A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Az derékszögű háromszög befogói: ; ezért az átfogó , a háromszög köré írt kör sugara egység. Ezekből következik, hogy az háromszög (amelynek csúcsa a kör középpontja) egyenlő oldalú: mindegyik oldalának hossza egység. A körszelet kerülete az oldal és az ív hosszának összege. Az ívhez tartozó középponti szög: . | |
A körszelet területét az körcikk és az egyenlő oldalú háromszög területének különbsége adja: | |
2. Felhasználva a és a kétszeres szögekre vonatkozó trigonometrikus azonosságokat, az egyenlet | | (1) | ha alakra hozható. Rendezés után az egyenletet kapjuk. Mivel , ezért a szorzat első tényezője nullával egyenlő. Így a (2) egyenlet minden valós számra igaz. Mivel a megadott feltétel mellett egyenértékű átalakításokat végeztünk, az eredeti egyenletnek az -től () különböző valós számok a megoldásai.
3. A testvérek mostani életkora is egy számtani sorozat négy egymás utáni eleme. Jelölje e sorozat elemeit ; ; ; , ahol a legidősebb testvér mostani életkora. A feltételek szerint
Rendezés után a
egyenletrendszert kapjuk. Ha , akkor , ez azonban nem megoldása a feladatnak. Ha , akkor és . Így a testvérek mostani életkora: ; ; ; év.
4. Az ábra jelölései szerint , a súlyvonalak és , továbbá az háromszög súlypontja. Alkalmazzuk a koszinusztételt az háromszögre. Mivel , és , ezért , és ebből .
Az háromszög oldalát is a koszinusztétellel számíthatjuk ki: mivel és , ezért , azaz . Mivel , ezért . Az háromszögből szintén koszinusztétellel kapjuk meg az oldal hosszát: Ebből .
5. Legyen az adott kör olyan pontja, amelyre fennáll, hogy (1)-ből a következő egyenletet kapjuk: | | (2) | Mivel a kör pontja, ezért (2)-ből és a kör egyenletéből egy egyenletrendszerhez jutunk, amelyből . Ezt a kör egyenletébe helyettesítve a egyenletet kapjuk. Az egyenlet megoldásai és . A kör keresett pontjai: és . 6. A csonka kúp tengelymetszetének ábrájáról leolvasható, hogy a csonka kúp alkotója , magassága pedig egység.
A csonkakúp felszíne: | | térfogata: A két mérőszám hányadosa: . A magasság által levágott derékszögű háromszögre Pitagorasz tételét alkalmazva azt kapjuk, hogy | |
7. Az egyenlet értelmezése miatt . Az adott egyenlet ekvivalens átalakításokkal alakra hozható. Ha , akkor nincs megoldása az egyenletnek. Ha , akkor . Mivel azonban , ezért . Az eredeti egyenletnek tehát akkor sincs megoldása,
Összefoglalva: Akkor van megoldása az adott egyenletnek, ha . Ahhoz, hogy az egyenlet gyökére teljesüljön a második kérdés feltétele, a egyenlőtlenségnek kell fennállnia. Ha , akkor ekvivalens azzal, hogy , ami akkor teljesül, ha . Ha , akkor ekvivalens azzal, hogy , ez pedig akkor áll fenn, ha vagy , de a kezdeti feltétel miatt . Összefoglalva: az egyenlet gyöke akkor lesz kisebb -nél, ha vagy .
8. a) Alakítsuk át az adott kifejezést a következő módon:
Mivel a szögletes zárójelen belül a kerek zárójeles különbségek mind oszthatók -cel, ezért az egész kifejezés osztható -gyel. b) Mivel , továbbá hogy és relatív prímek, elég bizonyítani, hogy az adott szorzat osztható -cel és -zel. osztható -cel, tehát -cel is. Azt kell még bizonyítanunk, hogy osztható -zel; ehhez elég megmutatnunk, hogy utolsó jegye . Nézzük végig lehetséges utolsó jegyeit. Ha végződése ; ; ; ; , akkor végződése is rendre ; ; ; ; (pl. azért, mert utolsó jegye rendre megegyezik a , , , , utolsó jegyével), különbségük utolsó jegye tehát valóban . |