Kezdőlap


Cím:	Fiatal Matematikusok V. Csapatversenye Litvániában - 1991.
Szerző(k):	Molnár-Sáska Gábor , Poór Attila , Szendrői Balázs
Füzet:	1991/január, 13 - 15. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Litvánia meghívására egy magyar csapat is részt vett a litván városok 1990. évi matematikai csapatversenyén. A magyar csapat a következő tanulókból állt:

Álmos Attila (Budapest, Berzsenyi Dániel Gimnázium, III. o. t.)
Katz Sándor (Bonyhád, Petőfi Sándor Gimnázium, II. o. t.)
Molnár-Sáska Gábor (Budapest, Fazekas Mihály Gimnázium, II. o. t.)
Pór Attila (Budapest, Fazekas Mihály Gimnázium, III. o. t.)
Szendrői Balázs (Budapest, Fazekas Mihály Gimnázium, III. o. t.)

Kísérőnk Pataki János tanár úr volt.

Csapatunk október 17-én, szerdán hajnalban indult Ferihegyről. Gépünk ottani idő szerint délben érkezett meg Moszkvába. A repülőtéren eltöltött 10 unalmas óra után repültünk tovább Vilniusba, ahová éjfélkor érkeztünk meg. Itt szállásunkra, egy kollégiumba vittek bennünket, a város egyik lakótelepére.
Az első napon Kaunasba, Litvánia második legnagyobb városába mentünk. Itt a belvárosban csatangoltunk, majd egy-két múzeumot látogattunk meg. Ebédre egy étteremben hagyományos orosz és litván ételeket ettünk, amelyek ízletesek voltak.
Pénteken vilniusi városnézés volt a program. Itt is a belvárost, majd az egyetemet és a templomot néztük meg. Talán a legjobban az egyetem régi, szép épületegyüttese tetszett, amelynek 13 udvara, külön temploma, könyvtára van.
Délután még volt egy kis átmozgató ,,tréning'' a csapat számára, itt beszéltük meg a végleges taktikákat a csapatversenyre, majd egy-két példát oldottunk meg.
A következő nap a verseny napja volt. A dolgozatot az egyetem matematikai karán írtuk, természetesen minden csapat külön teremben. Mint kiderült, ellenfelünk volt a litván városok középiskolás válogatottjain kívül a vilniusi egyetem elsőéveseinek csapata is.
Maga a verseny 10-től 2-ig tartott. A megbeszélt taktika szerint dolgoztunk. Az egyedüli gondot az okozta, hogy a feladatok megoldását angolul kellett írnunk, és ez némi nehézséget okozott. (Végül egy pár példát magyarul adtunk be. Ezek kijavításánál Pataki tanár úr segített a helybelieknek.) Az angol szövegezés jelentős hátránynak tűnt, hiszen a litván csapatok természetesen mindent a saját nyelvükön írhattak.
A verseny után az egyetemistákkal mentünk ebédelni, majd együtt felmásztunk a Trakai-hoz, Vilnius várához, amelyről csodálatos kilátás nyílt a városra. Ezután visszamentünk az egyetemre, ahol a feladatok megoldását ismertették litvánul, majd következett az eredményhírdetés. Csapatunk 107 ponttal az első helyen végzett (a pontozás viszonylag bonyolult volt: a 20 példa mindegyikére 5-5 pontot lehetett kapni, de amely példákat kevesen oldották meg, azok helyes megoldásáért plusz pont járt). Az egyetemisták 85 pontot szereztek, majd utánuk következtek a többiek. Díjátadás után egy ünnepi- és egyben búcsúvacsorát ettünk egy belvárosi vendéglőben, ahová egy helybeli matematikust is meghívtunk.
Következő reggel már utaztunk haza.

A verseny feladatai a következők voltak:

1. Keressük meg mindazon

a

értékeket, amelyekre az alábbi egyenlet gyökei egészek:

\begin{matrix} x^{2} - a x + 5 a = 0. \end{matrix}

2. Három természetes szám,

m, n

és

k

kielégíti a következő egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} S = \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{k} < 1. \end{matrix}

Adjuk meg

S

maximális értékét.

3. Az

A B C D

téglalap

M

belső pontjára

B M C ∢ + A M D ∢ = 180^{\circ}

. Számítsuk ki a

B M C

és

D A M

szögek összegét.

4. Bizonyítsuk be, hogy minden

n \times n

-es négyzet

(n \in N, n \neq 1; 7; 13)

összerakható

2 \times 2

-es,

3 \times 3

-as és

5 \times 5

-ös négyzetekből.

5. Egy konvex sokszög minden csúcsának koordinátái egészek, minden oldalának hossza kisebb, mint

5

. Adjuk meg egy ilyen sokszög csúcsainak maximális számát.

6. Három kör kívülről érinti egymást. Bizonyítsuk be, hogy a körök érintési pontjaiban húzott érintőegyenesek egy pontban metszik egymást.

7. Keressük meg a következő egyenlet természetes megoldásait:

\begin{matrix} ctg \frac{2 π}{n} = \frac{1}{n} . \end{matrix}

8. Bizonyítsuk be, hogy három tetszőleges háromszögből összerakható egy a) hét-, b) nyolc-, c) kilencszög. A háromszögek nem fedhetik át egymást.

9. Keressük meg a következő egyenlet racionális megoldásait:

\begin{matrix} x + y \sqrt[]{5} = \sqrt[3]{2 + \sqrt[]{5}} . \end{matrix}

10. Egy 5 egység sugarú gömb középpontja az origó. Tekintsük azt a poliédert, melynek csúcsai a gömbfelület egész koordinátájú (rács-) pontjai. Hány lapja van a poliédernek?

11. Mely valós

x

értékekre lesz az

\begin{matrix} a_{n} = \frac{2^{2} 4^{2} \dots {(2 n)}^{2}}{1^{2} 3^{2} \dots {(2 n - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{n + x} \end{matrix}

sorozat szigorúan monoton növő? Mely

x

-ekre lesz szigorúan monoton csökkenő?

12. Keressünk olyan

α

és

β

irracionális számokat, melyekre

α^{β}

racionális.

13. Lehet-e a

6 x^{2} + 17 x y + 12 y^{2} + x + y

(x, y \in Z)

kifejezés

100

-zal egyenlő? Mely értékeket vehet fel a fenti kifejezés?

14. Az

(a_{n})

sorozat tagjai kielégítik a következő egyenlőséget:

\begin{matrix} (a_{n - 1}^{2} + a_{n}^{2}) (a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2}) = {(a_{n - 1} a_{n} + a_{n} a_{n + 1})}^{2}; a_{1} = 2; a_{2} = 3. \end{matrix}

Adjuk meg

a_{1990}

-et.

15. Adjunk meg olyan

f

függvényt a valós számok halmazán, amelyre

\begin{matrix} f (f (x)) = 2 x + 1, minden valós x -re. \end{matrix}

16. Három egymást páronként érintő kör mindegyike érinti egy adott szabályos háromszög

2

oldalát. Bizonyítsuk be, hogy a három kör területösszege nagyobb a beírt kör területénél.

17. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\begin{matrix} \sqrt[]{sin x - \sqrt[]{sin x + cos x}} = cos x . \end{matrix}

18. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\begin{matrix} 2 x^{x} = \sqrt[]{2} . \end{matrix}

19. Bizonyítsuk be a következő egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{2 x - 3} + \sqrt[]{50 - 3 x} < 12. \end{matrix}

20. Milyen természetes

n

számra lesz az

n \cdot 1; n \cdot 2; n \cdot 3; ...; (n - 1) \cdot n; n \cdot n

számok számjegyösszege egyenlő?