos Gergely és Szendrői Balázs 35‐35 ponttal, Matolcsi Máté 33 ponttal ezüstérmesek és Kőszegi Botond 23 ponttal bronzérmes.
 

Az összesített pontszámok alapján az élmezőny:
 

Szovjetunió 241 pont, Kína 231 pont, Románia 225 pont, Németország 222 pont, USA 212 pont, Magyarország 209 pont, Bulgária 192 pont, Irán 191 pont, Vietnam 191 pont, India 187, Csehszlovákia 186 pont. (Észak-Korea csapatát a verseny után szabálytalanságok miatt kizárták.)
 

A július 15‐23 közötti ottlétünk alatt részt vettünk egy uppsalai és egy stockholmi kiránduláson, hajón látogattuk meg a skoklosteri kastélymúzeumot, továbbá egy környékbeli IBM központot.
Az uppsalai záróünnepségen a szovjet küldöttség meghívta a résztvevőket a jövő évi, Szovjetunióban rendezendő versenyre.