A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1991. február 15-én került sor a második előkészítő versenyre ‐ ezúttal is ,,amerikai rendszerben'', azaz a 15 feladatra csak a 15 választ (pozitív egész szám) kellett leírni.
A verseny eredménye:
1. Matolcsi Máté III. o. t., Bp. Fazekas Gimn. 14; 2.Kőszegi Botond III. o. t., Bp. Fazekas Gimn. 13; 3‐5.Harcos Gergely IV. o. t., Bp. Apáczai Gimn., Pór Attila III. o. t., Bp. Fazekas Gimn., Szendrői Balázs III. o. t., Bp. Fazekas Gimn. 12; 6‐7 Nagy Benedek IV. o. t., Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., Szalkai Ákos IV. o. t., Bp. Fazekas Gimn. 11; 8‐9. Lakos Gyula III. o. t., Bp. Fazekas Gimn., Nemes Norbert III. o. t., Bp. Fazekas Gimn. 10 találat.
A verseny feladatai:
1. Két nemnegatív egész által alkotott () rendezett számpárt "egyszerűnek'' hívunk, ha és 10-es számrendszerbeli összeadásakor egyik helyiértéknél sincs átvitel. Hány olyan "egyszerű'' rendezett nemnegatív számpár van, amelyben
2. Legfeljebb milyen távol lehet egymástól két pont, amelyek közül egyik a középpontú 19 sugarú, másik a ) középpontú 87 sugarú gömb felszínén helyezkedik el?
3. Egy természetes szám valódi osztóján a szám 1-től és önmagától különböző pozitív egész osztóját értjük. Nevezzünk ,,szép''-nek egy 1-nél nagyobb természetes számot, ha megegyezik valódi osztóinak szorzatával! Mi az első tíz "szép'' szám összege?
4. Határozzuk meg az egyenletű görbe által határolt tartomány területét!
5. Határozzuk meg értékét, ha és olyan egészek, amelyekre
6. Az téglalapot 5 szakasszal felosztottuk 4 egyenlő területű részre az ábra szerint. Tudjuk, hogy és párhuzamos -vel. Milyen hosszú az szakasz, ha és
7. Jelöljük -sel az és pozitív egész számok legkisebb közös többszörösét! Hány olyan pozitív egészekből álló rendezett számhármas van, amelyre , és
8. Melyik az a legnagyobb pozitív egész , amelyhez pontosan egy olyan egész van, amelyre 9. A csúcsánál derékszögű háromszög belsejében helyezkedik el a pont, amelyre , , . Mennyi a szakasz hossza? 10. Aladár lefelé megy egy felfelé haladó mozgólépcsőn, és amíg leér a lépcső aljára, 150 lépcsőfokot számol meg. Barátja, Béla, ugyanezen a mozgólépcsőn felfelé végighaladtában 75 lépcsőfokot számolt. Ha Aladár haladási sebessége (lépcsőfok per időegységben) háromszorosa Béla haladási sebességének, mennyi lépcső látható a mozgólépcsőn egy adott pillanatban? (Feltehető, hogy ez a szám időben állandó.) 11. Melyik az a legnagyobb egész , amelyre előáll darab egymást követő pozitív egész összegeként? 12. Legyen az a legkisebb pozitív egész, amelynek harmadik gyöke alakú, ahol pozitív egész, pedig 1/1000-nél kisebb pozitív valós szám. Mi ekkor értéke? 13. A különböző valós számokból álló , , , sorozat elemeit növekvő sorrendbe rendezhetjük a buborékrendezésnek hívott eljárás egy vagy több lépésének végrehajtásával. Az eljárás egy lépése során a következőképpen változtatjuk az , , , elemek sorrendjét: Összehasonlítjuk a második és az első elemet, és pontosan akkor cseréljük fel őket, ha a második a kisebb. Ezután összehasonlítjuk a harmadik és az aktuális második elemet, és pontosan akkor cseréljük fel őket, ha a harmadik volt a kisebb. Ezt csináljuk sorra, amíg végül az -edik elemet hasonlítjuk össze az őt aktuálisan megelőző elemmel, és pontosan akkor cseréljük fel őket, ha az -edik elem volt a kisebb. Az alábbi példa azt mutatja, miként rendeződik át az 1, 9, 8, 7 sorozat az 1, 8, 7, 9 sorozattá a buborékrendezési eljárás egy lépése során. Az éppen összehasonlítandó elemeket aláhúzás jelöli.
Legyen és a kezdeti , , , sorozatot készítsük el úgy, hogy 40 különböző számot véletlenszerű sorrendben írunk egymás után! Legyen annak a valószínűsége, hogy a sorozatban eredetileg -ként szereplő elem a buborékrendezési eljárás első lépése után a 30-adik helyen bukkan elő (tehát 29 elem van tőle balra, 10 elem jobbra)! Határozzuk meg értékét, feltéve, hogy, a tört tovább nem egyszerűsíthető, és pozitív egészek.
14. Számoljuk ki a következő kifejezés értékét: | | 15. Az derékszögü háromszögbe az és négyzeteket írtuk be az ábrán látható módon. Mennyi ha területe 441, területe 440 egység?
A végeredményeket lásd a 174.oldalon. |