Kezdőlap


Cím:	Olimpia'91 (1.)
Füzet:	1991/március, 119 - 121. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1990. november 30-án került sor a svédországi Nemzetközi Matematikai Diákolimpiára előkészítő első versenyre. A versenyen 3 óra gondolkodási időre az alábbi 15 feladatot tűzték ki. (Minden egyes kérdésre egy-egy nem negatív, 1000-nél kisebb egész a válasz, a versenyzőknek csak ezt kellett közölniük).
A helyes válaszok a 124. oldalon találhatók. A verseny végeredménye:
$1.$ Pór Attila III. (Bp., Fazekas Mihály Gimn.) 13 találat; $2 - 5.$ Lakos Gyula III., Kőszegi Botond III., Szendrői Balázs III. (Bp., Fazekas Mihály Gimn.), Boncz András IV. (Zalaegerszeg, Zrínyi Gimn.) 12 találat;
$6 - 9.$ Csörnyei Marianna I. (Bp., Fazekas Mihály Gimn.), Kiss István IV. (Bp., I. István Gimn.), Nagy Benedek IV. (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn.), Perlaki Tamás III. (Debrecen, Fazekas Mihály Gimn.) 11 találat.

A verseny feladatai

1. Számítsuk ki

a_{2} + a_{4} + a_{6} + ... + a_{98}

értékét, ha tudjuk, hogy

a_{1}

a_{2}

a_{3}

...

1

differenciájú számtani sorozatot alkot, és

a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{98} = 137

2. Legyen

n

az a legkisebb pozitív egész többszöröse

15

-nek, amelynek számjegyei között csak a

8

és a

0

fordul elő! Mennyi

n / 15

3. Legyen

P

A B C

háromszög belső pontja! Húzzunk párhuzamost

P

-n keresztül a háromszög oldalaival!
Az így kapott három kis háromszög,

t_{1} t_{2} t_{3}

területe rendre

4, 9

, ill.

49

. Mennyi az

A B C

háromszög területe?

4. Legyen

S

egy ‐ nem feltétlenül különböző ‐ pozitív egészekből álló számsorozat, amely tartalmazza a

68

-at! Az

S

-beli számok számtani közepe

56

. Mi az a legnagyobb szám, amelyet

S

tartalmazhat?

5. Mennyi

a b

, ha

log_{8} a + log_{4} b^{2} = 5

és

log_{5} b + log_{4} a^{2} = 7

6. Rajzoljunk a (

14; 92

), a (

17; 76

) és a (

19; 84

) pontok köré

3

egység sugarú köröket! Húzzunk a (

17; 76

) ponton át egy egyenest úgy, hogy a körökből az egyenes egyik oldalára eső részek összterülete megegyezzék az egyenes másik oldalára eső részek összterületével! Mennyi az egyenes meredekségének abszolút értéke?

7. Legyen

f

az egész számokon értelmezett függvény, amelyre

\begin{matrix} f (n) = {\begin{matrix} n - 3, & h a n \geq 1000, \\ f (f (n + 5)), & h a n < 1000. \end{matrix} \end{matrix}

Mennyi

f (84)

8. A

z^{6} + z^{3} + 1 = 0

egyenletnek olyan komplex gyöke van, amelynek

Θ

argumentuma (szöge)

90^{\circ}

és

180^{\circ}

közé esik a komplex számsíkon. Adjuk meg

Θ

értékét fokokban!

9. Az

A B C D

tetraéder

A B

éle

3

cm hosszú, az

A B C

lap területe

15

{cm}^{2}

, az

A B D

lapé

12 {cm}^{2}

. Ez a két lap egymással

30^{\circ}

-os szöget zár be. Hány cm

^{3}

a tetraéder térfogata?

10. Mari megmondta Jánosnak, hány pontot ért el az egyetemi versenyen. Mari pontszáma több volt, mint

80

, és János azt is ki tudta belőle számolni, hogy hány feladatot oldott meg Mari helyesen. Ha Mari ennél kevesebb, de

80

-nál még mindig több pontot ért volna el, akkor János nem tudta volna ugyanezt kiszámolni. Hány pontot ért el Mari?
(Az egyetemi versenyen 30 feladat volt, a pontszámot a

30 + 4 j - r

képlettel számolták, ahol

j

a jó,

r

a rossz megoldások száma. A kihagyott példákért nem járt büntetés.)

11. Egy kertész három juhar-, négy tölgy- és öt nyírfát ültetett egy sorba véletlen sorrendben, mindegyik fát egyenlő valószínűséggel választva. Legyen

m / n

annak a valószínűsége, hogy nem került két nyírfa egymás mellé! (

m / n

nem egyszerűsíthető.) Mennyi

m + n

12. Legyen

f

az egész számegyenesen értelmezett függvény, melyre teljesül, hogy

f (2 + x) = f (2 - x)

és

f (7 + x) = f (7 - x)

minden valós

x

-re! Tudjuk még, hogy

x = 0

gyöke az

f (x) = 0

egyenletnek. Legalább hány gyöke van

f

-nek a

- 1000 \leq x \leq 1000

intervallumban?

13. Számoljuk ki

10 \cdot ctg (arc ctg3+ arc ctg7+ arc ctg13+ arc ctg21)

értékét!

14. Melyik az a legnagyobb páros szám, amely nem írható fel két pozitív összetett páratlan szám összegeként? (Egy pozitív egész szám összetett, ha van legalább egy pozitív osztója 1-en és önmagán kívül.)

15. Mennyi

x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}

, ha

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{2^{2} - 1^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2} - 3^{2}} + \frac{z^{2}}{2^{2} - 5^{2}} + \frac{w^{2}}{2^{2} - 7^{2}} = 1, \\ \frac{x^{2}}{4^{2} - 1^{2}} + \frac{y^{2}}{4^{2} - 3^{2}} + \frac{z^{2}}{4^{2} - 5^{2}} + \frac{w^{2}}{4^{2} - 7^{2}} = 1, \\ \frac{x^{2}}{6^{2} - 1^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2} - 3^{2}} + \frac{z^{2}}{6^{2} - 5^{2}} + \frac{w^{2}}{6^{2} - 7^{2}} = 1, \\ \frac{x^{2}}{8^{2} - 1^{2}} + \frac{y^{2}}{8^{2} - 3^{2}} + \frac{z^{2}}{8^{2} - 5^{2}} + \frac{w^{2}}{8^{2} - 7^{2}} = 1. \end{matrix}