Kezdőlap


Cím:	Olimpia'91 (2.)
Füzet:	1991/április, 169 - 171. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1991. február 15-én került sor a második előkészítő versenyre ‐ ezúttal is ,,amerikai rendszerben'', azaz a 15 feladatra csak a 15 választ (pozitív egész szám) kellett leírni.

A verseny eredménye:

1. Matolcsi Máté III. o. t., Bp. Fazekas Gimn. 14; 2.Kőszegi Botond III. o. t., Bp. Fazekas Gimn. 13; 3‐5.Harcos Gergely IV. o. t., Bp. Apáczai Gimn., Pór Attila III. o. t., Bp. Fazekas Gimn., Szendrői Balázs III. o. t., Bp. Fazekas Gimn. 12; 6‐7 Nagy Benedek IV. o. t., Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., Szalkai Ákos IV. o. t., Bp. Fazekas Gimn. 11; 8‐9. Lakos Gyula III. o. t., Bp. Fazekas Gimn., Nemes Norbert III. o. t., Bp. Fazekas Gimn. 10 találat.

A verseny feladatai:^{$^{*}$}

1. Két nemnegatív egész által alkotott (

m, n

) rendezett számpárt "egyszerűnek'' hívunk, ha

m

és

n

10-es számrendszerbeli összeadásakor egyik helyiértéknél sincs átvitel. Hány olyan "egyszerű''

(m, n)

rendezett nemnegatív számpár van, amelyben

m + n = 1492 ?

2. Legfeljebb milyen távol lehet egymástól két pont, amelyek közül egyik a

(- 2; - 10; 5)

középpontú 19 sugarú, másik a

(12; 8; - 16

) középpontú 87 sugarú gömb felszínén helyezkedik el?

3. Egy természetes szám valódi osztóján a szám 1-től és önmagától különböző pozitív egész osztóját értjük. Nevezzünk ,,szép''-nek egy 1-nél nagyobb természetes számot, ha megegyezik valódi osztóinak szorzatával! Mi az első tíz "szép'' szám összege?

4. Határozzuk meg az

| x - 60 | + | y | = | x / 4 |

egyenletű görbe által határolt tartomány területét!

5. Határozzuk meg

3 x^{2} y^{2}

értékét, ha

x

és

y

olyan egészek, amelyekre

\begin{matrix} y^{2} + 3 x^{2} y^{2} = 30 x^{2} + 517. \end{matrix}

6. Az

A B C D

téglalapot 5 szakasszal felosztottuk 4 egyenlő területű részre az ábra szerint. Tudjuk, hogy

X Y = Y B + B C + C Z = Z W = W D + D A + A X

és

P Q

párhuzamos

A B

-vel. Milyen hosszú az

A B

szakasz, ha

B C = 19

és

P Q = 87 ?

7. Jelöljük

[r, s]

-sel az

r

és

s

pozitív egész számok legkisebb közös többszörösét! Hány olyan pozitív egészekből álló rendezett

(a, b, c)

számhármas van, amelyre

[a, b] = 1000

[b, c] = 2000

és

[c, a] = 2000 ?

8. Melyik az a legnagyobb pozitív egész

n

, amelyhez pontosan egy olyan egész

k

van, amelyre

8 / 15 < n / (n + k) < 7 / 13 ?

9. A

B

csúcsánál derékszögű

A B C

háromszög belsejében helyezkedik el a

P

pont, amelyre

P A = 10

P B = 6

A P B ∢ = B P C ∢ = C P A ∢

. Mennyi a

P C

szakasz hossza?

10. Aladár lefelé megy egy felfelé haladó mozgólépcsőn, és amíg leér a lépcső aljára, 150 lépcsőfokot számol meg. Barátja, Béla, ugyanezen a mozgólépcsőn felfelé végighaladtában 75 lépcsőfokot számolt.
Ha Aladár haladási sebessége (lépcsőfok per időegységben) háromszorosa Béla haladási sebességének, mennyi lépcső látható a mozgólépcsőn egy adott pillanatban? (Feltehető, hogy ez a szám időben állandó.)

11. Melyik az a legnagyobb egész

k

, amelyre

3^{11}

előáll

k

darab egymást követő pozitív egész összegeként?

12. Legyen

m

az a legkisebb pozitív egész, amelynek harmadik gyöke

n + r

alakú, ahol

n

pozitív egész,

r

pedig 1/1000-nél kisebb pozitív valós szám. Mi ekkor

n

értéke?

13. A különböző valós számokból álló

r_{1}

r_{2}

...

r_{n}

sorozat elemeit növekvő sorrendbe rendezhetjük a buborékrendezésnek hívott eljárás egy vagy több lépésének végrehajtásával. Az eljárás egy lépése során a következőképpen változtatjuk az

r_{1}

r_{2}

...

r_{n}

elemek sorrendjét:
Összehasonlítjuk a második és az első elemet, és pontosan akkor cseréljük fel őket, ha a második a kisebb. Ezután összehasonlítjuk a harmadik és az aktuális második elemet, és pontosan akkor cseréljük fel őket, ha a harmadik volt a kisebb. Ezt csináljuk sorra, amíg végül az

n

-edik elemet hasonlítjuk össze az őt aktuálisan megelőző elemmel, és pontosan akkor cseréljük fel őket, ha az

n

-edik elem volt a kisebb.
Az alábbi példa azt mutatja, miként rendeződik át az 1, 9, 8, 7 sorozat az 1, 8, 7, 9 sorozattá a buborékrendezési eljárás egy lépése során. Az éppen összehasonlítandó elemeket aláhúzás jelöli.

\begin{matrix} \underset{̲}{1 9} 8 7 \\ 1 \underset{̲}{9 8} 7 \\ 1 8 \underset{̲}{9 7} \\ 1 8 7 9 \end{matrix}

Legyen

n = 40,

és a kezdeti

r_{1}

r_{2}

...

r_{n}

sorozatot készítsük el úgy, hogy 40 különböző számot véletlenszerű sorrendben írunk egymás után! Legyen

p / q

annak a valószínűsége, hogy a sorozatban eredetileg

r_{20}

-ként szereplő elem a buborékrendezési eljárás első lépése után a 30-adik helyen bukkan elő (tehát 29 elem van tőle balra, 10 elem jobbra)! Határozzuk meg

p + q

értékét, feltéve, hogy, a

p / q

tört tovább nem egyszerűsíthető, és

p, q

pozitív egészek.

14. Számoljuk ki a következő kifejezés értékét:

\begin{matrix} \frac{(10^{4} + 324) \cdot (22^{4} + 324) \cdot (34^{4} + 324) (46^{4} + 324) \cdot (58^{4} + 324)}{(4^{4} + 324) \cdot (16^{4} + 324) \cdot (28^{4} + 324) \cdot (40^{4} + 324) \cdot (52^{4} + 324)} . \end{matrix}

15. Az

A B C

derékszögü háromszögbe az

S_{1}

és

S_{2}

négyzeteket írtuk be az ábrán látható módon. Mennyi

A C + C B,

S_{1}

területe 441,

S_{2}

területe 440 egység?

^{$^{*}$}A végeredményeket lásd a 174.oldalon.